Матрицаның рангі
I тарау
Сызықтық алгебра элементтері.
§ 1. Матрицалар.
1. Матрицаның түрлері.
Ұзындықтары бірдей жолдан тұратын сандардың тік бұрышты кестесін матрица деп атайды. Матрица мына түрде жазылады:
немесе қысқаша , мұндағы -жолдың нөмірі, бағанның нөмірі. А матрицасын өлшемді деп атап, түрінде жазады. Жоғарғы сол жақ төбесінен шығатын диагоналінің бойындағы элементтер матрицаның бас диагоналі деп аталады.
Егер матрицалардың барлық сәйкес элементтері тең болса, онда бұл матрицалар өзара тең деп аталады, яғни , егер , мұндағы .
Матрицаның мынандай түрлері бар:
1) жолы мен бағанының саны тең болатын матрицаны квадрат матрица деп атайды.
2) Өлшемі болатын матрицаны өлшемді матрица деп атайды.
3) Бас диагональдің бойындағы элементтерден басқа элементтердің барлығы нольге тең болатын квадраттық матрица диагональдық матрица деп аталады да мына түрде жазылады:
немесе
4. Бас диагональдің бойындағы элементтері 1-ге тең болатын диагональдық матрица бірлік матрица деп аталып, Е әрпімен белгіленеді.
5. Бас диагональдың бір жағындағы элементтердің барлығы нольге тең болатын квадраттық матрица үшбұрышты деп аталады.
6. Барлық элементтері нольге тең болатын матрица нольдік матрица деп аталып, О әрпімен белгіленеді. Ол мына түрде болады:
Матрицалық есептеулерде О және Е матрицалары арифметикадағы 0 мен 1-ді ң ролін атқарады.
7. Бір ғана жолдан тұратын матрица жолдық матрица деп аталады. Оның өлшемі болады.
8. Бір ғана бағаннан тұратын матрица бағандық матрица деп аталады, оның өлшемі болады
Өлшемі болатын, яғни бір жолдан, бір бағаннан тұратын матрица бір элементті матрица деп аталады.
Нөмірін сақтай отырып жолын бағанға ауыстырғанда шыққан матрица берілген матрицаның транспонданған матрицасы деп аталып арқылы белгіленеді.
А матрицадан өлшемді болса, матрицасы өлшемді болады. Мысалы: , сонда . Егер , онда
Транспонданған матрицаның мынандай қасиеті бар: .
2. Матрицаларға амалдар қолдану
Матрицаларды қосу
Матрицаларды қосу амалы тек қана бірдей өлшемді матрицалар үшін орындалады.
және матрицаларының қосындысы деп , мұндағы матрицасын айтады, яғни өлшемдері бірдей екі матрицаны қосу үшін оның сәйкес элементтерін қосу керек.
Мысалы:
,
Матрицаны санға көбейту
матрицасын санына көбейту деп , мұндағы матрицасын айтады, яғни матрицаны санға көбейту үшін оның әрбір элементін осы санға көбейту керек.
Мысал
,
Егер болса, онда матрицасы А-ға қарама-қарсы матрица деп аталады.
Матрицалардың айырмасын түрінде анықтауға болады. Матрицаларды қосу және санға көбейтудің мынандай қасиеттері бар.
1. Матрицаларды қосу ауыстырымды
2. Матрицаларды қосу терімді
3.
4.
5.
6. Матрицалардың қосындысын санға көбейту үлестірімді
7. Матрицаны сандардың қосындысына көбейту үлестірімді
8.
3. Матрицаны элементар түрлендіру
Мынандай түрлендірулер матрицаны элементар түрлендіру болып табылады.
1. Матрицаның кез келген екі жолының (бағанының) орнын ауыстыру
2. Матрицаның кез келген жолын (бағанын) нольден өзгеше санға көбейту (бөлу)
3. Матрицаның кез келген жолының (бағанының) элементтерін бір санға көбейтіп (бөліп) басқа бір жолдың (бағанның) сәйкес элементтеріне қосуға болады.
