Қазақша рефераттар

Матрицаның рангі

I тарау. Сызықтық алгебра элементтері

Бұл жазбада матрицалар, анықтауыштар және сызықтық теңдеулер жүйелері бойынша негізгі ұғымдар бірізді, қысқа әрі қолданбалы түрде жинақталады. Мақсат — анықтамаларды жаттатудан гөрі, оларды есептеулер мен түрлендірулердегі рөлін айқын көрсету.

Назар аударатын өзек

Матрицалар және амалдар: қосу, санға көбейту, көбейту, транспондау.

Есептеу негізі

Анықтауыштар: 2×2, 3×3 (Саррюс), қасиеттер, минор және алгебралық толықтыру.

Қолдану

Кері матрица, ранг, Крамер формуласы және Гаусс әдісімен жүйе шешу.

§1. Матрицалар

1) Матрицаның анықтамасы және белгіленуі

Ұзындықтары бірдей жолдардан тұратын сандардың тікбұрышты кестесі матрица деп аталады. Матрица әдетте A = (aij) түрінде жазылады, мұнда i — жол нөмірі, j — баған нөмірі.

Өлшемі: m×n (m — жол саны, n — баған саны).
Бас диагональ: жоғарғы сол жақтан төменгі оң жаққа қарай орналасқан a11, a22, … элементтері.

Екі матрица A және B өзара тең болады, егер олардың өлшемдері бірдей болып, барлық сәйкес элементтері тең болса: aij = bij.

2) Матрицалардың негізгі түрлері

Квадрат матрица: жол саны баған санына тең (n×n).

Тікбұрышты матрица: өлшемі m×n, мұнда m≠n.

Диагональдық матрица: квадрат матрица, бас диагональдан тыс барлық элементтері нөл.

Мысалы: diag(d1, d2, …, dn).

Бірлік матрица (E): диагональдық матрица, бас диагональ элементтері 1-ге тең.

Матрицалық есептеулерде E арифметикадағы 1-дің рөлін атқарады.

Үшбұрышты матрица: бас диагональдың бір жағындағы элементтері түгел нөл болатын квадрат матрица.

Нөлдік матрица (O): барлық элементтері 0.

Матрицалық есептеулерде O арифметикадағы 0-дің рөлін атқарады.

Жолдық матрица: бір ғана жолдан тұрады (1×n).

Бағандық матрица: бір ғана бағаннан тұрады (m×1).

Бір элементті матрица: 1×1.

3) Транспондау

Матрицаның жолдарын бағандарға (және бағандарын жолдарға) ауыстыру арқылы алынатын матрица транспонданған матрица деп аталады және AT арқылы белгіленеді. Егер A өлшемі m×n болса, онда AT өлшемі n×m болады.

Негізгі қасиет: (AT)T = A.

4) Матрицаларға амалдар қолдану

Матрицаларды қосу

Қосу амалы тек бірдей өлшемді матрицалар үшін анықталады: C = A + B, мұнда cij = aij + bij.

Матрицаны санға көбейту

kA матрицасы — A-ның әр элементін k-ға көбейту нәтижесі: (kA)ij = k·aij.

Егер B = -A болса, онда B — A-ға қарама-қарсы матрица. Айырма: A - B = A + (-B).

Қасиеттер (қосу және санға көбейту)

  • Қосу ауыстырымды: A + B = B + A.
  • Қосу терімді: (A + B) + C = A + (B + C).
  • Үлестірімділік: k(A + B) = kA + kB.
  • Үлестірімділік: (k + m)A = kA + mA.

Элементар түрлендірулер

  • Екі жолдың (немесе бағанның) орнын ауыстыру.
  • Жолды (бағанды) нөлден өзге санға көбейту/бөлу.
  • Бір жолдың (бағанның) еселенгенін екінші жолға (бағанға) қосу.

