Кездейсоқ шама мәндері
Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары
Кездейсоқ шаманы «білу» дегенді оның нақты бір сандық мәнін ғана білу деп түсінбеу керек. Мысалы, «баланың бойы 1 м 50 см» десек, онда бұл шама белгілі бір тұрақты мән қабылдап, кездейсоқ шама болудан қалады. Демек, кездейсоқ шама туралы толық мәлімет алу үшін бізге не қажет деген сұрақ туындайды.
Толық сипаттама үшін екі нәрсе керек:
- кездейсоқ шаманың қабылдай алатын барлық мүмкін мәндері;
- әр мәннің қандай ықтималдықпен қабылданатыны.
Тәжірибе нәтижесінде кездейсоқ шама өз мәндерінің бірін қабылдайды. Бұл мәндерге сәйкес оқиғалар өзара үйлесімсіз болып, толық топ құрайды. Әр оқиғаға тиісті ықтималдықтарды белгілесек, толық топ болғандықтан, барлық ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең болады. Басқаша айтқанда, 1-ге тең жалпы ықтималдық кездейсоқ шаманың жеке мәндері бойынша белгілі бір түрде «үлестіріледі».
Кездейсоқ шама мәндерін және оларға сәйкес ықтималдықтарды байланыстыратын ереже дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы деп аталады. Бұл заңды кесте, график немесе формула түрінде көрсетуге болады.
I. Үлестірім кестесі (үлестірім қатары)
Үлестірім кестесінде кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері және сол мәндерге сәйкес ықтималдықтар беріледі. Кесте түрінде берілген дискретті кездейсоқ шама үлестірімі кейде үлестірім қатары деп те аталады.
| Кездейсоқ шама мәндері | … | Қосынды |
|---|---|---|
| Сәйкес ықтималдықтар | … | 1 |
1-мысал: Екі ойын кубының ұпайлары қосындысы
Екі ойын кубын лақтырғанда 36 тең мүмкін нәтиже болады. Әр нәтиже — реттелген жұп: (бірінші куб, екінші куб). Қосынды мәні әртүрлі жиілікпен кездеседі: 2 бір рет, 3 екі рет, 4 үш рет, …, 7 алты рет, содан кейін симметриялы түрде азаяды.
| Қосынды (S) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(S) | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
2-мысал: Лотерея ұтысының үлестірімі
Математикалық кеште 100 лотерея билеті сатылды. Ұтыстар: 50 билет — 1 сом, 10 билет — 2 сом, 5 билет — 3 сом. Бір билет алған оқушының ұтысы кездейсоқ шама болсын.
Кездейсоқ шама мүмкін мәндері: 0, 1, 2, 3.
Ұтпайтын билеттер саны: 35 (өйткені 50 + 10 + 5 = 65 ұтыс бар).
| Ұтыс (X) | 0 | 1 | 2 | 3 | Қосынды |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | 0,35 | 0,50 | 0,10 | 0,05 | 1 |
3-мысал: Нысанаға тигенше ату (геометриялық сипат)
Атқыштың нысанаға тию ықтималдығы p-ға тең болсын. Атқыш нысанаға тигенше атады, тиген сәтте ату тоқтатылады. Онда кездейсоқ шама — нысанаға тигенше атылған оқ саны. Оның мүмкін мәндері: 1, 2, 3, ….
- P(X = 1) = p (бірінші оқ дәл тисін).
- P(X = 2) = (1 − p)p (біріншісі тимейді, екіншісі тиеді).
- P(X = 3) = (1 − p)2p, т.с.с.
| X | 1 | 2 | 3 | … |
|---|---|---|---|---|
| P(X) | p | (1 − p)p | (1 − p)2p | … |
Үлестірім заң болуы үшін ықтималдықтардың қосындысы міндетті түрде 1-ге тең болуы керек: бұл жағдайда p + (1 − p)p + (1 − p)2p + … = 1.
II. Үлестірім көпбұрышы
Кесте түрінде берілген үлестірімді график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін абсциссалар осі бойына кездейсоқ шама мәндерін, ал ординаталар осі бойына сол мәндерге сәйкес ықтималдықтарды саламыз. Нәтижесінде ықтималдықтардың үлестірім графигі алынады.
1-тәсіл: Кесінділер арқылы
Әр мәнге сәйкес ықтималдық ордината осіне параллель кесіндімен белгіленеді.
2-тәсіл: Нүктелерді қосу арқылы
Нүктелердің ұштарын түзу сызықтармен қосқанда көпбұрыш пайда болады. Ол үлестірім көпбұрышы деп аталады.
Үлестірім заңының формула арқылы берілуі
Кейбір жағдайларда үлестірім заңы функционалдық тәуелділік формуласы арқылы беріледі. Мұндай үлестірімдерге биномдық, Пуассондық, геометриялық және гипергеометриялық үлестірімдер жатады.
1) Биномдық үлестірім
Биномдық үлестірім, әдетте, тәуелсіз сынақтар сериясындағы «сәттілік санының» ықтималдығын сипаттайды. (Берілген мәтінде формула толық көрсетілмеген.)
Ескертпе: мәтін соңындағы «4-мысал. 2.» бөлігі толық емес болғандықтан, бұл бөлімді осы жерден аяқтаймыз.