Функцияның асимптоталар тап

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ
БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
СЕМЕЙ қаласының ШӘКӘРІМ атындағы
МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМЖ құжаты
ПОӘК

ПОӘК 042-18-37.1.39503-2015

Математикалық талдау 1 пәніне арналған оқу-әдістемелік материалдар ПОӘК

Баспа №1
күні 21.05.2015 ж

СТУДЕНТТІҢ ӨЗДІК ЖУМЫСЫ

Математикалық талдау 1

5В060100 – Математика мамандық үшін

Оқу-әдістемелік құрал

Семей 2015
Шектер

Есеп. Есепте .
Шешімі. Мұндағы анықталмағандық . , так как , , при .
Есеп. Есепте .
Шешімі. Мұндағы анықталмағандық .

.

.
Мысал. . .
Мысал.
.
Мысал. .
Мысал. .
Мысал. .
Мысал. .
Мысал. . Мысал. .
Мысал. .
Мысал.
.
1. Функцияның үзіліссіздігі. Үзіліс нүктелері. Оларды классификациялау.
Мысал. Функция f(x) = имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.
.

Мысал f(x) =
Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

Мысал f(x) = =

y

1

Мысал
Функция непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число 0 такое, что существуют значения х1 и х2 такие, что f(x1) – f(x2) , - любое число при условии, что х1 и х2 близки к нулю.

Мысал Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

Мысал Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

2. Бір айнымалы функциясының дифференциалдық есептеуі: функцияның туындысы, дифференциалдау ережелері.
Мысал. Функцияның туындысн тап

Мысал. Функцияның туындысн тап

Мысал. Функцияның туындысн тап

Мысал. Туындыны есепте.
Шешуі. Біріншіден натурал логарифмден туындысын есептейміз, аргументі синус функциясы. Онда . Және сол аргументін туындысын есептейміз ол синустың туындысы , онда . Енді тұбірдің туындысы . Және түбірдің астындағы функцияның туындысын табамыз: . Ақырында көрсеткіш және дәрежелік функцияның туындысын табамыз: . Сонымен:
.
Мысал. Туындыны есепте Функциф параметрлік түрінде берілген
Шешімі. . Формула бойынша туындысы параметрлік түрінде:
Мысал. Туындыны есепте , Функция айқын емес тұрінде берілген: .
Шешімі. Екш жағын дифференциалдаймыз .
Онда , откуда .
Мысал. Мына функцияның дифференциалын тап
Шешімі. Дифференциалдың формула бойынша
Мысал. x=0 абциссасы болатын нұктесінде жүргізілген қисығына жанаманың теңдеудің жазу керек.
Шешімі. Жанаманың теңдеуі . Туындысын табамыз Онда . Және Онда жанаманың теңдеуі Немесе
Мысал. Екінші ретті және n ші ретті туындысын тап
Шешімі. Туындысын табамыз, , , ,...,
Мысал. Есепте .
3. Лопиталь ережесі.
Шешімі Мұндағы анықталмағандық , Онда Лопиталь ережесі бойынша
.
Мысал. Есепте .
Шешімі Мұндағы анықталмағандық . .
Онда Лопиталь ережесі бойынша:
.
Мысал. Есепте .
Шешімі Мұндағы анықталмағандық .

Мысал. Есепте .
Шешімі Мұндағы анықталмағандық . Мұнда функцияны логафмдаймыз: , Онда Итак, , откуда , т.е. .
Мысалдар.
1) ;
2) Лопиталь ережесін бірнеше рет қолдануға да болады:

.
Мысал.

=.
Мысал. , мына шекті есептейміз:

,
Мысал. , мына шекті есептейміз:

,

4. Жоғары ретті туындылыры. Тейлор және Маклорен қатарлар
Мысал. Мына функцияның дифференциалын тап
Шешімі. Дифференциалдың формула бойынша
Мысал. x=0 абциссасы болатын нұктесінде жүргізілген қисығына жанаманың теңдеудің жазу керек.
Шешімі. Жанаманың теңдеуі . Туындысын табамыз Онда . Және Онда жанаманың теңдеуі Немесе
Мысал. Екінші ретті және n ші ретті туындысын тап
Шешімі. Туындысын табамыз, , , ,...,
Мысал. f(x) = ex.

f(x) = ex, f(0) = 1, f (x) = ex, f (0) = 1, ..., f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1

Онда:

Мысал. е –ны табу керек.
Жағары формулада

Егер 8 мүшесін алсақ : e = 2,71827876984127003
Егер 10 мүшесін алсақ: e = 2,71828180114638451
Егер 100мүшесін алсақ: e = 2,71828182845904553

Мысал. Функция f(x) = sinx. Есептейміз

f(x) = sinx; f(0) = 0
f (x) = cosx = sin( x + 2); f (0) = 1;
f (x) = -sinx = sin(x + 2 2); f (0) = 0;
f (x) = -cosx = sin(x + 3 2); f (0)=-1;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
f(n)(x) = sin(x + n2); f(n)(0) = sin( n2);
f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1) 2); f(n+1)( ) = sin( + (n + 1) 2);

Онда:

Мысал. Есепте sin200.
200 радиан түрінде жазамыз: 200 = 9.
Тейлор формуласына қойғанда:

Мысал. Есепте sin28013 15 .

10 = ; 280;
1 ; ;
; ;

рад

sinx = .
Сравнивая полученный результат с более точным значением синуса этого угла,

sin= 0,472869017612759812,
видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Мысал. Есепте ln1,5. 0,0003 дәлілдекпен

ln1,5 = 0,405465108108164381

5. Функцияны зерттеу және оның графигін құру: Функцияның монотондық белгілері, экстремум нүктелерін іздеу,
1 Есеп. Функцияның өсу және кему аралықтарын тап
Шешімі. Анықталу облысы
Туындысын табамыз Теңдеуді шешемі , , Туындының таңбасын анықтаймыз осы аралықта бірінші ретті туындысыоң болады Ал аралықта теріс болады Онда аралықта функция өседі. Ал аралықты функция кемиді.
2 Есеп. Функцияның экстремумдарын тап
Шешімі. Анықталу облысы
Туындысын табамыз Теңдеуді шешемі , , Туындының таңбасын анықтаймыз осы аралықта бірінші ретті туындысыоң болады Ал аралықта теріс болады Онда аралықта функция өседі. Ал аралықты функция кемиді
Онда максимум нүктесі минимум нүктесі.
3 Есеп. Функцияның , аралықта ең ұлкен және ең кіші мәдерін тап
Шешімі. Туындысын табамыз Теңдеуді шешемі , ,- кризистік нүктелері Енді функция мәндерін есептейміз

Сонымен ең ұлкен мәні 2 тең, және ең кіші мәні -4 тең.
1 Есеп. Функцияны зерттеу керек Грфигін салу керек
1) Анықталу облысы (- ; -1) (-1; 1) (1; ). Мәндері облысы (- ; ). Үзіліс нүктелері х = 1, х = -1.
2) Функия тақ болады , графигі (0,0) нүктесіне қатысты симмтериялы болады
3) Бірінші ретту туындының кризистік нүктелері табамыз
Кризистік нүктелері: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.
4) Екіншщі ретті туындының кризистік нүктелерін табамыз
. x = -1; x =1; х=0
5) Кесте
х
0

1

у
0
-

-
0
+

0
-

+

+

0
Кемийді және дөнес

Кемийді және ойыс

Өспелі және дөнес

Мүндағы х = - максимум нүктесі болады , ал х = минимум. Функция мәндері сәйкес -32 и 32.
6) х = 1, х = -1 түзулері вертикаль асимптоталар болады.
Көлбеу асимтотасын табамыз.

Көлбеу асимптотасы – y = x.
7) Координаттық өсьтерімен қиылысу нүктесі (0, 0)
8) Функцияның графигі:

6. Графиктің дөңестік бағыттары, иілу нүктелері, графиктің асимптоталары.
Есеп . Функциянфң ойыс және дөнес аралықтарын тап Шешімі, Т,уындыларын табамыз . нүктесінде шексіздікке тең Сондақтан ол кризистік нүктесі Мұнда болса , онда екінші ретті туындысы , ал болса , аралықта функция дөнес болады , ал – ойыс Сондықтан – иілу нүктесі.
Есеп . Фукцияны иілу нүктесіне зерттеу керек .
Шешімі . Функция определена при , то есть на . Екінші және бірінші ретті туындыларды табамыз :
.
Екінші ретті туындысы барлық нүктелерде , онда барлық анықталу облысынды функция дөнес болады және иілу неұктелері жоқ.
Есеп . Функцияның асимптоталар тап .
Шешімі . , Сондықтан вертикал асимптотасы .
Есеп . Горизонтал асимптотасын тап .
Шешімі. Шекті есептейміз , яғни егер и при , сондықтан – горизонтал асимптота болады

Әдебиеттер
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., Наука, 1986, (с.261-267)
7. Функцияны толық зерттеу.