Егер В матрицасы А матрицасын элементар түрлендіру арқылы алынса, онда оларды эквивалентті матрицалар деп атап, ~ түрінде белгілейді.
Элементар түрлендірулер арқылы кез келген матрицаны бас диагоналінің қатарынан бірнеше элементі бір, қалған элементтері ноль болатын матрицаға келтіруге болады. Мұндай матрицаны канондық матрица деп атайды.
Мысалы:
Мысал матрицасын канондық түрге келтіру керек.
Шешуі: элементар түрлендірулер жасаймыз.
~ ~ ~ ~ ~ ~
4. Матрицаларды көбейту
Екі матрицаны көбейту тек қана бір матрицаның бағанының саны екінші матрицаның жолының санына тең болған жағдайда ғана орындалады.
матрицасының матрицасына көбейтіндісі деп , мұндағы
түріндегі матрицаны айтады, яғни С матрицасының -ші жолы мен -шы бағандағы элементі А матрицасының -ші жолдағы элементтерін В матрицасының -шы бағандағы сәйкес элементтеріне көбейтіп қосқанда шығады. Мұны схемалы түрде былай көрсетейік:
Егер А және В бірдей өлшемді квадраттық матрицалар болса, онда олардың және көбейтінділері бар болады.
, мұндағы А - квадраттық матрица екенін оңай көрсетуге болады.
Мысал
Мысал Бұл жағдайда көбейтіндісі анықталмайды, себебі А матрицасының бағанының саны (үшеу) мен В матрицасының жолының саны (екеу) бірдей емес.
Ал ВА көбейтіндісін анықтауға болады.
Екі матрицаның көбейтіндісі ауыстырымды емес, яғни
Егер болса, онда А және В матрицалары ауыстырымды деп аталады. Матрицаларды көбейтудің мынандай қасиеттері бар:
1. - терімді
2. - сол жағынан үлестірімді
3. - оң жағынан үлестірімді
4.
Транспондау амалының қасиеттері:
1.
2.
§ 2. Анықтауыштар
1. Негізгі ұғымдар
өлшемді А квадраттық матрицасына оның анықтауышы деп аталатын немесе , немесе санын мына түрде сәйкес қоюға болады.
1.
2.
3.
А матрицасының анықтауышын оның детерминанты деп те атайды.
n өлшемді А матрицасының анықтауышын есептеу ережесі есте сақтауға да, оны қолдануға да өте күрделі. Дегенмен, жоғары ретті анықтауыштарды төменгі ретті анықтауыштар арқылы есептеу әдісі белгілі. Сондықтан реті 1, 2, 3 болатын анықтауыштарды анықтама бойынша есептей алу керек.
Екінші ретті анықтауышты есептеу схемасын былай көрсетуге болады:
,
яғни бас диагональдың бойындағы элементтердің көбейтіндісінен көмекші диагональдың бойындағы элементтердің көбейтіндісін шегеру керек.
Мысалы, анықтауышты есептеу керек
1)
2)
Үшінші ретті анықтауышты Саррюс әдісімен (үшбұрыш әдісі) есептеу тиімді. Анықтауыштың мәніндегі таңбасымен алынған үш мүшенің біреуі бас диагональдың бойындағы элементтердің көбейтіндісі, ал қалған екеуі - осы диагональға параллель түзудің бойындағы екі элемент пен оған қарама-қарсы жатқан бұрыштық элементтің көбейтіндісі болады. "-" таңбамен алынатын мүшелер де дәл осылайша көмекші диагональға қатысты алынады. Сонымен, үшінші ретті анықтауышты есептеудің схемасы мынандай:
Мысалы, анықтауышты есепте:
2. Анықтауыштың негізгі қасиеттері
Кез келген өлшемді анықтауыш үшін орындалатын анықтауыштың негізгі қасиеттерін келтіреміз. Олардың кейбіреулерін үшінші ретті анықтауыш арқылы түсіндіреміз.
