Квадрат үшмүше
Қалыптастырушы бағалауға арналған
тапсырмалар жинағы
Алгебра
8-сынып
Құрметті мұғалім!
Аталған тапсырмалар жинағы білім беру мазмұнын жаңарту аясында мұғалімдерге көмек құралы ретінде құрастырылды. Бұл мұғалімдердің ұжымдық жұмысының нәтижесі. Бағалау критерийі мен дескрипторлары бар тапсырмалар қалыптастырушы бағалауды өткізуге, сабақты жоспарлауға, ұқсас тапсырмаларды құрастыруға және іріктеп алуға, оқу мақсатына жетуге қатысты сындарлы кері байланыс беруге көмектесетін үлгі болып табылады.
Жинақтың ұсынылған сипаты сізге білім алушының қажеттілігі мен мүмкіндігін есепке ала отырып , тапсырмаларға толықтырулар мен өзгерістер енгізуіңізге, бейімдеуіңізге мүмкіндік береді.
Қосымша материалдарды (нұсқаулықтар, таныстырылымдар, жоспарлар және т.б.), форумдағы талқылауларды және бейне нұсқауларды сіз Назарбаев Зияткерлік мектептері ДББҰ smk.edu ресми сайтынан таба аласыз.
Жемісті жұмыс пен шығармашылық табыс тілейміз!
Жинақ негізгі мектеп мұғалімдеріне, әдіскерлерге, критериалды бағалау бойынша өңірлік және мектеп үйлестірушілеріне, басқа да мүдделі тұлғаларға арналған.
Жинақты дайындау барысында ресурстар (суреттер, мәтіндер, бейне және аудио материалдар, т.б.) қолжетімді ресми интернет-сайттардан алынды. Жинақ коммерциялық емес мақсатта құрастырылған.
2
Мазмұны
1-ТОҚСАН 4
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек 4
2-ТОҚСАН 15
Бөлім: Квадрат теңдеулер 15
3-ТОҚСАН 23
Бөлім: Квадрат теңдеулер 23
Бөлім:Квадраттық функция 25
Бөлім:Статистика элементтері 29
4-ТОҚСАН 32
Бөлім: Теңсіздіктер 32
3
1-ТОҚСАН
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек
Оқу мақсаты 8.1.1.1 иррационал және нақты сандар ұғымдарын меңгеру
Бағалау критерийі Білім алушы
• Рационал және иррационал сандарды ажыратады • Нақты сандарды анықтайды
Ойлау дағдыларының Білу және түсіну
деңгейі
Тапсырма
a) Берілген сандардың қай жиынға жататындығын кестеде + таңбасын қою арқылы белгілеңіз
Сан
Рационал сан
Иррационал сан
Нақты сан
0
√17
2,(3)
5,1121231234...
√121
12
−
25
b) Бос орынды толтырыңыз.
Рационал және иррационал сандар жиыны бірігіп ____________ сандар жиынын құрайды. Диаграмманы N және Z жиындарымен толықтырыңыз.
Дескриптор: Білім алушы:
рационал сандарды көрсетеді;
иррационал сандарды көрсетеді;
нақты сандарды көрсетеді;
сандық жиындар арасындағы өзара байланысты көрсетеді.
4
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек
Оқу мақсаты 8.1.2.1 арифметикалық квадрат түбірдің қасиеттерін
қолдану
Бағалау критерийі Білім алушы
• Өрнек мәнін табу үшін арифметикалық квадрат
түбір қасиеттерін қолданады
• Өрнекті түрлендіру үшін арифметикалық квадрат
түбірдің қасиеттерін қолданады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Есептеңіз:
a) �121 ∙ 2,25;
b) �0,05 ∙ √45;
c) �8116;
d) √√982 ;
e) −2 ∙ �(−5)2;
f) �1 17 : �3,5;
g) �169 ∙ 625 ∙ 0,04.
Дескриптор: Білім алушы
көбейтіндінің квадрат түбірі қасиеттерін қолданады;
бөліндінің квадрат түбірі қасиеттерін қолданады;
дәреженің квадрат түбірі қасиеттерін қолданады;
өрнектің мәнін есептейді.
2-тапсырма
Сандық өрнекті есептеңіз
С
√
√ ∙ √
А
√ ∙
√
Е
√ ∙
√
√
О
√ ∙ √
√
П
�
∙
Х
√ ∙
И
√ ∙ √
√
Т
√ + √ + √
√ ∙ √ ∙ √
5
Табылған жауаптарды ескере отырып төмендегі кестені сәйкес әріптермен және бос орындарды Р әрпімен толтырсаңыз, ежелгі грек мифологиясындағы 9 әйел құдайдың бірі – би құдайының есімін оқи аласыз.
√
√
200
6
√
√
√
Дескриптор: Білім алушы
көбейтіндінің квадрат түбірі қасиеттерін қолданады;
бөліндінің квадрат түбірі қасиеттерін қолданады;
дәреженің квадрат түбірі қасиеттерін қолданады;
өрнектің мәнін табады;
кестені толтырады.
6
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек
Оқу мақсаты 8.1.2.2 квадрат түбірдің мәнін бағалау
Бағалау критерийі Білім алушы
• Квадрат түбірдің мәнін бағалайды
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
Тапсырма
Координаталық түзуде A, C, D нүктелері белгіленген. Олардың қайсысының координатасы 3√15 , √117 болуы мүмкін?
Дескриптор: Білім алушы
берілген сандарды квадраттайды;
табылған сандардың квадратын 11 және 12 сандарының квадраттарымен салыстырады;
берілген координатаға сәйкес нүктені анықтайды.