Решение:
1) Функция определена по всюду кроме точки в которой знаменатель превращается в ноль (). Область определения состоит из двух интервалов

2) При подстановке значения получим

Такую же точку получим если приравняем функцию к нулю. Точка - единственная точка пересечения с осями координат.
3) Проверяем функцию на четность

Итак функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.
4) В данном случае имеем одну точку разрыва . Вычислим границы слева и справа от этой точки

Итак – точка разрыва второго рода.
5) Для отыскания интервалов монотонности вычисляем первую производную функции

Приравнивая ее к нулю получим точки подозрительные на экстремум . Они разбивают область определения на следующие интервалы монотонности

Исследуем поведение производной слева и справа от найденных точек разбиения

Графически интервалы монотонности будут иметь вид

Исследуемая функция возрастает на интервалах и убывает .
Точка – точка локального максимума, – локального минимума. Найдем значение функции

6) Для отыскания интервалов выпуклости найдем вторую производную

Таких интервалов нет, поскольку вторая производная не принимает нулевых значений в области определения.
7) Точка – вертикальная асимптота функции. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

где - границы которые вычисляются по правилу

Находим нужные границы

Конечный вид прямой следующий

8) На основе проведенного анализа выполняем построение графика функции. Для этого сначала строим вертикальные и наклонные асимптоты, затем находим значение функции в нескольких точках и по них проводим построение.

--------------------------------------

1 Тапсырма. Есепте
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
2.5. 2.6.
2.7. 2.8.
2.9. 2.10.
2.11. 2.12.
2.13. 2.14.

2 Тапсырма. Есепте
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5. 3.6.
3.7. 3.8.
3.9. 3.10.
3.11. 3.12.
3.13. 3.14.

3 Тапсырма. Есепте
4.1. 4.2.
4.3. 4.4.
4.5. 4.6.
4.7. 4.8.
4.9. 4.11. 1

4. Тапсырма. Есепте
5.1. 5.2.
5.3. 5.4.
5.5. 5.6.
5.7. 5.8.
5.9. 5.10.
5.11. 5.12.
5 Тапсырма. Есепте
6.1. 6.2.
6.3. 6.4.
6.5. 6.6.
6.7. 6.8.
6.9. 6.10.
6.11. 6.12.

6 Тапсырма. Есепте
9.1. 9.2.
9.3. 9.4.
9.5. 9.6.
9.7. 9.8.
9.9. 9.10.
9.11. 9.12.
7 Тапсырма. Есепте
10.1 10.2.
10.3 10.4
10.5 10.6
10.7 10.8
10.9 10.10
10.11 10.12

8 Тапсырма. Есепте
11.1. 11.2.
11.3 11.4
11.5 11.6
11.7 11.8
11.9 11.10
11.11 11.12

9 Тапсырма. Есепте
12.1. 12.2.
12.3 12.4
12.5 12.6
12.7 12.8
12.9 12.10
12.11 12.12
12.13 12.14

10 Тапсырма. Жанаманың және нормальдің теңдеуін тап
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
2.5. 2.6.
2.7. 2.8.
2.9. 2.10.
2.11. 2.12.
2.13. 2.14.

11 Тапсырма. Функцияның мәнің есепте
4.1. 4.2.
4.3. 4.4.
4.5. 4.6.
4.7. 4.8.
4.9. 4.10.
4.11. 4.12.
4.13. 4.14.

12 Тапсырма. Туындыны есепте
5.1. 5.2.
5.3. 5.4.
5.5. 5.6.
5.7. 5.8.
5.9. 5.10.
5.11. 5.12.
13 Тапсырма. Туындыны есепте
11.1. 11.2.
11.3. 11.4.
11.5. 11.6.
11.7. 11.8.
11.9. 11.10.
11.11. 11.12.

14 Тапсырма. Функцияның графигін салу керек
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.

15 Тапсырма. Функцияның графигін салу керек
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.

16 Тапсырма. Ең үлкен және ең кәшә мәндерін табу керек
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.

17 Тапсырма. Функцияның асимптоталарын табу керек
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.

18 Тапсырма. Функцияның графигін салу керек
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.

19 Тапсырма. Функцияның графигін салу керек
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.

20 Тапсырма. Функцияның графигін салу керек
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
9.12.