Алғашқы функция анықталмаған интеграл және оның қасиеттері
Алғашқы функция ұғымы
Егер қандай да бір аралықтың әрбір нүктесінде F′(x) = f(x) теңдігі орындалса, онда F(x) функциясы сол аралықтағы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысал
f(x) = x функциясы үшін бүкіл нақты сандар осінде F(x) = x²/2 — алғашқы функция, өйткені (x²/2)′ = x.
Алғашқы функцияның негізгі қасиеті
Егер F(x) белгілі бір аралықта f(x) функциясының алғашқы функциясы болса, онда F(x) + C функциясы да сол аралықта алғашқы функция болады, мұндағы C — кез келген тұрақты сан.
Геометриялық интерпретация
Берілген f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларының графиктерін бір-бірінен тігінен параллель көшіру арқылы алуға болады. Яғни, +C қосылуы графикті жоғары немесе төмен жылжытады, бірақ пішінін өзгертпейді.
Анықталмаған интеграл
Берілген f(x) функциясы үшін оның барлық алғашқы функцияларының жиынтығы анықталмаған интеграл деп аталады және мына түрде белгіленеді:
∫ f(x) dx = F(x) + C, мұндағы C — кез келген тұрақты.
Интегралдау ережелері, кесте және әдістер
Интегралдар ережелері
- Егер F′(x) = f(x) болса, онда ∫ f(x) dx = F(x) + C.
- Тұрақты көбейткішті интегралдың сыртына шығаруға болады: ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx.
- Қосындыны (айырманы) бөлек интегралдауға болады: ∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.
Интегралдау кестесі
Практикада жиі қолданылатын элементар функциялардың стандарт интегралдары жинақталған кесте пайдаланылады. Ол есептеуді жылдамдатады және интегралдарды түрлендіруде тірек болады.
1) Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі
Интегралдың ішіндегі өрнекті қолайлы жаңа айнымалымен алмастырып, есепті қарапайым түрге келтіру әдісі.
2) Бөлшектеп интегралдау әдісі
Егер u(x) және v(x) функцияларының туындылары мен интегралдары бар болса, онда ∫ u(x)·v′(x) dx = u(x)·v(x) − ∫ u′(x)·v(x) dx.
Ескерту: әдетте оң жақтағы интеграл бастапқы интегралға қарағанда оңай табылатын болуы керек. Әйтпесе әдіс есепті күрделендіріп жіберуі мүмкін.
Алынбайтын (элементар емес) интеграл туралы түсінік
Кез келген элементар функцияның туындысы да элементар функция болып табылады. Демек, дифференциалдау амалын қолданғанда элементар функциялар класынан «шығып кетпейміз». Бірақ интегралдау үшін бұл қасиет әрдайым орындала бермейді: кейбір элементар функциялардың интегралдары (бар болса да) элементар функциялар арқылы өрнектелмейді.
Негізгі түйін
Дифференциалдау элементарлықты сақтайды, ал интегралдау — міндетті түрде сақтамайды. Сондықтан кей интегралдар үшін жауапты тек элементар функциялар арқылы жазу мүмкін болмайды.