7
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек
Оқу мақсаты 8.1.2.3 көбейткішті квадрат түбір белгісінің алдына шығару
және көбейткішті квадрат түбір белгісінің астына алу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Көбейткішті түбір белгісінің алдына шығаруды
қолданып, сандық өрнектердің мәнін табады
• Көбейткішті түбір белгісінің астына алуды қолданып,
сандық өрнектердің мәнін табады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Көбейткішті квадрат түбір белгісінің астына алыңыз:
a)
10√0.49;
b)
−6√
; ≥ 0;
c)
1
1
√27;
d)
3
√ ; ≥ 0;
e)
2 −
3
; ≤ 0;
f)
– √ − 2; ≥ 2;
g)
(3 − )�
2
; ≥ 3.
( −3)
2
Дескриптор: Білім алушы
түбір белгісінің алдындағы көбейткіштің оң мәнін квадраттайды;
квадратталған көбейткішті түбір белгісінің астына алады;
түбір астындағы өрнекті түрлендіреді.
2-тапсырма
Көбейткішті квадрат түбір белгісінің алдына шығарып, алынған өрнекті ықшамдаңыз:
a) 13 √27;
b) √256 ;
c) √50 − √18;
d) 0,5√12 − 14 √48;
e) �8 5, ≥ 0;
f) �18( − 1)3 4, ≥ 1, ≥ 0.
Дескриптор: Білім алушы
түбір астындағы өрнекті қандай да бір натурал санның (өрнектің) квадраты болатындай көбейткіштерге жіктейді;
көбейтіндінің квадрат түбірі қасиеттерін қолданады;
дәреженің түбірі қасиеттерін қолданады;
өрнекті ықшамдайды.
8
3-тапсырма
Тіктөртбұрыш тәріздес бақшаның ені 2√6 м, ал ұзындығы енінен 3√2 есе артық. Бақшаның
2
ауданын табыңыз.
Дескриптор: Білім алушы
бақшаның ұзындығын табады;
тіктөртбұрыштың ауданының формуласын қолданады;
көбейткішті түбір белгісінің астына алу түбір белгісінің алдына шығаруды қолданып, сандық өрнектің мәнін табады.
9
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек
Оқу мақсаты 8.1.2.4 бөлшек бөлімін иррационалдықтан арылту
Бағалау критерийі Білім алушы
• Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан арылту
тәсілдерін қолданады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Берілген сандардан өзара түйіндес сандар жұбын табыңыз:
√2 + √3, 7 − √48, √13 + 2√3, √ 3 − √2, √13 − √12 , √49 + √48. Дескриптор: Білім алушы
түйіндес сандар жұбын табады.
2-тапсырма
Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан арылыңыз:
a)
15
;
2√3
b)
4
;
� −2
c)
3
;
√8−√5
d)
√2 −
;
+√2
+2√
e)
+4
;
√ +2
f)
1
.
+
√3
√5+√7
Дескриптор: Білім алушы
бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан арылу тәсілін таңдайды: (бөліміндегі иррационал өрнекті бөлшектің алымына да, бөліміне де көбейтеді бөліміндегі иррационал өрнектің түйіндесін бөлшектің алымына да, бөліміне де көбейтеді);
қажетті тепе-тең түрлендірулерді орындайды;
өрнекті ықшамдайды.
10
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек
Оқу мақсаты 8.1.2.5 құрамында түбір таңбасы бар өрнектерді
түрлендіруді орындау
Бағалау критерийі Білім алушы
• Өрнекті түрлендіру үшін квадрат түбірдің
қасиеттерін қолданады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
Тапсырма
Өрнекті ықшамдаңыз:
a) �√ −3√ + 1 � ∙ � 5 ;
√ √√ −2√
b)
1−2√
+
+3√
:
3+√
.
2√
4 −1
+1
4√ +2
Дескриптор: Білім алушы
амалдардың орындалу ретін анықтайды;
ортақ бөлімге келтіріп, қажетті түрлендірулерді орындайды;
бөлшекті бөлшеккке көбейтубөлу ережесін қолданады;
квадрат түбір қасиеттерін қолданады;
түрлендірулерді орындайды;
өрнекті ықшамдайды.
11
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек
Оқу мақсаты 8.1.2.6 нақты сандарды салыстыру
Бағалау критерийі Білім алушы
• Сандарды салыстыру кезінде арифметикалық
квадрат түбірдің қасиеттерін қолданады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
Тапсырма
Әр кестедегі үш саның ең үлкенін анықтап, оған сәйкес әріпті шеңбердің ішіне орналастырсаңыз, ұлы композитор-күйші, қазақтың аспапты музыка өнерінің классигі Құрманғазы Сағырбайұлының күйлерінің бірінің атын оқи аласыз.
�
� ,
� ,
С
Қ
Б
,
√
А
Е
И
√
1,(4)
1,4
Т
Р
З
√ −
− √
−
Т
Л
П
9
�
√
Е
І
У
√
√
√
Н
К
Р
Дескриптор: Білім алушы
арифметикалық квадрат түбірдің қасиетін қолданады;
квадрат түбірлердің мәнін бағалайды;
өрнектердің мәнін салыстырады;
сандардың ең үлкеніне сәйкес әріпті анықтайды.
12
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек
Оқу мақсаты
8.4.1.1 = √
функциясының қасиеттерін білу және оның
графигін салу
Бағалау критерийі
Білім алушы
функциясының қасиеттері мен графигін
•
= √
қолданады
Ойлау дағдыларының
Қолдану
деңгейі
Тапсырма
a) = √ , a0 функциясының қасиеттерін төмендегі схема бойынша сипаттаңыз:
1)
D(у)= ______________
E(у)= ______________
2) функция нөлдері;
3) өсукему аралығы;
4) функцияның ең үлкен және ең кіші мәні.
b) = 2√ функциясының графигін салыңыз.
Дескриптор: Білім алушы
функцияның анықталу облысын және мәндер облысын анықтайды;
функция нөлдерін табады;
функцияның өсукему аралығын анықтайды;
функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін анықтайды;
х және у айнымалылары мәндерінің кестесін құрады;
функцияның графигін салады.
