Қазақша рефераттар

Екілік жүйе

Сандарды екілік жүйеден сегіздік санау жүйесіне ауыстыру

Кез келген сегіздік цифрды жазу үшін үш екілік цифр қажет. Сондықтан түрлендірілетін екілік санды оңнан солға қарай үш-үштен топтарға бөледі.

Мысалы, 011 екілік үштігі сегіздік санау жүйесінде 3 цифрына сәйкес келеді.

Екілік жүйе Сегіздік жүйе
0000
0011
0102
0113
1004
1015
1106
1117

Мысал

110111101 екілік санын үш-үштен топтаймыз:

1 101 111 101

Әр топты сегіздік цифрмен алмастырсақ, нәтижесі:

15758

Сандарды екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне ауыстыру

Екілік жүйеден он алтылық жүйеге түрлендіру алдыңғы әдіске ұқсас, бірақ айырмашылығы бар: әрбір он алтылық цифрды жазу үшін төрт екілік цифр қажет. Сондықтан екілік сан оңнан солға қарай төрт-төрттен топтарға бөлінеді.

Ондық Екілік Он алтылық
000000
100011
200102
300113
401004
501015
601106
701117
810008
910019
101010A
111011B
121100C
131101D
141110E
151111F

Мысал

1101111011 екілік санын төрт-төрттен топтаймыз:

11 0111 1011

Сол жақтағы топ толық емес болғандықтан, оны нөлдермен толықтырамыз: 0011 0111 1011. Енді әр топты он алтылық цифрмен алмастырсақ:

37B16

Теңдікті тексеруге болады, мысалы: 10112 = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 1110 = B16.

Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру

Ауыстыру ережесі (екілік → ондық)

Санды екілік жүйеден ондық жүйеге ауыстыру үшін екілік санды разряд коэффициенттерімен (екі дәрежелерімен) көбейтінділер қосындысы түрінде жазып, сол қосындының мәнін табу керек.

Неліктен екілік жүйе көбіне ішкі деңгейде қолданылады?

Екілік жүйенің маңызды кемшілігі — санды жазу үшін 0 және 1 цифрлары өте көп қажет болады, бұл адамның қабылдауын қиындатады. Сондықтан екілік жүйе әдетте компьютердің ішкі жұмысына қолданылады, ал адаммен жұмыс істеу үшін негізі үлкен санау жүйелері (сегіздік, он алтылық) ыңғайлырақ.

Бүтін ондық сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру

Бүтін ондық санды екілікке ауыстыру үшін оны 2-ге бөледі. Бөлінді 2-ден кіші болғанға дейін бөлуді қайталайды. Соңында соңғы бөліндіні және қалдықтарды кері ретпен (соңғысынан бастап) бір қатарға жазады.

Мысал: 89110 → ?2

Бөлу қадамдары

  1. 891 ÷ 2 = 445, қалдық 1
  2. 445 ÷ 2 = 222, қалдық 1
  3. 222 ÷ 2 = 111, қалдық 0
  4. 111 ÷ 2 = 55, қалдық 1
  5. 55 ÷ 2 = 27, қалдық 1
  6. 27 ÷ 2 = 13, қалдық 1
  7. 13 ÷ 2 = 6, қалдық 1
  8. 6 ÷ 2 = 3, қалдық 0
  9. 3 ÷ 2 = 1, қалдық 1
  10. 1 ÷ 2 = 0, қалдық 1

Нәтиже

89110 = 11011110112

Ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстыру

Ондық бөлшекті екілікке ауыстыру үшін оны 2-ге көбейтеді. Әр көбейтіндінің бүтін бөлігі екілік бөлшектің үтірден кейінгі келесі цифры ретінде жазылады. Содан кейін тек бөлшек бөлікпен жұмысты жалғастырып, оны қайтадан 2-ге көбейтеді.

Ескерту: кейбір бөлшектерді екілікке ауыстырғанда периодты бөлшек шығуы мүмкін.

