Арифметикалық және геометриялық прогрессия туралы
Арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың тарихы
Ежелгі замандардан бастап адамзат арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың заңдылықтарын қолдана білген. Бұған дәлел ретінде біздің заманымызға дейінгі ежелгі вавилондықтардың сына жазу (клинопись) кестелерінде, сондай-ақ ежелгі мысырлықтар мен гректердің папирустарында кездесетін көптеген мысалдарды айтуға болады.
Ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және олардың қосындысын табу тәсілдерін білген. Архимед (б.з.б. III ғ.) фигуралардың аудандары мен денелердің көлемдерін есептегенде сан тізбегінің бірнеше мүшелерінің қосындысын қолданған.
Шахмат тақтасы туралы аңыз: өсудің қуаты
Геометриялық прогрессияда еселік g > 1 болғанда тізбек өте жылдам өсетінін көрсететін әйгілі аңыз сақталған. Ежелгі үнді патшасы Шерам шахмат ойынын ойлап тапқан өнертапқыш Сетаны марапаттамақ болып, одан қалағанын сұрайды.
Сета шахмат тақтасындағы 64 шаршының: біріншісіне — 1 дән, екіншісіне — 2 дән, үшіншісіне — 4 дән, төртіншісіне — 8 дән, әрі қарай әр шаршыға алдыңғысынан 2 есе көп дән беруді өтінеді.
Нәтиже
Сұралған дәндер саны:
1 + 2 + 22 + … + 263
Бұл қосынды:
18 446 744 073 709 551 615
Өлшемге айналдыру
Егер 1 пұт астықта 40 000 дән бар десек, онда қажет мөлшер:
230 584 300 921 369 пұт
Салыстыру
Қазақстанда бір жылда жиналатын астық мөлшерін орта есеппен 1 000 000 000 пұт деп алсақ, онда бұл тілекті орындау үшін:
230 584 жыл
еңбек ету қажет болар еді.
Аңыздың негізгі ойы — геометриялық прогрессиядағы екі еселеу секілді қарапайым ереже қысқа қадамдармен басталғанымен, өте үлкен нәтижеге тез жеткізеді.
Атаулардың шығуы және формулалардың қалыптасуы
Арифметикалық прогрессия атауы сандардың арифметикалық ортасы ұғымымен байланысты, ал геометриялық прогрессия атауы кесінділердің геометриялық пропорционалдылығымен байланысты қалыптасқан.
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысы формуласының дәлелін грек оқымыстысы Диофант (III ғ.) келтірген. Геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысы формуласы Евклидтің «Бастамаларында» (б.з.б. III ғ.) кездеседі.
Прогрессияларға қатысты бірқатар деректер итальян математигі Л. Фибоначчидің «Абак кітабында» (1202) берілген. Ал шексіз кемімелі геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысын табу формулалары француз математигі Никола Шюкеннің «Үш бөліктен тұратын сандар туралы ғылым» (1484) атты еңбегінде келтірілген.
Гаусс туралы эпизод: арифметикалық прогрессияның айласы
Арифметикалық прогрессияға қатысты ең танымал оқиғалардың бірі неміс математигі Карл Фридрих Гаусстың (1777–1855) балалық шағымен байланысты. Мұғалім сынып оқушыларын біраз уақытқа тыныштандыру үшін 1-ден 40-қа дейінгі сандардың қосындысын табуды тапсырады. Тоғыз жасар Гаусс бұл есепті бір минутта шығарып, жауабын айтады.
Гаусстың тәсілі
Ол сандарды жұптастырып қосады:
Басы мен соңы
1, 2, 3, …, 20
Соңынан кері
40, 39, 38, …, 21
Әр жұптың қосындысы 41-ге тең, ал мұндай жұптар саны 20. Сондықтан:
41 × 20 = 820
Осылайша Гаусс арифметикалық прогрессияның заңдылығын тиімді қолданған.
Қорытынды ой
Прогрессиялар — тек формулалар жиынтығы емес, олар есептеуді жеңілдететін, табиғи өсуді түсіндіретін және математика тарихындағы көптеген жаңалықтарға негіз болған әмбебап құралдар.