Құрал - жабдықтар панелі

Унимодальді функцияны зерттеу. Алтын қима әдісі.
Жұмыс мақсаты: унимодальді функцияның орта бөлу, алтын қиылысу және сканирлеу әдістерімен зерттеуді үйрену.

1 Теориялық мәліметтер:

Қазіргі инженер тиімді тапсырмаларды шешу әдістерін біліу, нақты терминдерде осы тапсырмаларды құрастыра білу және олардың шешу жолдары мен әдістерін білу керек. Тапсырма қойылымы оны шешудің әдістемесімен және есептеу процедурасымен тығыз байланысты. Кейбір жағдайда қойылымды эквиваленті түрлендіру немесе азғантай өзгерту тапсырманы түп-тамырымен өзгертеді. Сол үшін инжинер үшін тек оптималдау әдщісін білу ғана емес, сонымен қоса қандайда бір шакрттарды қосу немесе алыптастау осы әдістерге қалай әсер ететінін де білу өте маңызды. Осы түсініктерге модулдық тиімділік шарт түрін және онымен тығыз байлансты есептеу алгаритмдерін алуда қолдану сәйкес келеді. Осындай әрекетте тиімділік шарттынақты типті тапсырмалар үшін есептеулер қатнасы жүйесі ретінде емес оптималдылық критериінің кез келген үйлесіндегі тапсырмалар үшін жарамды, осындай қатнастарға ауысу ретінде тұрғызылады.

Шешуге тура келетін тиімділік тапсырмалары әр түрлі. Бұлар:
экспериментті оптималды жобалау және эксперимент нәтижелеріне адекватты, үлкен дәлдікпен процес моделін тұрғызу тапсырмалыры;
агригаттарды бір режимнан екінші режимға тиімді ауыстыру оларды қосу және өшіру тапсырмалары;
аппараттың тұрақтандырылған режимін таңдау тапсырмалары;
аппараттар тобын жедел басқару тапсырмалары;

Қазіргі негізгі химиялы технологиялық өндірісі өзара байлансты жүйелерді құрайды. Жекелеген аппараттарды олардыі басқа аппараттармен байлансын ескермей оптималдау бүкіл химиялық-технологиялық жүйенің оптималды емес жұмысына әкеліп соғуы мүмкін.
Басқару жүйесін тиімді синтездеу тапсырмалары;(фильтрдың, реттегіштердің, ақператты алғашқы өңдеу жүйесін таңдау, беріктілік талаптарынескеріп құрылымды таңдау және т.б.).
Тиімділік тапсырмаларын қою кезінде оны шешудің тапсырмасы туралы жол келтіру ғана болады. Олардың ішінен ең жақсысын таңдап алу керек. Осылайша тапсырманың сөздік қойылымын нақты беруге болады. Есептеу технологиясына көшу, тапсырмасын шешу үшін матиматикалық әдістермен программалық қамтамасыздандыру құралдарды қолдану тапсырмаларының нақты қойылымын талап етеді. Бұндай қойылып тиімді критеримен тұруы қажет. Сонымен қоса тапсырма қойылымы кез келген мүмкін болатын шешімдерді, қанағаттандыратын шарттардан тұруы керек. Бұл шарттар көптеген мүмкін болатын шешімдері D – анықтайды.

Тиімді тапсырмалардың жалпы құрастыру және оларды шешу әдістерінің сипаттамасы.
Тиімді тапсырмалардың көптігі келесі түрде келтіруге болады:

мұндағы: f - - айнымалылардың нақты функциясы.

En – n ретті евклидтік кеңістік.

Минимизация тапсырмаларын шешу әдістерін екі топқа бөлуге болады.біріншісіне тура осы аталатын әдәстер жатады. Ол функция мәнін көршілі нүктелерде салыстыруға негізделген, екіншісі – тура емес әдістер оларды қолданғанда минимум жағдайы сәйкесінше қажетті шарттар көмегімен орындалады.

1 сурет
Тиіміділік тапсырмасының шешудің тура әдісіне қарастырамыз. Бұл әдістер интерациялық сипатта болады, яғни рекуррентті формаларды қолданылатын нақты есептеу процедураларының жиынтығы болып табылады.
Олардың орындалу нәтижесі болып берілген нүктелерінің шекті немесе шексіз тізбегін құрастыру болып табылады. Шартсыз минизация әдісінде, яғни тапсырманы шектеулерсіз шешу әдістерінде сәйкесінше тізбек келесі қасиеттерге ие;

мұндағы: - минималданатын функция.
Шартсыз минималдау әдісінің көпшілігі (х) минимумына қозғалыстың тізбекті бағытталуының тұрғызылуын қарастырады. Бір әдістің екіншісінен негізгі ерекшеленуі бұл осы тізбектілікті тұрғызу әдісінде болып табылады. Бұл жағдайда нүктелер қосылысы:

қатнасымен байлансқан. Мұндағы: -кейбір анықталған әдістермен таңдалатын - бағытының бойымен қадам ұзындығын анықтайтын параметр.