1-қасиет Сәйкес жолы мен бағанының орнын ауыстырғаннан анықтауыш өзгермейді
2-қасиет Екі жолдың (бағанның) орнын ауыстырса, анықтауыштың таңбасы өзгереді.
3-қасиет Анықтауыштың екі жолы (бағаны) бірдей болса, анықтауыш нольге тең болады.
4-қасиет Жолдың (бағанның) ортақ көбейткішін анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады.
3 және 4 қасиеттерден егер кез-келген екі жолдың (бағанның) элементтері пропорционал болса, онда анықтауыштың нольге тең екені шығады. Шындығында да,
5-қасиет Егер анықтауыштың жолы (бағаны) екі қосылғыштың қосындысынан тұрса, онда анықтауышты сәйкес екі анықтауыштың қосындысына жіктеуге болады.
6-қасиет (анықтауышты элементар түрлендіру)
Егер анықтауыштың бір жолын (бағанын) кез келген санға көбейтіп, басқа жолға (бағанға) қосқаннан анықтауыш өзгермейді
n ретті анықтауыштың ai,j элементінің миноры деп осы элемент қиылысуында болатын жол мен бағанды сызып тастағанда алынған ретті анықтауышты айтады да mi,j деп белгілейді.
сонда
-элементінің алгебралық толықтырылуы деп, қосындысы жұп болса, таңбасымен, тақ болса "-" таңбасымен алынған минорын атайды.
.
Мысалы 3-ші ретті анықтауыштың элементінің алгебралық толықтырылуы мынандай болады:
7-қасиет (анықтауышты кез-келген жолдың (бағанның) элементі бойынша жіктеу)
Анықтауыштың мәні оның кез келген жолының (бағанның) элементін сәйкес минорына көбейтіп қосқанға тең
7-қасиет жоғары ретті анықтауыштарды есептеу үшін қолданылады.
Мысалы:
Әдетте анықтауышты жолдың (бағанның) элементтері арқылы жіктегенде нольдік элементтері бар жол (баған) таңдалып алынады.
8-қасиет Анықтауыштың қандай да бір жолының (бағанның ) элементтері мен оған параллель басқа жолдың (бағанның) алгебралық толықтауышының сәйкес көбейтіндісінің қосындысы нольге тең.
Мысалы,
3. Туындалмаған матрица ұғымы
n - ретті квадраттық матрица болсын.
Егер квадраттық матрицаның анықтауышы нольге тең емес болса, онда матрицасы туындалмаған матрица деп аталады, яғни ал егер болса, онда матрицасы туындалған матрица деп аталады.
Матрицасы матрицасымен одақтас матрица деп аталады, мұндағы элементі берілген матрицаның элементінің алгебралық толықтырылуы.
4. Кері матрица
А н ы қ т а м а. теңдігі орындалатындай матрицасын берілген А матрицасына кері матрица деп атайды.
Мұндағы Е - бірлік матрица, оның өлшемі А матрицасының өлшемімен бірдей болады. матрицасының да өлшемі А - ның өлшеміне тең.
Т е о р е м а. Кез келген туындалмаған матрицаның кері матрицасы болады.
Теореманың дәлелдеуін 3-ші ретті матрица үшін қарастырамыз.
және болсын.
А матрицасына одақтас матрицаны құрамыз.
Енді және матрицаларының көбейтіндісін табамыз.
Сонымен . Бұл теңдікті біз анықтауыштырдың 7 және 8 қасиеттерін пайдалану арқылы алдық.
екеніне көз жеткізуге болады. Бұл теңдіктерді мына түрде жазайық:
және
Осы теңдіктерді салыстырып және кері матрицаның анықтамасын пайдаланып
, яғни
Кері матрицаның қасиеттері:
1.
2.
3.
Мысал-1. , матрицасын табу керек.
Шешуі:
1) табайық:
2) матрицасын табамыз. . Сонда
3) матрицасын табамыз.