13
Бөлім: Квадрат түбір және иррационал өрнек
Оқу мақсаты 8.4.1.4 аргументтің берілген мәндері бойынша
функцияның мәндерін табу және функцияның мәні бойынша аргументтің мәнін табу
Бағалау критерийі Білім алушы
Аргументтің берілген мәні бойынша функция мәнін табады
Функцияның берілген мәні бойынша аргументтің мәнін табады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Шаршының қабырғасын (a) оның ауданы (S) арқылы өрнектеп, a-ның S-тен тәуелді функциясын жазыңыз.
a) S=9; 4; 2 деп алып, шаршының қабырғасын анықтаңыз;
b) а= 1; 2; 4 деп алып, шаршының ауданын табыңыз.
Дескриптор: Білім алушы
a-ның S-тен тәуелді функциясын жазады;
a-ның (шаршының қабырғасының) мәндерін анықтайды;
S-тың (шаршының ауданын) мәндерін табады.
2-тапсырма
Берілген сызбаға талдау жасаңыз.
a) Оу осіндегі сандардың Ох осіндегі қай сандарға сәйкес келетіндігін анықтаңыз;
b) Oх осіндегі 9 санына Оу осіндегі қай сан сәйкес келеді?
Дескриптор: Білім алушы
функцияның берілген мәндері бойынша аргументтің мәндерін анықтайды;
аргументтің берілген мәні бойынша функция мәнін табады.
14
2-ТОҚСАН
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.2.2.1 квадрат теңдеудің анықтамасын білу
8.2.2.2 квадрат теңдеулердің түрлерін ажырату
Бағалау критерийі Білім алушы
• Квадрат теңдеулерді анықтайды
• Квадрат теңдеулердің түрлерін ажыратады
Ойлау дағдыларының Білу және түсіну
деңгейі
Тапсырма
Берілген теңдеулерден квадрат теңдеулерді анықтаңыз. Квадрат теңдеулерден a, b, c коэффициенттерін анықтап, сәйкес бағаналарға + таңбасын қою арқылы квадрат теңдеулердің түрін ажыратыңыз.
Квад
Толық кв. теңдеу
Теңдеулер
рат
a
b
c
Толымсыз
теңде
Келтірілген
Келтірілмеген
кв. теңдеу
у
кв. теңдеу
кв. теңдеу
3 2 + 24 + 23 = 0
+
3
24
23
-
+
-
x2 − 7x +1 = 0
2 − 8 = 0
2 − 2 3 = 0
4 − 2 = 0
3 2 −
2
= 0
5 − 3 2 + 2 = 0
2 + 8 2 = 0
4 + 4 + 2 = 0
−6 2 = 0
3√
+ 5 2 = 0
12 2 + 16 − 30 = 0
Дескриптор: Білім алушы
квадрат теңдеулерді анықтайды;
квадрат теңдеулердің коэффициенттерін жазады;
толық квадрат теңдеулерді (келтірілген, келтірілмеген) көрсетеді;
толымсыз квадрат теңдеулерді көрсетеді.
15
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.2.2.3 квадрат теңдеулерді шешу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Толымсыз квадрат теңдеулерді шешеді
• Толық квадрат теңдеулерді шешеді
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі Жоғары деңгей дағдылары
1-тапсырма
Толымсыз квадрат теңдеуді шешіңіз:
1
2
2
a)
4
− 16 = 0
b) 6x-5x =0
c)
(2x-5)(2x+5)=-25
d) 21 2 = −189
Дескриптор: Білім алушы
квадрат теңдеуді көбейткіштерге жіктейді;
квадрат теңдеудің түбірлерін табады.
2-тапсырма
Квадрат теңдеуді дискриминанттың көмегімен шешіңіз:
1) 2x2+3x-20=0
2) 16y2+24y+9=0
3) 4x2+3x+1=0
4) z2-2z+2,91=0
5)
2
= 9 − 2
6) 4x2+16x-3=0
3
Дескриптор: Білім алушы
қажет болған жағдайда толық квадрат теңдеуге түрлендірулер орындайды;
квадрат теңдеудің дискриминантын табады;
квадрат теңдеудің түбірлерінің санын анықтайды;
толық квадрат теңдеудің түбірлерін табады.
3-тапсырма
(a+3)x2+2ax+a-4=0 теңдеуі үшін:
a) екі әр түрлі түбірлері бар болатындай;
b) екі бірдей түбірі бар болатындай;
c) түбірлері болмайтындай а-ның барлық мәндерін табыңыз.
Дескриптор: Білім алушы
дискриминантты есептейді;
түбірлерінің санына байланысты теңсіздікті (теңдеуді) құрады;
теңсіздікті (теңдеуді) шешіп, а-ның барлық мәндерін анықтайды.
16
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.2.2.4 Виет теоремасын қолдану
Бағалау критерийі Білім алушы
• Квадрат теңдеудің түбірлерін анықтау үшін Виет
теоремасын қолданады
• Виет теоремасына кері теореманы қолданып,
берілген түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі Жоғары деңгей дағдылары
1-тапсырма
Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін, түбірлерінің таңбасын теңдеуді шешпей анықтаңыз:
Теңдеу
Түбірлерінің
Түбірлерінің
Түбірлерінің таңбасы
қосындысы
көбейтіндісі
+ −
+ +
x2
− 6x + 5 = 0
x2
+ 4x − 5 = 0
x2 − 20x − 300 = 0
5x2 +10x +1 = 0
Дескриптор: Білім алушы
келтірілген квадрат теңдеу түріне келтіреді;
Виет теоремасының көмегімен квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысын табады;
Виет теоремасының көмегімен квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісін табады;
Виет теоремасының көмегімен квадрат теңдеудің түбірлерінің таңбаларын анықтайды.
2-тапсырма
Келесі түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрыңыз:
a) 3 және - 4 b) −3 және 12
Дескриптор: Білім алушы
квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысын табады;
квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісін табады;
квадрат теңдеуді құрады.