Егер B матрицасы A-дан элементар түрлендіру арқылы алынса, онда олар эквивалентті деп аталады және A ~ B түрінде белгіленеді. Элементар түрлендіру арқылы матрицаны канондық түрге келтіруге болады.

5) Матрицаларды көбейту

Екі матрицаны көбейту үшін бірінші матрицаның баған саны екінші матрицаның жол санына тең болуы керек. Егер A өлшемі m×n, ал B өлшемі n×p болса, онда C = AB матрицасы m×p болады және cij = Σ aikbkj.

Маңызды ескерту: көбейту, жалпы жағдайда, ауыстырымды емес: AB ≠ BA. Егер AB = BA болса, матрицалар ауыстырымды деп аталады.

Көбейтудің негізгі қасиеттері

  • Терімділік: (AB)C = A(BC).
  • Сол жақтан үлестірімді: A(B + C) = AB + AC.
  • Оң жақтан үлестірімді: (A + B)C = AC + BC.
  • Транспондау: (AB)T = BTAT.

§2. Анықтауыштар

1) Негізгі ұғымдар

Квадрат матрицаға сәйкес бір сан тағайындалады, ол анықтауыш (детерминант) деп аталады және әдетте det(A) немесе |A| түрінде белгіленеді.

2-ретті анықтауыш (2×2)

|a b; c d| = ad − bc. Яғни бас диагональ көбейтіндісінен көмекші диагональ көбейтіндісін шегереміз.

3-ретті анықтауыш (3×3)

Тиімді тәсіл — Саррюс әдісі (үшбұрыш әдісі): үш «оң» диагональ мүшелері қосылып, үш «теріс» диагональ мүшелері шегеріледі.

2) Анықтауыштың негізгі қасиеттері

  • 1-қасиет: анықтауышты транспондау мәнін өзгертпейді: det(A) = det(AT).
  • 2-қасиет: екі жолды (бағанды) ауыстырса, таңба өзгереді.
  • 3-қасиет: екі жол (баған) бірдей болса, анықтауыш нөл.
  • 4-қасиет: жолдың (бағанның) ортақ көбейткішін анықтауыштың алдына шығаруға болады.
  • 5-қасиет: бір жол (баған) қосындыдан тұрса, анықтауыш қосындыға жіктеледі.
  • 6-қасиет (элементар түрлендіру): бір жолдың еселенгенін басқа жолға қосу анықтауышты өзгертпейді.

Минор деп aij элементі тұрған жол мен бағанды алып тастағанда алынатын анықтауышты айтады, ол mij арқылы белгіленеді. Алгебралық толықтыру: Aij = (−1)i+j mij.

Жіктеу формуласы: анықтауышты кез келген жол (немесе баған) бойынша жіктеуге болады: әр элемент өзіне сәйкес алгебралық толықтыруға көбейтіліп қосылады. Бұл тәсіл жоғары ретті анықтауыштарды есептеудің негізгі құралы.

3) Туындалмаған матрица, одақтас матрица

Егер квадрат матрицаның анықтауышы нөлден өзге болса, ол туындалмаған матрица деп аталады: det(A) ≠ 0. Егер det(A) = 0 болса — туындалған.

Одақтас матрица (адъюнкт) — элементтері алгебралық толықтырулардан құралған матрица (әдетте транспонданған түрде алынады).

4) Кері матрица

Кері матрица деп AA−1 = A−1A = E теңдігі орындалатындай матрицаны айтады. Кері матрица тек туындалмаған матрица үшін бар болады.

Нәтиже: A−1 = (1 / det(A)) · adj(A), мұнда det(A) ≠ 0.

5) Матрицаның рангі

Матрицаның рангі — нөлден өзге ең үлкен ретті минордың реті. Ол rank(A) немесе r(A) деп белгіленеді.