4) теңдігін қолданып тексеру жүргіземіз.
5. Матрицаның рангі
Өлшемі болатын матрицасын қарастырайық:
Осы матрицадан жолды, бағанды белгілеп алайық. Белгіленген жол мен бағанның қиылысуынан - ретті анықтауыш құрамыз. Осындай анықтауыштарды матрицаның миноры деп атайды. матрицасында үзік сызықпен 2-ші ретті минор көрсетілген.
Берілген матрицаның нольден өзгеше ең үлкен ретті миноры матрицаның рангі деп аталады. Оны немесе деп белгілейді.
Реті матрицаның рангін анықтайтын минор базистік деп аталады. Матрицада бірнеше базистік минор болады.
Мысал. матрицасының рангін табу керек.
Шешуі: 3-ші ретті минорлардың барлығы нольге тең. Нольге тең емес 2-ші ретті минор бар, , яғни
Базистік минор 2 және 3 жолдың 1 және 3 бағандарының қиылысуынан құрылған.
Матрицаның рангінің қасиеттері:
1. Матрицаны транспондағаннан оның рангі өзгермейді.
2. Матрицадан оның нольдік жолдарын алып тастағаннан оның рангі өзгермейді.
3. Матрицаны элементар түрлендіргеннен оның рангі өзгермейді.
Канондық матрицаның рангі оның бас диагоналінің бойындағы нольге тең емес элементтерінің санына тең. Матрицаның рангін есептеудің бір тәсілі осыған негізделген.
Мысал. матрицасының рангін табу керек.
.
§3. Сызықтық теңдеулер жүйесі
1.Сызықтық теңдеулер жүйесі туралы түсінік.
түріндегі теңдеулер жүйесін сызықтық теңдеулер жүйесі деп атайды. Осындай теңдеудің жүйесі қысқаша былай жазылады:
, (1)
А н ы қ т а м а: Егер , теңдігі орындалса сандарының жиыны (1) теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.
Егер сызықтық теңдеулер жүйесінің ең болмағанда бір шешімі бар болса, онда ол үйлесімді деп, ал егер шешімі болмаса үйлесімді емес деп аталады.
(1) сызықтық теңдеулер жүйесімен қатар
(2) теңдеулер жүйесін қарастырайық.
А н ы қ т а м а: Егер (1) теңдеулер жүйесінің әрбір шешімі (2) теңдеулер жүйесінің шешімі болса, онда (2) теңдеулер жүйесін (1) теңдеулер жүйесінің салдары деп атайды.
Егер (1) теңдеулер жүйесінің барлық шешімінің жиыны (2) теңдеулер жүйесінің шешімдер жиынының ішкі жиыны болса, сонда тек сонда, (2) сызықтық теңдеулер жүйесі (1)-нің салдары болады.
А н ы қ т а м а: Егер сызықтық теңдеулер жүйесінің біреуінің әрбір шешімі екінші жүйенің де шешімі болса, онда бұл теңдеулер жүйелері тең мағыналы деп аталады.
Егер сызықтық теңдеулердің екі жүйесінің әр біреуі екіншісінің салдары болса, онда бұл теңдеулер жүйелері тең мағыналы болады. Сонымен қатар сызықтық теңдеулердің екі жүйесінің біреуінің шешімдер жиынын екіншісінің барлық шешімдер жиынымен беттессе, онда осы екі жүйе тең мағыналы болады.
Берілген белгісізді теңдеулер жүйесін матрицалық түрде былай жазуға болады.
Мұндағы жүйенің коэффициенттерінен құрылған матрица, оны жүйенің негізгі матрицасы деп атайды.
, - -белгісіздерінен құрылған бағандық матрица.
-- бос мүшелерден құрылған бағандық матрица.
Негізгі матрицаға бос мүшені тіркеп жазғаннан шыққан матрица жүйенің кеңейтілген матрицасы деп аталады.
2. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу. Крамер формуласы
белгісізді теңдеулер жүйесі берілсін
Бұл жүйенің негізгі марицасы квадраттық матрица. Оның анықтауышы жүйенің анықтауышы деп аталады.
Егер болса, жүйе туындалмаған деп аталады.
болған жағдайда жүйені шешейік. Берілген жүйені матрицалық түрде жазып алайық.
. Бұл теңдеудің екі жағын да сол жақтан матрицаға көбейтіп теңдігін аламыз.
болғандықтан
Сызықтық теңдеулер жүйесінің бұл шешуі матрицалық әдіспен шешу деп аталады. Бұл шешімді матрицалық түрде былай жазамыз.
, яғни
бұдан
,
------------------------------
Мұндағы µрнегі
анықтауышының бірінші бағанның элементтері бойынша жіктелуі болып табылады. анықтауышы анықтауышының бірінші бағанын бос мүшелерден құрылған бағанмен ауыстырудан алынған.
Сонымен,
Дәл осылайша, , мұндағы анықтауышы анықтауышының екінші бағанын бос мүшелерден құрылған бағанмен ауыстыру арқылы алынды.
Жалпы алғанда , формуласы Крамер формуласы деп аталады.
Сонымен туындалмаған белгісізді теңдеулер жүйесінің немесе Крамер формуласы арқылы табылатын жалғыз ғана шешімі болады.
Мысал. жүйесін шешу керек.
Сонда
3. Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің универсалды және тиімді әдістерінің бірі айнымалыны біртіндеп жою арқылы жүргізілетін Гаусс әдісі болып табылады.
жүйесі берілсін.
Теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу екі кезеңнен тұрады. Бірінші кезеңде берілген жүйе (тура жүріс) үшбұрышты (баспалдақты) түрге келтіріледі.
І кезең. Тура жүріс.
болсын. (Егер болса, онда жүйедегі белгісізінің коэффициенті нольге тең емес болатын кез келген теңдеу бірінші жазылады).
Бірінші теңдеудің екі жағын да -ге кµбейтіп, екінші теңдеуге қосамыз.
Сонан кейін бірінші теңдеудің екі жағын да -ге көбейтіп үшінші теңдеуге қосамыз. Осы процесті жалғастырып, берілген жүйеге эквивалентті мынандай жүйе аламыз.
Мұндағы - бірінші қадамнан кейінгі коэффициенттер мен бос мүшелердің жаңа мәндері.
Дәл осылайша негізгі элемент ретінде алып, бірінші және екінші теңдеуден басқа теңдеулердің барлығынан белгісізін жоямыз. Осы процесс мүмкіндігінше соңына дейін жүргізіледі.
Егер берілген жүйені баспалдақты түрге келтіру барысында түріндегі теңдеу алынса, ол теңдеу жүйеден шығарылып тасталады.
Егер ал түріндегі теңдеу алынса, бұл берілген жүйенің үйлесімсіз екенін көрсетеді.
ІІ кезең. Кері жүріс
Алынған баспалдақты жүйе шешіледі. Жалпы жағдайда, баспалдақты жүйенің шексіз көп шешімі болады. Ең соңғы теңдеуден белгісізін белгісіздері арқылы өрнектейміз. Сонан соң белгісізінің мәнін келесі теңдеуге қойып, белгісізін белгісіздері арқылы өрнектейміз. Дәл осылайша, біртіндеп белгісіздерінің барлығы белгісіздері арқылы өрнектеледі. Мұндағы белгісіздері бос белгісіздер деп аталады. Оларға кез келген мән беру арқылы берілген жүйенің шексіз шешімін алуға болады.
Е с к е р т у: 1. Егер баспалдақты жүйе үшбұрышты түрде болса, , онда берілген жүйенің бір ғана шешімі бар болады.
2. Практикада жүйемен емес, оның кеңейтілген матрицасымен жұмыс істеген жеңіл. Осы матрицаны элементар түрлендіру арқылы үшбұрышты түрге келтіреді. Бұл жағдайда болуы ыңғайлы.