3-тапсырма
1
1
2 − 5 + 6 = 0 теңдеуінің түбірлерін таппай,
+
өрнегінің мәнін анықтаңыз
2
2
1
2
Дескриптор: Білім алушы
Виет теоремасын қолданады;
өрнекті түрлендіреді;
өрнектің мәнін табады.
17
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.2.1.1 квадрат үшмүшенің түбірі ұғымын меңгеру
Бағалау критерийі Білім алушы
• Квадрат үшмүшенің түбірлерін анықтайды
• Берілген түбірлері бойынша квадрат үшмүше
құрады
Ойлау дағдыларының Білу және түсіну
деңгейі Қолдану
Тапсырма
Берілген түбірлер квадрат үшмүшенің түбірі болатындығын тексеріңіз,
түбірлері болған жағдайда ұяшыққа + таңбасын қойыңыз,
түбірлері болмаған жағдайда, қай үшмүшенің түбірі болатындығын анықтаңыз.
Квадрат үшмүше
Түбірлер
+квадрат үшмүше
2 + 5 + 6
= −2,
= −3
1
2
2 − 6 + 9
= −2,
= 3
1
2
2 + 6 − 7
= −7,
= −1
1
2
2 2 − − 10
= −2,
= 2,5
1
2
10 2 + − 2
= −5,
= 0,4
1
2
Дескриптор: Білім алушы
түбірді квадрат үшмүшеге қояды немесе Виет теоремасы бойынша тексереді;
түбірі болатындығы немесе болмайтындығы туралы қорытынды жасайды;
берілген түбірлері бойынша квадрат үшмүше құру үшін Виет теоремасын қолданады;
берілген түбірлері бойынша квадрат үшмүше құрады.
18
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.2.1.2 үшмүшеден екімүшенің толық квадратын бөлу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Үшмүшеден екімүшенің толық квадратын бөледі
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
a) 2 − 14 + 53 b) 3 2 + 24 + 23
Берілген үшмүшеден екімүшенің толық квадратын бөліп алыңыз; Квадрат үшмүшенің ең кіші мәнін табыңыз:
Дескриптор: Білім алушы
2 + + өрнегіндегі коэффициентін жақшаның сыртына шығарады;
түрлендірулер арқылы екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының квадратының формуласына келтіреді;
екімүшенің толық квадратын бөліп алады;
квадрат үшмүшенің ең кіші мәнін табады.
2-тапсырма
Үшмүшеден екімүшенің толық квадратын бөліп алу арқылы теңдеуді шешіңіз:
2 − 4 − 5 = 0
Дескриптор: Білім алушы
түрлендірулер арқылы екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының квадратының формуласына келтіреді;
екімүшенің толық квадратын бөліп алады;
квадрат үшмүшенің түбірлерін табады.
19
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.2.1.3 квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктейді
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеңіз:
a) 2 − 3 − 10;
b) 8 2 + − 75;
c) 2 − ( + ) + .
Дескриптор: Білім алушы
квадрат үшмүшенің түбірлерін табады квадрат үшмүшенің толық квадратын бөліп алады;
квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу формуласын қолданады қысқаша көбейту формуласын қолданады;
квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктейді.
2-тапсырма
Кинотетр залында бір қатарында − 5, (x5) орындықтан орналасқан, барлығы 2 − − 20 орындық бар. Барлық орындық неше қатарда орналасқан? (Жауабын өрнек түрінде жазыңыз)
Дескриптор: Білім алушы
қатардың санын есептеу үшін алгебралық өрнек құрады;
квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу формуласын қолданады;
өрнекті түрлендіріп, бөлшекті қысқартады.
20
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.2.2.5 2 + + = 0; 2 + + = 0
түріндегі теңдеулерді шешу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Модуль таңбасы бар квадрат теңдеулерді шешу
әдістерін қолданады
• Модуль таңбасы бар квадрат теңдеулерді шешеді
Ойлау дағдыларының Жоғары деңгей дағдылары
деңгейі
Тапсырма
Теңдеуді шешіңіз:
a) 2 + 5 − 6 = 0;
b) 2 + 8 + 7 = 0;
c) 2 − 6 − 16 = 0.
Дескриптор: Білім алушы
модульдің анықтамасын қолданадыжаңа айнымалы енгізеді;
теңдеуді түрлендіріп, квадрат теңдеуді құрастырады;
квадрат теңдеуді шешу тәсілін таңдайды;
теңдеудің түбірлерін есептің шартына сай тексереді.
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты
8.2.2.6 бөлшек-рационал теңдеулерді шешу
Бағалау критерийі
Білім алушы
• Бөлшек-рационал теңдеулерді шешеді
Ойлау дағдыларының
Қолдану
деңгейі
Тапсырма
Теңдеуді шешіңіз:
a)
3 +3
−
−1
= 1;
−2
+2
b)
18
=
2−7
−
6
;
−8
2−7 −8
+1
c)
1
+
1
=
8
.
+2
2−2
3−4
Дескриптор: Білім алушы
бөлшектің бөлімін көбейткішке жіктейді;
бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреді;
тепе-тең түрлендірулердің көмегімен эквивалентті теңдеу алады;
алынған квадрат теңдеуді шешу тәсілін таңдайды;
алынған теңдеудің түбірлерін табады;
табылған түбірлердің бастапқы теңдеудің мүмкін мәндер жиынын қанағаттандыратынын тексереді;
жауабын жазады.
21
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.2.2.7 квадрат теңдеулерге келтірілетін теңдеулерді шешу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Квадрат теңдеуге келтірілетін теңдеулерді шешеді
Ойлау дағдыларының Жоғары деңгей дағдылары
деңгейі
Тапсырма
Жаңа айнымалы енгізу әдісін қолданып, теңдеулерді шешіңіз:
a) 4 + 5 2 − 36 = 0;
b) 6 + 9 3 + 8 = 0;
c) 3(5 + 2)2 + 10(5 + 2) + 3 = 0;
d) 2 � 2 + 12� − 7 � + 1� + 9 = 07
Дескриптор: Білім алушы
айнымалыны ауыстыру әдісін қолданады;
алынған теңдеуді шешу әдісін таңдайды;
теңдеуді жаңа айнымалыға қатысты шешеді;
табылған түбірлердің бастапқы теңдеудің мүмкін мәндер жиынын қанағаттандыратынын тексереді;
бастапқы айнымалыға көшеді;
пайда болған теңдеуді шешеді.
