Функцияның асимптоталар тап

Бұл материал Математикалық талдау I курсының негізгі бөлімдерін жинақтайды: шектер, функцияның үзіліссіздігі, туынды және дифференциал, Лопиталь ережесі, жоғары ретті туындылар, Тейлор/Маклорен қатарлары, сондай-ақ функцияны зерттеу және графигін құру. Мәтінде көптеген есептер мен мысалдар берілген; формулалар бастапқы құжатта толық көрсетілмеген жерлерде, төменде әдістемелік түсіндіру және құрылым сақталып, мәтін редакцияланды.

Назар аударатын ұғым

Анықталмағандық түрлері: 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0.

Құрал

Үзіліссіздік пен үзіліс нүктелерін талдауда сол және оң жақ шектер шешуші рөл атқарады.

Нәтиже

График салу үшін: анықталу облысы, монотондық, экстремум, дөңестік/ойыстық, асимптоталар жүйелі зерттеледі.

Шектер

Шек есептерінде жиі кездесетін қиындық — анықталмағандық. Мұндай жағдайларда өрнекті ықшамдау, ортақ көбейткішке жіктеу, рационалдау, алмастыру, логарифмдеу немесе Лопиталь ережесіне көшу қолданылады.

Тәжірибелік ескерту

0/0 және ∞/∞ түрлері үшін — алгебралық ықшамдау немесе Лопиталь.
1^∞, 0^0, ∞^0 үшін — жиі логарифмдеу арқылы 0/0 не ∞/∞ түріне келтіреді.
Шекке көшу шарттарын (айнымалының қайда ұмтылатынын) нақты жазу — қателікті азайтады.

Ескерту: Бастапқы конспектте көптеген “Есепте …” үлгілері формуласыз берілген. Бұл бөлімнің мақсаты — шек есептерін шешудің негізгі әдістерін жүйелеу.

Функцияның үзіліссіздігі. Үзіліс нүктелері және оларды классификациялау

Функция x₀ нүктесінде үзіліссіз болуы үшін үш шарт орындалады: функция анықталған, шек бар, және ол функция мәніне тең. Егер шарттардың бірі бұзылса — үзіліс нүктесі пайда болады.

1-текті үзіліс (жойылатын)

Функция нүктеде анықталмаған болуы мүмкін, бірақ шегі бар және ақырлы. Онда функцияны сол нүктеде шек мәнімен анықтап, үзілісті жоюға болады.

2-текті үзіліс

Сол және оң жақ шектердің кемінде бірі жоқ немесе шексіздікке кетеді. Мұндай үзіліс әдетте вертикаль асимптота идеясымен қатар жүреді.

Мысалдардан алынған идеялар

Егер функция x = 0 нүктесінде анықталмаса, бірақ lim бар болса — бұл жойылатын үзіліс.
Егер x = 0 маңында сол және оң жақ шектер сәйкес келмесе немесе шек жоқ болса — 1-текті (секірмелі) немесе 2-текті үзіліс болуы мүмкін.
Бірқалыпты (равномерная) үзіліссіздік: функция интервалда үзіліссіз бола тұра, кейде бірқалыпты үзіліссіз болмауы мүмкін (мысалы, нөлге жақындағанда “өте тез” өзгеретін функциялар).

Бір айнымалы функциясының дифференциалдық есептеуі

Бұл бөлімде туындының анықтамасы, дифференциалдау ережелері және туындыны есептеудің негізгі тәсілдері қарастырылады: күрделі функция, көбейтінді/бөлінді, дәрежелік, көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық функциялар, сондай-ақ параметрлік және айқын емес түрде берілген функциялар.

Күрделі функция

Ереже: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x). Алдымен сыртқы функцияның туындысы, кейін ішкі функцияның туындысы табылады.

Параметрлік түрде

Егер x = x(t), y = y(t) болса, онда dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) (dx/dt ≠ 0).

Айқын емес түрде

Теңдеудің екі жағын да x бойынша дифференциалдап, y' мүшелерін бөліп шығарамыз.