Мысалы жүйені Гаусс әдісімен шешу керек
Берілген жүйенің кеңейтілген матрицасын құрып, оны үшбұрышты түрге келтіреміз.
~~
~
Берілген жүйе мынандай баспалдақты жүйеге эквивалентті болады.
Екінші теңдеуден
Осы белгісіздің мәнін бірінші теңдеуге апарып қойсақ
Мұндағы -бос белгісіздер.
Егер болса, онда .
Сонымен, берілген жүйенің бір дербес шешімі табылады. Берілген жүйенің шешімдер жиыны шексіз.
4. Сызықтық біртекті теңдеулер жүйесі
Сызықтық біртекті теңдеулер жүйесі берілсін.
Теңдеулердің біртекті жүйесі үнемі үйлесімді және оның нольдік (тривиальды) шешімі бар болады.
Қандай шарттар орындалғанда біртекті жүйенің нольдік емес шешімі бар болады:
Т е о р е м а: Сызықтық біртекті теңдеулер жүйесінің нольдік емес шешімі бар болуы үшін, оның негізгі матрицасының рангі белгісіздер саны -нен кем болуы қажетті және жеткілікті.
Д ә л е л д е у і. Қажеттілігі:
Матрицаның рангі оның өлшемінен аспайтыны белгілі, яғни болсын. Сонда минорының біреуі нольден өзгеше болады. Сондықтан берілген теңдеулер жүйесінің бір шешімі болады: . Яғни тривиальды шешімнен басқа шешім жоқ. Сонымен тривиальды емес шешімі бар болса, .
Ж е т к і л і к т і л і г і: болсын. Сонда біртекті жүйе үйлесімді, сонымен қатар анықталмаған болады. Оның шексіз көп шешімі бар, яғни нольдік емес шешімі болады.
белгісізі бар сызықтық біртекті теңдеулер жүйесі берілсін.
Т е о р е м а. n белгісізді n сызықтық біртекті теңдеулер жүйесінің нольдік емес шешімі болу үшін оның анықтауышы нольге тең болуы қажетті және жеткілікті.
Д ә л е л д е у і: Егер болса, онда біртекті теңдеулер жүйесінің бір ғана нольдік шешімі болады. Ал егер де болса, онда жүйенің негізгі матрицасының рангі , яғни теңдеулер жүйесінің шексіз көп (нольдік емес) шешімдері болады.
М ы с а л: Теңдеулер жүйесін шешу керек.
,
Сондықтан жүйенің шексіз көп шешімі болады.
;
Бұдан
Мұндағы бос белгісіз. болса, ал егер болса, т.с.с. Бұл дербес шешімдер деп аталады.
Бақылау сұрақтары:
1. Егер А және В матрицаларын көбейтуге болса, онда оларды қосуға бола ма?
2. Егер А және В матрицаларын қосуға болса, онда оларды көбейтуге бола ма?
3. Жолдық матрицаны бағандық матрицаға қосуға бола ма?
4. Квадраттық матрицаны квадраттық емес матрицаға көбейтуге бола ма?
5. Квадраттық емес матрицалардың көбейтіндісі квадраттық матрица болуы мүмкін бе?
6. Нольдік матрицалардың көбейтіндісі нольдік матрица бола ма?
7. А және Ат матрицалары өзара тең болуы мүмкін бе?
8. (А+В)т=Ат+Вт теңдігі дұрыс па?
9. Жолдарының, бағандарының саны әр түрлі болатын матрицалар эквивалентті бола ала ма?
10. Матрицалардың көбейтіндісі, қосындысы сан болуы мүмкін бе?
11. Матрицалардың қосындысының анықтауышы олардың анықтауыштарының қосындысына тең бола ма?
12. Екінші ретті анықтауыштың мәні бесінші ретті анықтауыштың мәнінен артық болуы мүмкін бе?
13. Матрицаны транспондағанда оның анықтауышының таңбасы өзгере ме?
