Орташа шамалар

Статистикалық физикада әртүрлі физикалық шамалардың орташа мәндерін есептеу маңызды. Орташа шамалар тәжірибелік өлшеулер нәтижелерін түсіндіруге және жүйенің тепе-теңдік қасиеттерін сипаттауға мүмкіндік береді.

Дискретті кездейсоқ шама үшін орташа мән

Егер бақылаулардың жалпы саны N болса және дискретті кездейсоқ шама x мәнін nᵢ рет қабылдаса, онда орташа мән:

⟨x⟩ = (1 / N) · Σ (xᵢ · nᵢ)

Мұнда pᵢ = nᵢ / N — xᵢ мәнінің ықтималдығы. Сондықтан:

⟨x⟩ = Σ (xᵢ · pᵢ)

Үздіксіз кездейсоқ шама үшін орташа мән

Егер кездейсоқ шама x үздіксіз болса, ал оның ықтималдық тығыздығы p(x) арқылы берілсе, онда [a, b] аралығындағы орташа мән:

⟨x⟩ = ∫_a^b x · p(x) dx

Егер өзгеру шектері шексіз болса, онда:

⟨x⟩ = ∫_−∞^∞ x · p(x) dx

Ұқсас түрде шаманың квадраттарының орташа мәні:

⟨x²⟩ = Σ (xᵢ² · pᵢ) немесе ⟨x²⟩ = ∫ x² · p(x) dx

Эргодикалық болжам

Нақты өлшенетін физикалық шамалар, әдетте, бір жүйеге қатысты уақыт бойынша орташа шамалар болып табылады. Егер бақылау уақыты T релаксация уақытынан едәуір үлкен болса, жүйе тепе-теңдікке келеді және уақыт бойынша орташа мәндерді тепе-теңдік таралуы арқылы сипаттауға болады.

Бұл жағдайда уақыт бойынша орташа мен ансамбль бойынша орташа шамалардың сәйкестігі төмендегі идеяға тіреледі:

Тепе-тең таралу функциясы жүйенің ықтимал күйлерін сипаттайды.
Ұзақ уақыт аралығында алынған орташа мәндер осы таралумен есептелетін орташа мәндерге жуықтайды.

Микроканондық жүйе және квазиэргодикалық болжам

Микроканондық таралуы бар тұйық жүйелер үшін бұл сәйкестіктің орындалатыны туралы тұжырым квазиэргодикалық болжамның мазмұнын құрайды.

Болжамға сәйкес жүйенің фазалық траекториясы изоэнергетикалық беттегі кез келген нүктеден шексіз жақын өтеді және сол бетті жеткілікті біртекті толтырады.

Осыдан фазалық кеңістіктегі кішкене көлемде жүйенің болуының ықтималдығы сол көлемде өткізілген уақытқа пропорционал болады, бұл микроканондық таралуға әкеледі.

Яғни, фазалық траектория нүкте маңында қозғалғанда, жүйенің сол маңдағы фазалық көлемде болуының ықтималдығы берілген көлемде өткізілген уақытпен анықталады; бұл тұйық жүйе үшін микроканондық үлестірімге сәйкес келеді.