Қолданбалы блок: жанама, нормаль, дифференциал

Жанама теңдеуі: y − y₀ = f'(x₀)(x − x₀).
Нормаль теңдеуі: y − y₀ = −(1/f'(x₀))(x − x₀) (f'(x₀) ≠ 0).
Дифференциал: dy = f'(x)dx.
Жоғары ретті туындылар: f''(x), f'''(x), …, f⁽ⁿ⁾(x) рет-ретімен есептеледі.

Лопиталь ережесі

Лопиталь ережесі 0/0 немесе ∞/∞ анықталмағандықтары бар шектерді есептеуде қолданылады: алым мен бөлім туындыланып, шек қайта есептеледі. Кей жағдайларда ережені бірнеше рет қолдануға тура келеді.

Логарифмдеу арқылы түрлендіру

Дәрежелік анықталмағандықтарда (мысалы, 1^∞) жиі y = f(x) деп алып, ln y қарастырады. Сонда мәселе бөлшек түріндегі шекке келтіріліп, Лопиталь қолдануға ыңғайланады.

Ескерту: Конспектте бұл бөлім көптеген “Есепте …” мысалдарымен берілген. Негізгі идея — алдымен анықталмағандық түрін танып, содан кейін дұрыс түрлендіруді таңдау.

Жоғары ретті туындылар. Тейлор және Маклорен қатарлары

Тейлор қатары функцияны белгілі бір нүкте маңында көпмүше арқылы жуықтауға мүмкіндік береді. Ал Маклорен қатары — Тейлордың x₀ = 0 жағдайы.

Экспонента мысалы

f(x) = e^x үшін барлық туындылар e^x-ке тең, ал 0 нүктесінде мәндері 1 болады. Осыдан e санын қатар мүшелерінің саны артқан сайын дәл жуықтауға болады.

8 мүше: e ≈ 2.71827876984127003
10 мүше: e ≈ 2.71828180114638451
100 мүше: e ≈ 2.71828182845904553

sin(x) мысалы

f(x) = sin x үшін туындылар периодты түрде қайталанады. Сондықтан sin мәндерін есептеуде (үлкен бұрыштарда да) аргументті радианға келтіріп, қатар бойынша жуықтау әдісі қолданылады.

Конспекттегі идея: бірнеше ғана мүшемен есептегеннің өзінде техникада жеткілікті дәлдікке жетуге болады.

Жуық мәндер: логарифм

Мысалы, ln(1.5) мәнін берілген дәлдікпен табу — қатарлар мен қалдық мүшені бағалаудың классикалық қолданылуы. Конспектте 0.0003 дәлдікпен жуықтау нәтижесі ретінде: ln(1.5) ≈ 0.405465108108164381 көрсетілген.

Функцияны зерттеу және оның графигін құру

График құру — жеке есеп емес, бірнеше бөлімнің нәтижесін біріктіретін жинақталған жұмыс. Негізгі қадамдар: анықталу облысын табу, үзіліс нүктелерін белгілеу, симметрияны тексеру, бірінші және екінші туындылар арқылы монотондық пен дөңестікті анықтау, асимптоталарды табу және координат осьтерімен қиылысуды есептеу.

Монотондық және экстремум

Анықталу облысын жазыңыз.
f'(x) табыңыз.
f'(x)=0 теңдеуін шешіп, кризистік нүктелерді белгілеңіз.
Интервалдарда туындының таңбасын анықтаңыз: f'(x)>0 — өседі, f'(x)<0 — кемиді.
Таңба ауысуына қарай максимум/минимум нүктелерін анықтаңыз және функция мәндерін есептеңіз.

Ең үлкен және ең кіші мәндер

Жабық аралықта ең үлкен/ең кіші мәнді табу үшін: кризистік нүктелерді және аралық шеттерін алып, олардың бәрінде f(x) мәнін есептеп салыстырыңыз. Конспекттегі үлгі есептер осы әдісті қолданады.

График салуға арналған чек-парақ

Анықталу облысы және мәндер облысы
Үзіліс нүктелері (1-текті/2-текті)
Жұп/тақ, симметрия
Кризистік нүктелер және экстремумдар
Дөңестік/ойыстық және иілу нүктелері
Вертикаль/горизонталь/көлбеу асимптоталар
Осьтермен қиылысу нүктелері
Бақылау нүктелерінде мән есептеу

Графиктің дөңестік бағыттары, иілу нүктелері және асимптоталар

Екінші туынды графиктің “қисығын” сипаттайды: f''(x) > 0 болса — функция дөңес, f''(x) < 0 болса — ойыс. Егер f''(x) таңбасын өзгертсе — ол нүкте иілу нүктесі болуы мүмкін.