22
3-ТОҚСАН
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.4.2.1 мәтінді есептерді квадрат теңдеулердің көмегімен
шешу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Есептің шарты бойынша математикалық моделін
құрады
• Мәтінді есепті квадрат теңдеудің көмегімен шешеді
Ойлау дағдыларының Жоғары деңгей дағдылары
деңгейі
Тапсырма
a) Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы екіншісінен 6 см-ге артық, ал ауданы 112см2 болса, тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын табыңыз.
b) Квадраты берілген санның өзінен 72-ге артық болатын санды табыңыз.
c) Аудармашы х сағаттың ішінде сағатына х+2 бет аудара отырып, барлығы 15 бет қолжазбаны аударды. Аудармашы барлық қолжазбаны неше сағатта аударды, және сағатына неше беттен аударып отырды?
d) Архат тіктөртбұрыш тәріздес бақшаны декоративті тастармен қоршағысы келді. Бақшаның периметрі 68м, ал ауданы 240 м2 болу үшін оның өлшемдері қандай болуы керек?
Дескриптор: Білім алушы
есептің шарты бойынша теңдеу құрады;
теңдеуді шешу әдісін таңдайды;
теңдеуді шешеді;
теңдеудің түбірлерінің есеп шартына сай екендігін тексеріп, жауабын жазады.
23
Бөлім: Квадрат теңдеулер
Оқу мақсаты 8.4.2.2 мәтінді есептерді бөлшек-рационал теңдеулердің
көмегімен шешу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Есептің шарты бойынша математикалық моделін
құрады
• Мәтінді есепті бөлшек-рационал теңдеудің
көмегімен шешеді
Ойлау дағдыларының Жоғары деңгей дағдылары
деңгейі
Тапсырма
a) Өзен бойындағы екі қаланың ара қашықтығы 80 км. Теплоход бір қаладан екіншісіне барып қайтуға 8 сағат 20 минут жұмсайды. Өзен ағысының жылдамдығы 4 кмсағ. Теплоходтың тынық судағы жылдамдығын табыңыз.
b) Бірінші жұмысшы 475 деталь дайындау үшін, екінші жұмысшы 550 деталь дайындауға кеткен уақыттан 6 сағ уақыт кем жұмсайды. Бірінші жұмысшы екінші жұмысшыға қарағанда сағатына 3 деталь артық жасайтыны белгілі болса, бірінші жұмысшы 1 сағатта қанша деталь жасайтынын табыңыз?
Дескриптор: Білім алушы
есеп шарты бойынша математикалық моделін құрады;
есептің шарты бойынша бөлшек-рационал теңдеу құрады;
алынған теңдеуді квадрат теңдеуге келтіреді;
теңдеуді шешу әдісін таңдайды;
теңдеуді шешеді;
теңдеудің түбірлерінің есеп шартына сай екендігін тексеріп, жауабын жазады.
24
Бөлім:Квадраттық функция
Оқу мақсаты 8.4.1.2 = ( − )2, = 2 + және
= ( − )2 + , ≠ 0, түріндегі квадраттық
функциялардың қасиеттерін білу және графиктерін салу
Бағалау критерийі Білім алушы
= ( − )2 + , ≠ 0, түріндегі квадраттық функцияның қасиеттерін анықтайды
= ( − )2 + , ≠ 0 түрдегі квадраттық функцияның графигін салады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Берілген функциялардан параболаның тармақтарының бағытын және төбесінің координаталарын анықтаңыз.
a) y=3x2 b) y=-x2-4 c) y=-2(x+5)2+3 d) y=4(x-7)2
Дескриптор: Білім алушы
параболаның тармақтарының бағытын анықтайды;
параболаның төбесінің координатасын анықтайды.
2-тапсырма
y=-(x-2)2+5 функциясы берілген
a) параболаның тармақтарының бағытын анықтаңыз; b) төбесінің координаталарын анықтаңыз;
c) симметрия осін табыңыз;
d) қосымша мәндер беріп, график салыңыз;
e) графиктің көмегімен функцияның анықталу облысын, мәндер облысын, өсу, кему аралықтарын, функцияның ең үлкен, ең кіші мәнін анықтаңыз.
Дескриптор: Білім алушы
параболаның тармақтарының бағытын анықтайды;
параболаның төбесінің координатасын анықтайды;
симметрия осін табады;
квадраттық функциясының графигін салады;
функцияның анықталу облысын, мәндер облысын жазады;
функцияның өсу, кему аралығын жазады;
функцияның ең үлкен, ең кіші мәнін жазады.
25
Бөлім:Квадраттық функция
Оқу мақсаты 8.4.1.3 = 2 + + , ≠ 0, түріндегі квадраттық
функцияның қасиеттерін білу және графигін салу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Квадраттық функцияның қасиеттерін анықтайды • Квадраттық функцияның графигін салады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Берілген функциядан параболаның тармақтарының бағытын және төбесінің координаталарын анықтаңыз: y=-2x2-8x-4
a) үшмүшеден екімүшенің толық квадратын бөліп алу арқылы;
b) формуланың көмегімен.
Дескриптор: Білім алушы
параболаның тармақтарының бағытын анықтайды;
параболаның төбесінің координатасын анықтайды.
