Түйіндестік теоремасы
1-тапсырма. Жауап-конспект (теория)
«Амалдарды зерттеу» пәні аясында экстремал есептерді және сызықтық программалауды түсіну — ресурстарды тиімді бөлу, өндірісті жоспарлау және шешім қабылдауды формальды модель арқылы негіздеу үшін маңызды.
Кіріспе: шектеулі өлшемді кеңістіктегі экстремал есептер
- Жалпы мәліметтер: шектеулі өлшемді кеңістікте функцияның экстремумын табу есептері, олардың қолданылуы және негізгі қасиеттері.
- Тарихи шолу: экстремал есептердің қалыптасуы, классикалық вариациялық әдістерден бастап қазіргі оптимизацияға дейінгі даму бағыттары.
- Қисындау: мақсат функциясы, айнымалылар, рұқсат етілген аймақ (шектеулер) ұғымдары арқылы есепті нақты қою.
- Негізгі анықтамалар: минимум/максимум, локальды/глобальды экстремум, рұқсат етілген жиын.
- Шектеулері бар есеп: теңдік/теңсіздік түріндегі шектеулер болғанда экстремум есебін қою.
- Компакт жиындар: тұйық және шектелген жиындарда үздіксіз функция экстремумға жететінін қамтамасыз ететін негізгі орта.
- Төменнен жартылай үзіліссіздік: минимумға жету теоремаларын дәлелдеуде маңызды қасиет.
- Жету теоремалары: берілген жиында функцияның ең кіші мәніне жету шарттарын сипаттайтын нәтижелер.
Сызықтық программалау
- Есептің қойылуы: сызықтық мақсат функциясы және сызықтық шектеулер жүйесі.
- Геометриялық түсіндірме: рұқсат етілген көпбұрыш (политоп) және оның төбелерінде оптимумның жатуы.
- Экономикалық түсіндірме: ресурстар шектеулі болғанда пайданы өсіру немесе шығынды азайту.
- Түйіндестік қағидасы және теоремасы: негізгі (primal) және түйіндес (dual) есептердің байланысы, оптимал мәндердің теңдігі.
- Тиімділік шарты: оптималдық критерийлері, соның ішінде комплементарлық бостық идеялары.
- Транспорт есебі: жеткізу жоспарын минималды шығынмен табуға арналған классикалық модель.
- Симплекс әдісі: төбеден-төбеге өту арқылы оптимал шешімге келетін негізгі алгоритм.
2-тапсырма. Математикалық модель құру (Есеп №1)
Есептің мазмұны
Фабрика бояудың екі түрін өндіреді: 1-түр (сыртқы жұмыстарға) және 2-түр (ішкі жұмыстарға). Өндірісте екі ингредиент қолданылады: A және B. Тәуліктік қорлар: A — 6 т, B — 8 т.
Нарықтық шектеулер: 2-түрге сұраныс 1-түр сұранысынан 1 тоннадан артық болмайды; сондай-ақ 2-түрдің тәуліктік сұранысы 2 тоннадан аспайды.
Көтерме баға: 1-түр — 3 мың рубль/т, 2-түр — 2 мың рубль/т. Мақсат — сатудан түсетін кірісті максималдау.
Айнымалылар
x — тәулігіне өндірілетін 1-түрдегі бояу көлемі (тонна).
y — тәулігіне өндірілетін 2-түрдегі бояу көлемі (тонна).
Табиғи шарт: x ≥ 0, y ≥ 0.
Мақсат функциясы (кіріс)
Кіріс (мың рубльмен):
Max Z = 3x + 2y
Мұнда 3 және 2 — сәйкесінше 1-түр және 2-түр бояудың бір тоннасына келетін көтерме баға (мың рубль).
Шектеулер жүйесі
Ресурстық шектеулер (ингредиенттер)
- Ингредиент A: 1-түрге 1 т, 2-түрге 2 т қажет, қор 6 т: x + 2y ≤ 6.
- Ингредиент B: 1-түрге 2 т, 2-түрге 1 т қажет, қор 8 т: 2x + y ≤ 8.
Нарықтық шектеулер (сұраныс)
- 2-түр сұранысы 1-түрден 1 т-дан артық емес: y − x ≤ 1.
- 2-түрдің тәуліктік сұранысы 2 т-дан аспайды: y ≤ 2.
Қорытынды модель (сызықтық программалау есебі)
Максималдау:
Z = 3x + 2y → max
Шектеулер:
- x + 2y ≤ 6
- 2x + y ≤ 8
- y − x ≤ 1
- y ≤ 2
- x ≥ 0, y ≥ 0
Кесте: өндіріс параметрлері
| Ингредиент | 1-түр бояуға шығын (т / 1 т бояу) | 2-түр бояуға шығын (т / 1 т бояу) | Тәуліктік қор (т) |
|---|---|---|---|
| A | 1 | 2 | 6 |
| B | 2 | 1 | 8 |
Ескерту: Кестедегі мәндер 1 тонна бояу өндіруге кететін ингредиент шығынын және тәуліктік қорды көрсетеді.