Қазақша рефераттар

Параллельдік аксиомасы

Аксиома және геометриядағы бастапқы ұғымдар

Аксиома сөзі (грек тілінен) мағынасы жағынан «күмәнсіз тұжырым», «даусыз ақиқат» дегенге жақын; екінші мағынасы — «құрмет», «қадір», «бедел». Аксиомаларды алғаш ежелгі грек ғалымдары ғылым тіліне енгізген.

Геометрияны құруға негіз болатын аксиомаларды сұрыптау үдерісі бірнеше ғасырға созылды. Евклидке дейін-ақ Фалес, Пифагор және басқа да ғалымдар бірқатар геометриялық тұжырымдарды дәлелдегені белгілі. Алайда мұндай дәлелдемелерде олар ашық түрде не жасырын түрде дәлелдемесіз қабылданған бастапқы пайымдауларға — яғни аксиомаларға — сүйенген.

Негізгі идея

Кез келген қатаң теорияның өзегінде аз ғана бастапқы тұжырым жатады. Қалған барлық тұжырымдар солардан логикалық жолмен шығарылады.

Евклид дәстүрі және «Бастамалар»

Геометриялық білімді жүйеге келтіру қажеттігін алғаш қойғандардың бірі — Хиос аралынан шыққан Гиппократ (Пифагор мектебінің өкілі). Ол «Бастамалар» атты еңбек жазған.

Бізге жеткен ең көне әрі ықпалды қолжазба — Евклидтің «Бастамалары». Бұл еңбекте әрбір жаңа тұжырым алдыңғы тұжырымдарға сүйенеді, ал олар өз кезегінде бұдан да ертерек қабылданған бастапқы «ақиқаттарға» тіреледі. Сөйтіп, дәлелдемелер түптеп келгенде саны аз, дәлелдемесіз қабылданатын бастапқы қағидаларға негізделеді.

Евклид бұл бастапқы тұжырымдарды аксиомалар және постулаттар деп атады. Олар нүкте, түзу, жазықтық сияқты негізгі геометриялық ұғымдардың қасиеттерін сипаттайды.

Аксиома туралы қазіргі түсінік

Ұзақ уақыт бойы «аксиома — өзінен-өзі айқын, тәжірибеде тексерілген, дәлелдемені қажет етпейтін ақиқат» деген көзқарас кең тарады. Алайда аксиомалар дәлелдемесіз қабылданған кезде олар міндетті түрде «ап-айқын болғандықтан» ғана қабылданбайды.

Нақтырақ айтқанда, олар дәлелдеу үшін әзірге одан да бастапқы материал жоқ болғандықтан бастапқы негіз ретінде алынады.

Қазіргі ғылымдағы анықтама

Аксиома — теорияны құруға арналған негізгі, бастапқы тұжырым; ол дәлелдемесіз қабылданады, ал кейінгі тұжырымдар (теоремалар) сол аздаған аксиомаларға сүйеніп қатаң түрде дәлелденеді.

Белгілі бір теория үшін қатаң сұрыпталып алынған аксиомалар жүйесі сол теорияны құрудың да, дамытудың да арқауы болады. Евклид ұсынған аксиомалар жүйесін талдау мен зерттеу ғасырлар бойы жалғасып, оны жүйелі түрде қорытып, жаңа деңгейге көтерген еңбектердің бірі Д. Гильберттің жұмыстары болды.

Теорема және дәлелдеме

Дәлелдемеге сүйенетін математикалық тұжырымдар теоремалар деп аталады. «Теорема» термині грек тіліндегі theoreo — «қарастырамын», «ойластырамын» сөзінен шыққан.

Дегенмен геометриялық фигуралардың кейбір қасиеттері дәлелдемесіз қабылданады. Мысалы, түзудің негізгі қасиеті ретінде: кез келген екі нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болады деген қағида қолданылады.

Параллельдік аксиомасы және оның ерекшелігі

Параллель түзулерге қатысты негізгі қасиет былай тұжырымдалады: берілген түзуден тыс жатқан нүкте арқылы сол түзуге параллель тек бір ғана түзу жүргізіледі. Бұл — Евклид геометриясындағы параллельдік аксиомасының өзегі.

Евклидтің параллельдік аксиомасының айрықша сипаты — оны тәжірибе жүзінде толық дәлелдеуге де, толық теріске шығаруға да болмайды. Сондықтан Евклидтен кейін екі мың жыл бойы көптеген математиктер бұл тұжырымды Евклидтің басқа аксиомаларынан шығарып дәлелдеуге тырысты, бірақ олардың талпыныстары нәтижесіз болды.

Тарихи бетбұрыс

1826 жылы ұлы орыс геометрі, Қазан университетінің профессоры Н. И. Лобачевский параллельдік туралы бұл сөйлемді Евклидтің басқа аксиомаларынан логикалық жолмен қорытып шығаруға болмайтынын көрсетті. Ол геометрияның негізі ретінде өзге аксиоманы қабылдап, жаңа теория құрды. Бұл бағыт Лобачевскийдің евклидтік емес геометриясы деп аталады.

Жетімсіз арақашықтықты анықтаудың байырғы тәсілі

Ұзақ уақыт бұрын-ақ үшбұрыштар салып, олардың теңдік белгілерін қолдану арқылы арақашықтықтарды анықтаудың түрлі тәсілдері жасалған. Соның ішінде бір нүкте «жетімді» (қол жеткізуге болатын), ал екіншісі «жетімсіз» (қол жеткізуге қиын не мүмкін емес) болған жағдайға арналған әдістер де бар.

Осындай тәсілдердің бірін итальяндық автор С. Белли 1569 жылы Венецияда басылып шыққан «Өлшеу жөніндегі кітап» атты оқулығында сипаттап, суреттеп берген.

Әдістің мәні (қадам-қадам)

  1. Жетімді A нүктесінен жетімсіз B нүктесіне дейінгі AB арақашықтықты табу керек болсын.
  2. Арақашықтықты өлшеуге ыңғайлы C нүктесі белгіленіп, ∠ACB = k бұрышы өлшенеді.
  3. Содан кейін C нүктесін айнала отырып, өлшенген k бұрышына тең бұрыш жасайтындай етіп жетімді D нүктесі таңдалады.
  4. Егер ∠CAD = ∠CAB шартын орындасақ, онда жетімді екі нүктенің AD арақашықтығы ізделінді AB арақашықтықты анықтауға мүмкіндік береді.

Неге жұмыс істейді?

ACB және ADC үшбұрыштарын салыстырайық: оларда AC — ортақ қабырға, сәйкес бұрыштар тең етіп алынады. Үшбұрыштардың теңдігіне сүйене отырып, өлшеуге келмейтін AB қашықтықты өлшеуге болатын AD арқылы жанама түрде табуға болады.