2-тапсырма
y=2x2+4x+1 функциясының графигін төмендегі схемаға сүйене отырып салыңыз:
a) тармақтарының бағытын анықтаңыз;
b) төбесінің координаталарын анықтап, оны координаталық жазықтықта белгілеңіз;
c) симметрия осін жүргізіңіз;
d) функция нөлдерін тауып және оларды координаталық жазықтықта белгілеңіз;
e) функция графигінің Oу осімен қиылысу нүктесін анықтаңыз және координаталық жазықтықта белгілеңіз; параболаның симметрия осіне қатысты осы нүктеге симметриялы нүктені белгілеңіз;
f) егер қажет болса, функция графигіне тиісті қосымша нүктені және оған симметриялы нүктені анықтаңыз;
g) графиктен өсу, кему аралықтарын анықтаңыз;
h) функцияның ең үлкенең кіші мәнін табыңыз.
Дескриптор: Білім алушы
параболаның тармақтарының бағытын анықтайды;
параболаның төбесінің координатасын анықтайды;
симметрия осін табады;
функция нөлдерін табады;
функцияның Oу осімен қиылысу нүктесін анықтайды (симметрия осіне қатысты симметриялы нүктені табады);
функциясының графигін салады;
функцияның өсу, кему аралығын анықтайды;
функцияның ең үлкенең кіші мәнін анықтайды.
26
Бөлім:Квадраттық функция
Оқу мақсаты 8.4.1.4 аргументтің берілген мәндері бойынша
функцияның мәндерін табу және функцияның мәні бойынша аргументтің мәнін табу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Аргументтің берілген мәндері бойынша
функцияның мәндерін табады
Функцияның мәні бойынша аргументтің мәнін табады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
a) Абсциссасы 2-ге тең у=2х2+3х-7 функция графигінің нүктесінің ординатасын табыңыз.
b) у=х2+х–7 функция графигінің ординатасы 5-ке тең нүктенің оң таңбалы абсциссасын табыңыз.
c) y=2х2–8х–3 функция графигінің ординатасы 7 болатын абсциссаларының айырымының модулін табыңыз.
d) Координаталары (3;20) нүктесі арқылы өтетін у=ах2+2 функциядағы а коэффициентін табыңыз.
e) Егер парабола төбесінің координаталары (-2; 6) болса, онда у=2х2 + bх + с функциясы үшін b, с коэффициенттерін табыңыз.
Дескриптор: Білім алушы
аргументтің мәні бойынша функцияның мәнін табады;
функцияның мәні бойынша аргументтің мәнін табады;
функцияның мәні бойынша аргумент мәндерінің айырмасының модулін табады;
координата арқылы функциядағы белгісіз параметрді табады;
парабола төбесінің координаталарын табу әдістерінің көмегімен белгісіз коэффициенттерді анықтайды.
2-тапсырма
Фирма джинсы шалбарларын сату кезінде 1 күнде түсетін кіріс = − 2 + 120 − 2000 функциясымен берілген, мұнда Р-кіріс, х- бір джинсы шалбарының бағасы.
a) Фирма 1 шалбарды 40$-дан сатса қанша кіріс кіреді;
b) Шалбарды қандай бағада сатса күніне 1500$ кіріс кіреді;
c) Қандай бағада сатса мүлдем ешқандай кіріс болмайды;
d) Шалбарды қандай бағада сату ең тиімді?
Дескриптор: Білім алушы
аргументтің мәні бойынша функцияның мәнін табады;
функцияның мәні бойынша аргументтің мәнін табады;
функцияның нөлдерін табады;
параболаның төбесін анықтайды.
27
Бөлім:Квадраттық функция
Оқу мақсаты 8.4.3.1 есеп шарты бойынша математикалық модель құру
8.4.2.3 қолданбалы есептерді шығару үшін квадраттық функцияны қолдану
Бағалау критерийі Білім алушы
• Есептің шарты бойынша математикалық моделін
құрастырады
• Квадраттық функцияны және оның қасиеттерін
есептерді шешуде қолданады
Ойлау дағдыларының Жоғары деңгей дағдылары
деңгейі
1-тапсырма
Тігін ательесі тапсырыс бойынша белгілі бір мерзімде 5400 көйлек тігіп шығару керек болатын. Ателье іс жүзінде күніне жоспардағыдан 30 көйлек артық тігіп отырғандықтан тапсырысты мерзімінен 9 күн ерте бітірді. Тапсырыс неше күнде орындалды.
Дескриптор: Білім алушы
есептің математикалық моделін құрады;
теңдеуді шешу тәсілін таңдайды;
теңдеуді шешеді;
теңдеудің түбірлерінің есеп шартына сай екендігін тексеріп, жауабын жазады.
2-тапсырма
3 мс бастапқы жылдамдықпен допты 2 м биіктіктен жоғары қарай вертикаль бағытта
лақтырған, ℎ = -1 2 + 0 + ℎ0 мұндағы ≈ 10мс формуласын қолдана отырып, h(t)
2
функциясын құрыңыз. Табыңыз:
a) доптың ең жоғарғы биіктігін;
b) ең жоғарғы биіктікке неше секундтан кейін жетеді; с) доп қанша уақыттан кейін жерге құлады.
Дескриптор: Білім алушы
функияның ең үлкен мәнін табады;
функцияның мәні бойынша аргументтің мәнін табады;
функцияның нөлдерін табады.
3-тапсырма
Нан өнімдерін сатумен айналысатын дүкендер желісі күніне 2000 тұтынушыға қызмет көрсетеді. Олардың әрқайсысы 70 теңгеден күн сайын бір нан алады. Нанның 1 теңгеге қымбаттауы дүкеннің 20 тұтынушысынан айрылуына әкеліп соғады. Есептің шарты бойынша математикалық моделін құрыңыз. Математикалық моделіне сүйене отырып, келесі сұрақтарға жауап беріңіз:
1) Бағаны неше рет қымбаттату дүкен иесіне максималды табыс әкеледі?
2) Бағаның осылайша қымбаттауынан қанша теңге максималды табыс көреді?
Дескриптор: Білім алушы
есептің математикалық моделін құрады;
функцияның максимумын табады;
функция максималды мән қабылдайтын аргументтің мәнін табады;
табылған мәндерге анализ жасап, қорытынды жасайды.