2 сурет
жылжу векторы бағытында келесі ге тең болады:

Осылайша нақты спуск алгаритімде бәр (i – ші) итерацияның орындалуы спуск бағытын және осы бағыттағы нүктесін анықтауда түйінделеді.
Шартсыз оптималдау әдістерінің құрылымын келесі сұлбадан көрсетуге болады.

0 қадам. Кейбір бастапқы нүкте және оң анықталған () – матрица таңдалады. Минималданатын функцияның градиентті : нүктесінде есептелуі орындалады.
1 қадам. , нүктесі градиент векторы, () – матрицасы берілген. Бағыты анықталады:

(1)
Жалпы жағдайда бағыт векторы нүктесінің кейбір нақты функциясы, градиенттерінің алдыңғы вектор нүктелерінің, минимизацияланатын функцияның және матрицаларының, нүктелерінде есептелген оның екінші туындыларының, яғни
(2)
(2) теңдеуінде тәуелділігі кейір айнымалы топтарынан, мысалы болмауы мүмкін.
(2) теңдеуге кіретін туындылардың максималды ретіне тәуелді минималдау алгаритімі сәйкесінше нөлдік, бірлік және екілік ретті әдістерге жатады. Мысалы нөлінші ретті әдісте минималдау тізбегінің, осындай тұрғызылуы қарастырылады. Мұнда тек әр түрлі нүктедегі минималданатын функция мәні туралы мәлімет қолданылады. Бірінші реттік әдісте бағыт векторы әдетте (1) қатнастан анықталынады. Екінші реттік әдістерде минималданатын функцияның екінші жеке туындысына тәуелділігі мүмкін.
2 қадам. Бір айнымалының функциясын қарастыра отырып

(3)
және бағыты бойынша қадамды анықтайтын және
(4)
шартын қанағаттандыратын шамасы таңдалады.
3 қадам. нүктесі есептеледі (градиенттік әдісте), одан кейін матрицасы құралады.тоқтаудың тексеру шартының нәтижесіне тәуелді алгаритім жұмысы не тоқтатылады (бұл жағдай талап еткен дәлдікпен оптималды нүкте болап табылады), не 1
қадамға ауысу жүзеге асырылады () алгаритім жұмысының аяқталу шарты болып теңсіздігі табылады.
Мұндағы e0 – берілген сан немесе .
Ізденетін әдістері алдау оларда келесі негізгі алгаритімдер қолданылатын көрсетеді.
1) бүтін функцияны есептеу
2) туындыны есептеу
3) берілген бағыт бойынша сызықты ізденіс
4) Н матрицасын таңдау
5) Шектелуді ескеру

Бір айнымалының функциясының шартсыз экстримумын табуға мүмкіндік беретін, оптималдықтың қарапайым алгаритімін қарастырамыз:

бір өлшемді оптималдылық нақты алгаритімдерін қарастырамыз.

Алтын қима әдісі

Егер [a, b] кесіндінің бүкіл b-a ұзындығының үлкен бөлігінің ұзындығына қатнасы және үлкен бөлік ұзындығының кіші бөлік ұзындығына қатнасы тең болса (2 сурет), яғни қатнасы орындалса, х1 нүктесі [a, b] кесіндінің алтын қимасы болып табылады. Соған ұқсас, [a, b] кесіндісінің ортасына қатнасты, х1 нүктесіне симметриялы х2 нүктесі бұл кесіндінің екінші алтын қимасы болды. және нүктелері [a, b] кесіндісінің ортасына қатысты симметриялы орналасқандықтан:

. (3)
деп айтуға болады. , , екендігін ескеріп, және алтын қима анықтамасын қолданып, : санын есептеп алайық:
.

Алтын қима қасиетін атап өтейік: және [a, b] кесіндісінің екі алтын қимасы болсын, сонда х1 нүктесі сол уақытта кесіндінің де алтын қимасы, ла х2 кесіндісінің алтын қимасы болады (3 сурет).
Енді унимодуль функциясының локальді минимумның нүктесіне таралатын , ішкі кесінділерінің тізбектілігін табу кезіндегі алтын қима әдісінің алгоритмін тианақты жіктесті.