14. Үшінші ретті квадраттық матрицаның қанша миноры бар?
15. 3х5 өлшемді матрицаның қанша миноры бар ?
16. Егер А квадраттық емес матрица болса, онда теңдігі орындалатындай В матрицасы бола ма?
17. ; (А+В)-1= А-1+ В-1 теңдіктері дұрыс па?
18. А-1 матрицасының өлшемі А матрицасының өлшеміне тең бола ма?
19. Матрицаның рангі 0-ге тең бола ала ма?
20. Матрицаның рангі теріс сан болуы мүмкін бе?
21. Рангісі 3,8 болатын матрица бола ма?
22. А матрицасының рангі r болса, 2А, -А, 0·А матрицаларының рангі неге тең?
23. Матрица транспондағанда оның рангі өзгеруі мүмкін бе?
24. Берілген матрицаға бір жолды (бір бағанды) тіркеп жазғаннан оның оның рангі қалай өзгеруі мүмкін?
25. Берілген матрицадан бір жолды (бір бағанды) сызып тастағаннан оның рангі қалай өзгереді?
26. А матрицасының рангі r1, В матрицасының рангі r2 болса, А+В ; А-В матрицаларының рангі туралы не айтуға болады?
27. Үйлесімді емес сызықтық теңдеулер жүйесінен кез келген бір теңдеуді алып тастаса, алынған теңдеулер жүйесі үйлесімді бола ма?
28. Сызықтық теңдеулердің екі жүйесінің шешімдер жиыны беттессе, олардың кеңейтілген матрицалары бірдей бола ма?
29. Белгісіздердің саны тең, ал теңдеулер саны әр түрлі екі теңдеулер жүйесі эквивалентті бола ма?
30. Сызықтық теңдеулер жүйесінің дербес шешімдері оның жалпы шешімімен беттесуі мүмкін бе?
Жаттығулар
Матрицалардың қосындысын табу керек.
1. 2. 3.
4. 5.
Матрицалардың көбейтіндісін есептеу керек.
6. 7.
8. 9.
10. 11. 12.
Матрицаның рангін табу керек.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
Берілген матрицаға кері матрицаны табу керек.
19. 20. 21. 22.
23. 24. 25. 26.
Анықтауышты есептеу керек.
27. 28. 29. 30.
31. 32. 33. 34 .
35. 36. 37. 38.
39. 40.
41. 42. 43.
Теңдеулерді шеш:
44. 45. 46.
Бірінші бағанның элементтері бойынша жіктеу арқылы анықтауышты есептеу керек.
47. 48.
Нольдерінің саны көп болатын жолдың элементері бойынша жіктеу арқылы анықтауышты есепте.
49. 50. 51. 52. 53.
Анықтауышты есепте.
54. 55. 56. 57.
58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65.
66. 67 68.
69. 70. 71. 72.
73. 74. 75. 76.
Анықтауыштың көмегімен (Крамер формуласымен) теңдеулер жүйесін шешу керек.
77. 78.
79. 80.
81. 82.
83. 84.
Гаусс әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешу керек.
85 86.
87. 88.
89. 90
Матрица және негізгі түсініктер
Матрицаларға амалдар қолдануды, анықтауыштар мәселелерін қарастыру, нәтижесінде сызықты теңдеулер жүйесін зерттеу, яғни олардың шешімдерінің бар және жалғыз ғана болатындығын және оларды табудың әдістері
Матрицаларға қолданылатын амалдар туралы
Анықтауыш
Ақпараты толық емес техникалық жүйенің басқару заңын синтездеу
Анықтауыштың қасиеттері
Матрицалық әдіс
Жоғары оқу орындарында оқытылатын дифференциалдық теңдеулерді шешудің әр түрлілігі
Бисызықты жүйені басқаруға зерттеу
Біртекті сызықтық теңдеулер системалары
Матрицаның негізгі диагоналының үстінде орналасқан жұп элементтерді санаңдар