Иілу нүктесін табу

f''(x) табыңыз.
f''(x)=0 теңдеуін шешіп, сондай-ақ f'' анықталмайтын нүктелерді белгілеңіз.
Осы нүктелер арқылы интервалдарға бөліп, f'' таңбасын тексеріңіз.
Таңба ауысса — иілу нүктесі бар (координатасын есептеңіз).

Асимптоталар

Вертикаль: x = a, егер x→a кезінде f(x) → ±∞.
Горизонталь: y = b, егер x→±∞ кезінде f(x) → b.
Көлбеу: y = kx + b, мұнда k және b шектер арқылы табылады.

Конспекттегі қорытындыларға мысал

Кейбір есептерде функция барлық анықталу облысында дөңес болып, иілу нүктелері болмайтыны айтылады; басқа есептерде вертикаль асимптота шектің шексіздікке кетуі арқылы анықталады. Бұл — екінші туынды мен шектердің график талдауындағы негізгі рөлін көрсетеді.

Функцияны толық зерттеу: жинақталған алгоритм

Төмендегі жоспар бастапқы мәтіндегі “функцияны толық зерттеу” бөлімінің логикасын сақтайды және тілдік тұрғыда реттелді.

Анықталу облысы: бөлімнің нөлге тең болатын нүктелерін, түбір астындағы және логарифм аргументіндегі шарттарды тексеріңіз.
Осьтермен қиылысу: y-ось үшін x=0, x-ось үшін f(x)=0 теңдеуін шешіңіз.
Симметрия: f(−x)=f(x) болса — жұп, f(−x)=−f(x) болса — тақ; қажет болса периодтылықты қарастырыңыз.
Үзіліс нүктелері: күдікті нүктелерде сол және оң жақ шектерді есептеп, үзіліс түрін анықтаңыз.
Монотондық және экстремум: f'(x) арқылы өсу/кему интервалдарын, локаль максимум/минимум нүктелерін табыңыз.
Дөңестік/ойыстық: f''(x) арқылы интервалдарды анықтап, иілу нүктелерін тексеріңіз.
Асимптоталар: вертикаль, горизонталь және көлбеу асимптоталарды шектер арқылы табыңыз.
График: асимптоталарды алдымен сызып, кейін бақылау нүктелерін есептеп, графиктің негізгі тармақтарын дәлдеп салыңыз.

Тапсырмалар тізімі (нөмірлеу бастапқы құжаттағыдай сақталды)

Төмендегі тізім — өздік жұмысқа берілген есептердің нөмірлері. Бастапқы құжатта есептердің формулалары бөлек беттерде келуі мүмкін; сондықтан бұл жерде тек құрылымдық тізім көрсетілді.

1-тапсырма: шектер (2.1–2.14)

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14

2-тапсырма: Лопиталь/шектер (3.1–3.14)

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14

3-тапсырма: Тейлор/Маклорен (4.1–4.9, 4.11)

4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.11

4-тапсырма: функцияны зерттеу (5.1–5.12)

5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12

5-тапсырма: асимптоталар (6.1–6.12)

6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12

Қосымша тапсырмалар (тізім)

Жанама және нормаль теңдеулері

2.1–2.14

Функция мәнін есептеу

4.1–4.14

Туындыны есептеу

5.1–5.12 және 11.1–11.12

График салу

1.1–1.14; 2.1–2.12; 7.1–7.12; 8.1–8.12; 9.1–9.12

Ең үлкен/ең кіші мәндер

3.1–3.14

Әдебиеттер

Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1–2. М.: Наука, 1986. (261–267-беттер)

Қорытынды

Бұл конспекттің құрылымы математикалық талдаудың негізгі дағдыларын жүйелі түрде қалыптастыруға бағытталған: шектерді есептеу, үзіліссіздікті анықтау, туынды мен дифференциалды қолдану, қатарлар арқылы жуықтау, және ең бастысы — функцияны толық зерттеп, графикті дәл құрастыру.