28
Бөлім: Статистика элементтері
Оқу мақсаты 8.3.3.1 таңдама нәтижелерін жиіліктердің интервалдық
кестесі арқылы беру
8.3.3.2 жиіліктердің интервалдық кестесінің деректерін
жиіліктер гистограммасы арқылы беру
Бағалау критерийі Білім алушы
• Таңдама нәтижесі бойынша интервалдық кесте
құрады
• Жиіліктердің интервалдық кестесінің көмегімен
жиіліктер гистограммасын тұрғызады
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
Тапсырма
Шығыс Қазақстан облысындағы кездейсоқ алынған 30 ауылдағы халық санын зерттеу (адам саны) мынадай нәтиже берді:
2680;
2805;
2700;
2050;
2760;
2800
2930;
2430;
2990;
2795;
2170;
2681;
2945;
2645;
2743;
2100;
2954;
2068;
2095;
2786;
2540;
2680;
2860;
2814;
2590;
2712;
2120;
2945;
2794;
2785.
a) жиіліктің аралық кестесін жазыңыз (2000 адамнан бастап, аралық ұзындығын 200 адам етіп алыңыз);
b) гистограммасын тұрғызыңыз.
Дескриптор: Білім алушы
алынған аралықты интервалдарға бөліп, өсу ретімен орналастырады;
әрбір аралықтың жиілігін есептейді;
координаталық осьтерді таңдайды;
гистограмма тұрғызады.
29
Бөлім: Статистика элементтері
Оқу мақсаты 8.3.3.3 жинақталған жиілік анықтамасын білу
8.3.3.4 статистикалық кестемен, алқаппен, гистограммамен берілген ақпаратты талдау
Бағалау критерийі Білім алушы
• Абсолютті жиілік кестесі бойынша жинақталған
жиілік кестесін толтырады
• Гистограммамен берілген ақпаратты талдайды
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі Жоғары деңгей дағдылары
Тапсырма
Алматы қаласындағы шағын аудандардың біріндегі пәтерлердің ауданы туралы мәлімет төмендегі гистограммада көрсетілген.
a) Егер таңдамада барлығы 1500 пәтер болса, онда гистограммада көрсетілген әрбір интервалдың орташа мәніне абсолютті және жинақталған жиіліктер кестесін құрыңыз;
b) ауданы ең үлкен пәтерлердің саны қанша?
c) зерттеліп отырған шағын аудандағы пәтерлердің орташа ауданын табыңыз.
Дескриптор: Білім алушы
абсолютті жиілік кестесін құрады;
жинақталған жиіліктер кестесін құрады;
ауданы ең үлкен пәтерлер санын анықтайды;
әрбір интервалдың орташа мәнін табады;
интервал орташа мәнін жиілікке көбейтіп, оларды қосады;
пәтерлердің орташа ауданын табу үшін, барлық пәтер санына бөледі.
30
Бөлім: Статистика элементтері
Оқу мақсаты 8.3.3.5 дисперсия, стандартты ауытқу анықтамаларын және
оларды есептеу формулаларын білу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Дисперсияны есептейді
• Орташа квадраттық ауытқуды есептейді
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
Тапсырма
8-сыныптағы 20 білім алушы сөзжұмбақ шешуден сайыс ұйымдастырды. Сайыс соңында жауабы табылмаған сөздердің санын әр білім алушы үшін анықтады. Мәліметтер төмендегі кестеде берілген:
Жауабы
0
1
2
3
4
табылмаған
сөздер саны
Білім алушы
2
1
8
х
4
саны
a) Үш сөздің жауабын таба алмаған білім алушылар санын анықтаңыз;
b) Дисперсияны және орташа квадраттық ауытқуды табыңыз.
Дескриптор: Білім алушы
белгісіз элементті табады;
арифметикалық ортаның мәнін табады;
дисперсияны табу үшін формуланы қолданады;
дисперсияны есептейді;
орташа квадраттық ауытқуды есептейді.
31
4-ТОҚСАН
Бөлім: Теңсіздіктер
Оқу мақсаты 8.2.2.8 квадрат теңсіздіктерді шешу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Квадрат теңсіздіктерді шешеді
• Квадрат теңсіздіктерге келтірілетін есептерді
шешеді
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі Жоғары деңгей дағдылары
1-тапсырма
Теңсіздікті шешіңіз:
а) 2 2 + 3 + 1 0;
b) −3 2 + 5 − 2 ≥ 0;
c) 2 − 16 + 64 ≥ 0;
d) −4 2 + 12 − 9 0;
e) 36 2 + 12 ≤ 0.
Дескриптор: Білім алушы
теңсіздікті шешу тәсілін таңдайды;
функция нөлдерін табады;
функция нөлдерін сан осіне белгілейді;
графигін саладытаңба тұрақтылық аралықтарын анықтайды;
жауабын жазады.
2-тапсырма
Функцияның анықталу облысын табыңыз:
) =
1
√4 − 25 2
b) = �( + 5)(4 − )
Дескриптор: Білім алушы
функция анықталатындай, квадрат теңсіздік құрастырады;
теңсіздікті шешу тәсілін таңдайды;
квадрат теңсіздікті шешеді;
функцияның анықталу облысын жазады.
3-тапсырма
Бейсбол добын таяқшамен соққан кезде t (сек), ( ≥ 0) уақытында доптың биіктігі h болып, траекториясы ℎ = −16 2 + 64 + 4 теңдеуімен өрнектелді. Қандай уақыт аралығында доптың биіктігі 52 метрден артық болды?
Дескриптор: Білім алушы
есеп шартына сай, квадрат теңсіздік құрастырады;
теңсіздікті шешу тәсілін таңдайды;
квадрат теңсіздікті шешеді;
есеп шартына сәйкес жауабын жазады.