Рангтің негізгі қасиеттері

  • Транспондау рангі өзгертпейді: rank(A) = rank(AT).
  • Нөлдік жолдарды алып тастау рангі өзгертпейді.
  • Элементар түрлендірулер рангі өзгертпейді.
  • Канондық матрицада ранг — бас диагональдағы нөлден өзге элементтер саны.

§3. Сызықтық теңдеулер жүйесі

1) Негізгі түсініктер

Сызықтық теңдеулер жүйесі — белгісіздері бірінші дәрежелі болып келетін теңдеулер жиыны. Жүйенің шешімі деп теңдеулердің барлығын қанағаттандыратын сандар жиынын айтады.

Үйлесімді жүйе: кемінде бір шешімі бар.
Үйлесімсіз жүйе: шешімі жоқ.

Жүйені матрицалық түрде жазу ыңғайлы: Ax = b. Мұнда A — коэффициенттер матрицасы (негізгі матрица), x — белгісіздер бағаны, b — бос мүшелер бағаны. [A | b] — кеңейтілген матрица.

Егер бір жүйенің әр шешімі екінші жүйені де қанағаттандырса, онда екінші жүйе — біріншінің салдары. Ал екі жүйенің шешімдер жиыны толық беттессе, олар тең мағыналы деп аталады.

2) Крамер формуласы (квадрат жүйе)

Егер жүйе квадрат болса (n теңдеу, n белгісіз) және det(A) ≠ 0 болса, онда жүйенің бір ғана шешімі болады. Бұл жағдайда шешімді Крамер формуласы арқылы табуға болады: xi = det(Ai) / det(A), мұнда Ai — A-ның i-бағанын b бағанымен алмастырғанда алынатын матрица.

Матрицалық әдіс: Ax=b теңдеуі үшін, егер A кері матрицаға ие болса, онда x = A−1b.

3) Гаусс әдісі (әмбебап тәсіл)

Гаусс әдісі — айнымалыларды біртіндеп жоюға негізделген ең тиімді әмбебап тәсілдердің бірі. Әдіс екі кезеңнен тұрады: тура жүріс (жүйені баспалдақты түрге келтіру) және кері жүріс (табылған баспалдақты жүйеден шешімді шығару).

Тура жүріс

  • Басты элемент таңдалып, төменгі теңдеулерден сәйкес айнымалы жойылады.
  • Элементар түрлендірулер қолданылады (жолдармен жұмыс).
  • 0 = c (c≠0) шықса — жүйе үйлесімсіз.

Кері жүріс

  • Соңғы теңдеуден бастап айнымалылар кезекпен табылады.
  • Егер бос айнымалылар қалса — шешімдер саны шексіз.
  • Практикада [A | b] кеңейтілген матрицасымен жұмыс істеу ыңғайлы.

Ескерту: Егер баспалдақты жүйе толық үшбұрышты түрге келіп, диагональ элементтері нөл емес болса, онда жүйенің жалғыз шешімі болады.

4) Сызықтық біртекті жүйе

Біртекті жүйеде бос мүшелер нөлге тең, сондықтан ол әрқашан үйлесімді және кемінде бір нөлдік (тривиальды) шешімі бар. Нөлдік емес шешімнің бар-жоғы матрицаның рангімен анықталады.

Теорема: Біртекті жүйенің нөлдік емес шешімі болуы үшін және тек сол үшін rank(A) < n болуы қажет (мұнда n — белгісіздер саны).

Арнайы жағдай (n теңдеу, n белгісіз): нөлдік емес шешімнің бар болуы үшін және тек сол үшін det(A) = 0.

Бақылау сұрақтары

Төмендегі сұрақтар негізгі ұғымдарды бекітуге арналған: қай кезде амалдар анықталады, қандай қасиеттер әрқашан орындалады, ал қайсысы жалпы жағдайда орындалмайды.