Мысал: 0,62510 → ?2

Көбейту қадамдары

  • 0,625 × 2 = 1,250 → бүтін бөлігі 1
  • 0,250 × 2 = 0,500 → бүтін бөлігі 0
  • 0,500 × 2 = 1,000 → бүтін бөлігі 1

Нәтиже

0,62510 = 0,1012

Мысал: периодты нәтиже (0,310)

0,3 × 2 = 0,6 → 0

0,6 × 2 = 1,2 → 1

0,2 × 2 = 0,4 → 0

0,4 × 2 = 0,8 → 0

0,8 × 2 = 1,6 → 1

0,6 × 2 = 1,2 → 1 → …

Екінші қадамдағы 0,6 бөлшек бөлігі қайта пайда болғандықтан, есептеулер қайталанады. Демек, екілік жүйеде бұл сан периодты түрде жазылады:

0,310 = 0,0(1001)2

Ондық сандарды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру

Ондық санды сегіздікке ауыстыру үшін санды 8-ге бөледі, қалдықтарды (0–7) сақтайды. Бөлуді бөлінді нөл болғанша жалғастырады. Соңында қалдықтар кері ретпен жазылады — бұл сегіздік сан.

Мысал: 89110 → ?8

Бөлу қадамдары

  • 891 ÷ 8 = 111, қалдық 3
  • 111 ÷ 8 = 13, қалдық 7
  • 13 ÷ 8 = 1, қалдық 5
  • 1 ÷ 8 = 0, қалдық 1

Нәтиже

89110 = 15738

Ондық сандарды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру

Бұл әдіс сегіздікке ауыстыруға ұқсас, тек санды 8-ге емес, 16-ға бөледі. Қалдық 10–15 болған жағдайда, ол сәйкесінше A–F әріптерімен белгіленеді.

Мысал: 89110 → ?16

Бөлу қадамдары

  • 891 ÷ 16 = 55, қалдық 11 → B
  • 55 ÷ 16 = 3, қалдық 7
  • 3 ÷ 16 = 0, қалдық 3

Нәтиже

89110 = 37B16

Сегіздік және он алтылық сандарды екілік жүйеге ауыстыру

Сегіздік немесе он алтылық санды екілікке түрлендіргенде бастапқы санның әрбір цифры сәйкесінше 3 бит (сегіздік үшін) немесе 4 бит (он алтылық үшін) болатын екілік топпен алмастырылады.

Түрлендіруден кейін екілік санның бүтін бөлігіндегі басындағы нөлдер алынып тасталады. Сол сияқты, бөлшек бөліктің соңындағы артық нөлдер де қысқартылады.

Мысалдар

Сегіздік → екілік

128 = 001 0102 = 10102

Он алтылық → екілік

A116 = 1010 00012 = 101000012

Бөлшекті мысал (қысқарту арқылы)

253,A416 = 0010 0101 0011,1010 01002 = 1001010011,1010012

Екілік сандармен орындалатын арифметикалық әрекеттер

Екілік санау жүйесінде арифметикалық әрекеттер ондық жүйедегі қағидалармен орындалады, бірақ негізі 2 болғандықтан тек 0 және 1 цифрлары қолданылады.

Қосу

Екілік қосуда разрядтар бойынша қосу және тасымалдау қолданылады. Негізгі ережелер:

  • 0 + 0 = 0
  • 1 + 0 = 1
  • 0 + 1 = 1
  • 1 + 1 = 10 (1 келесі разрядқа тасымалданады)

Мысал: 1012 + 112

101

+ 011

1000

Нәтиже: 10002 = 810.

Азайту

Екілік азайтудың негізгі ережелері:

  • 0 − 0 = 0
  • 1 − 0 = 1
  • 1 − 1 = 0
  • 0 − 1 = 1 (жоғары разрядтан қарыз алынады)

Мысал: 10102 − 1012

1010

−0101

0101

Нәтиже: 1012.

Көбейту

Екілік көбейтудің негізгі ережелері:

  • 0 × 0 = 0
  • 1 × 0 = 0
  • 0 × 1 = 0
  • 1 × 1 = 1

Мысал: 1012 × 102

101

× 10

000

101

1010