32
Бөлім: Теңсіздіктер
Оқу мақсаты
8.2.2.9 рационал теңсіздіктерді шешу
Бағалау критерийі
Білім алушы
• Рационал теңсіздіктерді шешеді
Ойлау дағдыларының
Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Теңсіздікті шешіңіз:
а)
2 −6
≤ 0;
+4
b)
2−2 −15
0;
( −2)
2
3
c)
( −3) ( +4)
≥ 0;
6
( −1)(2 +3)
d)
1
−
1
≤ 1.
+3
−1
Дескриптор: Білім алушы
рационал теңсіздікті шешудің тиімді тәсілін таңдайды;
айнымалының мүмкін мәндер жиынын анықтайды;
өрнекті нөлге айналдыратын нүктелерді табады;
сан осіне өрнекті нөлге айналдыратын және анықталу облысына кірмейтін нүктелерді белгілейді;
таңба тұрақтылық аралықтарын анықтайды;
жауабын жазады.
2-тапсырма
Теңсіздікті шешіп, барлық теріс бүтін шешімдерін табыңыз:
( 2 − 7 − 8)(3 − 2 ) ≤ 0
Дескриптор: Білім алушы
көбейткіштерді нөлге айналдыратын нүктелерді табады;
сан осіне өрнекті нөлге айналдыратын нүктелерді белгілейді;
таңба тұрақтылық аралықтарын анықтайды;
теңсіздіктің шешімінен теріс бүтін сандарды теріп жазады.
33
Бөлім: Теңсіздіктер
Оқу мақсаты 8.2.2.10 біреуі сызықтық, екіншісі - квадрат теңсіздік
болатын екі теңсіздіктен құралған жүйелерді шешу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Біреуі сызықтық, екіншісі - квадрат теңсіздік болатын
екі теңсіздіктен құралған жүйелерді шешеді
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз:
a) �2 2 − 5 − 3 ≤ 0 ;
−3 6
b) �(2 − 3)(3 + 2) (6 − 1)( + 3);
5 2 + 4 − 3( 2 + − 5) ≥ 0
c) �
5 2 − 2 + 3 ≥ 0
;
5 − 3 ≤ − 4( − 3)
d) � 10 − 7 4 − .
4 2 + 12 + 9 ≤ 0
Дескриптор: Білім алушы
жүйедегі сызықтық теңсіздікті шешеді;
алынған сан аралығын оське белгілейді;
жүйедегі квадрат теңсіздікті шешеді;
алынған сан аралықтарын оське белгілейді;
сан осіндегі шешімдердің қиылысуын табады;
есептің жауабын жазады.
2-тапсырма
х-тің қабылдайтын мүмкін мәндер жиынын анықтаңыз:
√4 + 3 +
2
√9 2 − 16
Дескриптор: Білім алушы
әрбір түбір астындағы өрнектің анықталу облысын анықтайды;
екі теңсіздіктен жүйе құрады;
жүйедегі сызықтық теңсіздікті шешеді;
алынған сан аралығын оське белгілейді;
жүйедегі квадрат теңсіздікті шешеді;
алынған сан аралықтарын оське белгілейді;
сан осіндегі шешімдердің қиылысуын табады;
есептің жауабын жазады.
34
Бөлім: Теңсіздіктер
Оқу мақсаты 8.2.2.11 құрамында екі квадрат теңсіздігі бар жүйелер мен
жиынтықтарды шешу
Бағалау критерийі Білім алушы
• Квадрат теңсіздіктер жүйесін шешеді
• Квадрат теңсіздіктер жиынтығын шешеді
Ойлау дағдыларының Қолдану
деңгейі
1-тапсырма
Теңсіздіктер жүйесін шешіп, барлық оң бүтін түбірлерін табыңыз:
x2 − x − 20 ≤ 0; 15 − 2x − x2 0.
Дескриптор: Білім алушы
бірінші квадрат үшмүшеліктің түбірлерін табады;
квадраттық үшмүшеліктің таңба тұрақтылық аралықтарын анықтайды;
бірінші теңсіздіктің шешімін жазады;
екінші квадрат үшмүшеліктің түбірлерін табады;
квадраттық үшмүшеліктің таңба тұрақтылық аралықтарын анықтайды;
екінші теңсіздіктің шешімін жазады;
сан осіндегі екі теңсіздіктердің шешімдерінің қиылысуын табады;
табылған шешімнен оң бүтін түбірлерді теріп жазады;
есептің жауабын жазады.
2-тапсырма
Теңсіздіктер жиынтығын шешіңіз:
�3 2 − 10х + 3 0;
5 2 + 9 + 4 ≤ 0.
Дескриптор: Білім алушы
бірінші квадрат үшмүшеліктің түбірлерін табады;
квадраттық үшмүшеліктің таңба тұрақтылық аралықтарын анықтайды;
бірінші теңсіздіктің шешімін жазады;
екінші квадрат үшмүшеліктің түбірлерін табады;
квадраттық үшмүшеліктің таңба тұрақтылық аралықтарын анықтайды;
екінші теңсіздіктің шешімін жазады;
алынған сан аралықтарын оське белгілейді;
сан осіндегі шешімдердің бірігуін табады;
есептің жауабын жазады.
35
Тізбектер мен прогрессиялар тақырыбында элективті курс құрастыру
Функция және оның графигі. Функцияның берілу тәсілдері және оның графигі
Қолданбалы курс Тамаша теңсіздіктер
Квадрат теңсіздіктерді шешуде оқушылардың математикалық сауаттылығын арттыру жолдары
Стандарт емес есептерді шығару арқылы оқушылардың математикалық қабілеттерін дамыту
Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу
Математикалық функциялар
Мектеп математикасындағы квадраттық теңдеулерді шешу жолдары
Анықталмаған интеграл және интегралдаудың негізгі әдістері
Жаратылыстану-математика сыныптарында оқытылатын математиканың элективтік курстарының мазмұны
Квадрат теңсіздіктерді шешуде оқушылардың математикалық сауаттылығын арттыру жолдары
Квадрат теңсіздік
Квадрат теңдеулер
Квадрат теңдеу
Дұрыс қиық пирамиданың табаны қабырғалары және болатын квадрат