3 сурет
Алдымен [a, b] бастапқы кесіндіде (3) формуласы бойынша кезіндегі мен нүктелері, ал одан кейін айырмасын табайық. Содан кейін және функцияларының мәнін есептеп, n.20 схемасы бойынша таралған кесіндісін аламыз.
Келесі қадамға дайындалып және алтын қиманың қасиетін қолданып, кесіндісінде , қималарын аламыз. Осы кезде үш жағдай мүмкін:

I. , , ,
II. ,, ,
III. , .

Енді, бөлінген схема бойынша , және т.б. кесінділерді таба беруге болады. Тапқан кезде І және ІІ жағдайларында мақсатты функцияның мәні алдынғы қадамда алынғанын ескеру керек.
шамалас теңдеу дәлдәгін есептеудің n-інші қадамында келесі
теңдікпен бағалауға болады.
(4)
оны (1) теңсіздіктен аламыз:

Тапсырмалар

1. Для заданной целевой функции найти промежуток , на котором она унимодальна.
2. Найти точное решение задачи одномерной минимизации , . Найти приближенное решение этой задачи с точностью по програм
ме Исследование унимодальной функции: а) методом половинного деления; б) методом золотого сечения; в) методом сканирования.
3. Сделать сравнительный анализ полученных расчетов.
4. Номер варианта выбирать по списку журнала.

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. .

Бағдарлама сипаттамасы
Бағдарлама іске қосканда экранда төменде көрсетілгендей терезе шығады

Бұл терезе келесі элементтерден тұрады:
Программаның негізгі мәзірі;
Құрал-жабдықтар панелі;
Жұмыс өрісі.

Бағдарламаның негізгі мәзірі келесі салымдардан (вкладкалардан) тұрады:
Файл
Правка
Көмек

1. Мәзірдің Файл бөлімі алдын-ала қарап шығуды, мәліметтер экспортың және бағдарламадан шығуды рұқсат етеді

Мәзірдің Правка бөлімі есептеуді рұқсат етеді

Мәзірдің Көмек бөлімі анықтама алуды және бағдарлама туралы мәліметтер алуды рұқсат етеді.

2. Құрал-жабдықтар панелінде 6 жылдам кнопкалары орналасқан

- Есептеуді жүргізу.
- Алдын-ала қарау.
- Excel актив бетімен мәліметтерді экспорттау.
- Жасаушылар туралы ақпарат.
- Бағдарлармен жұмыс туралы анықтама.
- Жұмысты аяқтау.
Бағдарламен жұмыс
Студент нұсқа номерін таңдап, бағдарламамен жұмыс туралы анықтамасындағы кестеден алынған өзінің коэффициент мәндерін енгізеді.

Студент есептеуді 3 тәсілмен жасай алады:
Негізгі мәзірі→Правка→Есептеуді жасау.
Құрал-жабдықтар панелінің бірінші кнопкасы→ Есептеуді жасау.
Тышқанның оң жақ кнопкасымен кестедегі контекст мәзірді шақыру→ Есептеуді жасау.

Есептеуді жасап болған соң бағдарлама қорытынды кестелер береді, жұмыс облысының жоғарғы оң жақ бұрышында нақты шешім шығады.

Үш тәсілмен алынған есептеулерді салыстыру үшін кестенің үстінде орналасқан салымдардан өту мүмкіншілігі бар.

Алынған нәтижелерді өңдеу.
1. Алдын-ала қарау мүмкін болады:
Негізгі мәзір→Файл→Алдын-ала қарау.
Құрал жабдықтар панелінің екіншісі кнопкасы→ Алдын-ала қарау.
Тышқанның оң жақ кнопкасымен басып кестедегі контекст мәзірді шақыру → Алдын-ала қарау.

Студент қосымша құрал-жабдықтар панелінің мүмкіншілігін пайдаланып өзінің шешімін басып шығара алады.

2. Активті беттен Excel-ге мәліметтерді экспорттау:
Негізгі мәзір→Файл→Мәліметтер экспорты.
Құрал-жабдықтар панелінің үшінші кнопкасы→ Мәліметтер экспорты.
Тышқанның оң жақ кнопкасын басып, кестедегі контекст мәзірді шақыру→ Мәліметтер экспорты.

Ұсынылған әдебиет:
1. Островский Г.М., Бережинский Т.А. Оптимизация химико-технологических процессов. Теория и практика. – М.: Химия, 1984, 240 с.
2. Применение управляющих вычислительных машин. Учебное пособие А.Н.Морозевич, А.В.Николаев, А.П.Пашкевич. – Мн.:Высшая школа,1988, 238 с.
3. Цирлин А.М. оптимальное управление технологическими процессами. – М.: Энергоатомиздат, 1986, 400с.