Дәріс №2. Логикалық функция және олардың түрленуi.


1.      Сандық құрылғылардың логикалық функциясы. Логикалық функцияны түрлендiруі .Карно картасының жазылу ережесi.

Сандық құрылғылардың логикалық функциясы. Логикалық функцияны түрлендiруі .Карно картасының жазылу ережесi.

1.Сандық құрылғыны жобалайық, шығысында логикалық 1 болатын, егер үш кiрiс сигналының екеуi бiрлiк мәндi қабылдаса. Ақиқат таблицасында  F шығыс функциясы үшiн, үш кiрiс айнымалы А, В және С кiрiс сигналының сегiз мүмкiн болатын терiмi нөлден жетiге дейiн нөмiрленген. (сур.3.1)

А  В  С

F

0
1
2
3
4
5
6
7

0  0  0
0  0  1
0  1  0
0  1  1
1  0  0
1  0  1
1  1  0
1  1  1

0
0
0
1
0
1
1
1

Әр бiр терiм үшразрядты екiлiк код терiм нөмiрiне сәйкес. Оң жақ бағанада әр бiр терiмге  F логикалық функциясының мәндерi көрсетiлген. Ақиқат таблицасы бойынша логикалық функцияға ЖДҚФ (жетiлдiрiлген дизъюнктивтi қалыпты форма) түрiнде теңдiк құруға болады, яғни  функцияның бiрлiк терiмiне сай логикалық көбейтiндiлер қосындысы түрiнде :

(3.1) Теңдiгi  қарапайым логикалық элементтер орындайтын логикалық қосу (дизъюнкция), көбейту (конъюнкция), терiстеу  (инверсия) операцияларының көмегiмен  жазылған. (сур.3.2).

Ерекше НЕМЕСЕоперациясы ЖДҚФ – да мына түрде жазылады

(3.2)

             

Терiм нөмерi

A

B

AB

A+B

0
1
2
3

0
0
1
1

0
1
0
1

0
0
0
1

1
1
1
0

0
1
1
1

1
0
0
0

0
1
1
0

Логикалық функцияны түрлендiру үшiн келесi Буль алгебрасының заңдары қолданылады:

1) Орын ауыстыру А+В=В+А, АВ=ВА;

2) Жиынтықты (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС);

3) Тарату А(В+С)=АВ+АС;

Үш және төрт айнымалы логикалық функцияны минимизациялау үшiн Карно картасын қоолданған ыңғайлы (Сур.3.5,а және в). Карно картасы әр бiр тор көздерiнде ақиқат кестесiнiң белгiлi бiр терiмiне сәйкес тiкбұрышты кесте (Сур.3.5,б және г). Картада айнымалының тура мәнiнiң аймағы және әр бiр терiмге логикалық функцияның мәнi тiркейдi (0,1 немесе Х, егер функция берiлген терiмде анықталмаса).

Карно картасы бойынша логикалық функция үшiн минимизацияланған теңдеудiң жазылу ережесi:

1) Бiрлiкпен толтырылған блоктар бөлiнедi;

2) блок тiкбұрышты болу керек және 1, 2, 4 , 8 тор көздерiнен тұру керек;

3) блоктар мүмкiндiгiнше үлкен болу керек, ал олардың сандары азболуы керек;

4) Сол және оң, сол сияқты үстiңгi және астыңғы  карта жолдары көршiлес болып саналады;

5) Бiр тор көз бiрнеше блокқа кiруi мүмкiн;

6) Кесек блокты алу үшiн, функция кез-келген түрде анықталуы мүмкiн (Х тұрған терiмде);

7) Бөлiнiп алынған блокты көрсететiн функция логикалық көбейтiндiлер  ЛК түрiнде жазылады;

8) Егер оның нақты мәндерiнiң облыстрының блогы теңбе - тең бөлiнбесе,  айнымалы ЛК құрамына кiрмейдi;

9)  Егер қарастырылып отырған блок оның инверстiк мән облысында жатса, айнымалы инверсиялы  ЛК құрамына кiредi;

10) Блоктағы нөлмен толтырылған тор көздерiн топтау кезiнде,  сол ереже бойынша логикалық функцияның инверсиялық мәнiн аламыз.

Карно картасына сәйкес келетiн (сур .3.5,в), үш айнымалы F логикалық функция (оның ақиқат таблицасы сур.3.1 бiрдей), жоғарыдағы ереже бойынша мына түрде жазылады:

F = XY + XZ + YZ .

Екi жақтылық формуласын қолданып,ЖӘНЕ –НЕ  элементтерiне таратуға ыңғайлы, мына түрге түрлендiруге болады (сур.3.6,б):

Логикалық элементтерде комбинационды сандық құрылғыны жобалау кезiнде, келесi тәртiптi ұсынуға болады:

1) Есеп шарты анықталады (жетiлдiрiлiп отырған құрылғы нақты не iстеу керек екендiгi анықталады, оның жұмыс алгоритмi нақтыланады);

2) Берiлген құрылғыға логикалық функция үшiн ақиқат кестесi құрылады;

3) Карно картсының көмегiмен логикалық функцияны минимизациялау жүргiзiледi;

Соңғы тепе-теiңдiктi дәлелдеу үшiн суретте көрсетiлген Венна диаграммасын қолданған ыңғайлы.