  1. Егер A және B матрицаларын көбейтуге болса, оларды қосуға бола ма?
  2. Егер A және B матрицаларын қосуға болса, оларды көбейтуге бола ма?
  3. Жолдық матрицаны бағандық матрицаға қосуға бола ма?
  4. Квадрат матрицаны квадрат емес матрицаға көбейтуге бола ма?
  5. Квадрат емес матрицалардың көбейтіндісі квадрат матрица болуы мүмкін бе?
  6. Нөлдік матрицалардың көбейтіндісі нөлдік матрица бола ма?
  7. A және AT матрицалары өзара тең болуы мүмкін бе?
  8. (A + B)T = AT + BT теңдігі дұрыс па?
  9. Жолдары мен бағандарының саны әр түрлі матрицалар эквивалентті бола ала ма?
  10. Матрицалардың көбейтіндісі немесе қосындысы сан болуы мүмкін бе?
  11. Матрицалардың қосындысының анықтауышы олардың анықтауыштарының қосындысына тең бола ма?
  12. Екінші ретті анықтауыштың мәні бесінші ретті анықтауыштың мәнінен артық болуы мүмкін бе?
  13. Матрицаны транспондағанда оның анықтауышының таңбасы өзгере ме?
  14. Үшінші ретті квадрат матрицаның қанша миноры бар?
  15. 3×5 өлшемді матрицаның қанша миноры бар?
  16. Егер A квадрат емес матрица болса, AB = E болатындай B матрицасы бар ма?
  17. (A + B)−1 = A−1 + B−1 теңдігі дұрыс па?
  18. A−1 матрицасының өлшемі A матрицасының өлшеміне тең бола ма?
  19. Матрицаның рангі 0-ге тең бола ала ма?
  20. Матрицаның рангі теріс сан болуы мүмкін бе?
  21. Рангі 3,8 болатын матрица бола ма?
  22. rank(A)=r болса, 2A, −A, 0·A матрицаларының рангі неге тең?
  23. Матрицаны транспондағанда оның рангі өзгеруі мүмкін бе?
  24. Матрицаға бір жолды (немесе бір бағанды) тіркеп жазғанда оның рангі қалай өзгеруі мүмкін?
  25. Матрицадан бір жолды (немесе бір бағанды) алып тастағанда оның рангі қалай өзгереді?
  26. rank(A)=r1, rank(B)=r2 болса, A+B және A−B рангі туралы не айтуға болады?
  27. Үйлесімсіз жүйеден бір теңдеуді алып тастаса, жаңа жүйе міндетті түрде үйлесімді бола ма?
  28. Екі жүйенің шешімдер жиыны беттессе, кеңейтілген матрицалары бірдей бола ма?
  29. Белгісіздер саны тең, ал теңдеулер саны әр түрлі екі жүйе эквивалентті бола ала ма?
  30. Жүйенің дербес шешімдері оның жалпы шешімімен беттесуі мүмкін бе?

Жаттығулар

Төмендегі тапсырмалар матрицаларға амалдар, көбейту, ранг, кері матрица, анықтауыш және жүйе шешу тақырыптарын жүйелі түрде пысықтауға арналған. Мәтінде формулалар толық берілмегендіктен, бұл бөлім тапсырмалар тізімін тақырыптар бойынша ықшамдап ұсынады.

Матрицалардың қосындысы

Берілген матрицалардың қосындысын табу (1–5).

Матрицаларды көбейту

Көбейтіндіні есептеу және өлшем сәйкестігін тексеру (6–12).

Ранг және канондық түр

Элементар түрлендірулер арқылы ранг табу (13–18).

Кері матрица

det(A)≠0 шартын тексеріп, A−1 табу (19–26).

Анықтауыштар

Әртүрлі тәсілдермен анықтауыш есептеу: жіктеу, нөлдер көп жол/баған таңдау, Саррюс және т.б. (27–76).

Жүйелерді шешу

Крамер формуласы арқылы (77–84) және Гаусс әдісімен (85–90) сызықтық жүйелерді шешу.