Теориялық мәліметтер

Унимодальді функцияны зерттеу
Жұмыс мақсаты: унимодальді функцияның орта бөлу, алтын қиылысу және сканирлеу әдістерімен зерттеуді үйрену.

1 Теориялық мәліметтер:

Қазіргі инженер тиімді тапсырмаларды шешу әдістерін біліу, нақты терминдерде осы тапсырмаларды құрастыра білу және олардың шешу жолдары мен әдістерін білу керек. Тапсырма қойылымы оны шешудің әдістемесімен және есептеу процедурасымен тығыз байланысты. Кейбір жағдайда қойылымды эквиваленті түрлендіру немесе азғантай өзгерту тапсырманы түп-тамырымен өзгертеді. Сол үшін инжинер үшін тек оптималдау әдщісін білу ғана емес, сонымен қоса қандайда бір шакрттарды қосу немесе алыптастау осы әдістерге қалай әсер ететінін де білу өте маңызды. Осы түсініктерге модулдық тиімділік шарт түрін және онымен тығыз байлансты есептеу алгаритмдерін алуда қолдану сәйкес келеді. Осындай әрекетте тиімділік шарттынақты типті тапсырмалар үшін есептеулер қатнасы жүйесі ретінде емес оптималдылық критериінің кез келген үйлесіндегі тапсырмалар үшін жарамды, осындай қатнастарға ауысу ретінде тұрғызылады.

Шешуге тура келетін тиімділік тапсырмалары әр түрлі. Бұлар:
экспериментті оптималды жобалау және эксперимент нәтижелеріне адекватты, үлкен дәлдікпен процес моделін тұрғызу тапсырмалыры;
агригаттарды бір режимнан екінші режимға тиімді ауыстыру оларды қосу және өшіру тапсырмалары;
аппараттың тұрақтандырылған режимін таңдау тапсырмалары;
аппараттар тобын жедел басқару тапсырмалары;

Қазіргі негізгі химиялы технологиялық өндірісі өзара байлансты жүйелерді құрайды. Жекелеген аппараттарды олардыі басқа аппараттармен байлансын ескермей оптималдау бүкіл химиялық-технологиялық жүйенің оптималды емес жұмысына әкеліп соғуы мүмкін.
Басқару жүйесін тиімді синтездеу тапсырмалары;(фильтрдың, реттегіштердің, ақператты алғашқы өңдеу жүйесін таңдау, беріктілік талаптарынескеріп құрылымды таңдау және т.б.).
Тиімділік тапсырмаларын қою кезінде оны шешудің тапсырмасы туралы жол келтіру ғана болады. Олардың ішінен ең жақсысын таңдап алу керек. Осылайша тапсырманың сөздік қойылымын нақты беруге болады. Есептеу технологиясына көшу, тапсырмасын шешу үшін матиматикалық әдістермен программалық қамтамасыздандыру құралдарды қолдану тапсырмаларының нақты қойылымын талап етеді. Бұндай қойылып тиімді критеримен тұруы қажет. Сонымен қоса тапсырма қойылымы кез келген мүмкін болатын шешімдерді, қанағаттандыратын шарттардан тұруы керек. Бұл шарттар көптеген мүмкін болатын шешімдері D – анықтайды.

Тиімді тапсырмалардың жалпы құрастыру және оларды шешу әдістерінің сипаттамасы.
Тиімді тапсырмалардың көптігі келесі түрде келтіруге болады:

мұндағы: f - - айнымалылардың нақты функциясы.

En – n ретті евклидтік кеңістік.

Минимизация тапсырмаларын шешу әдістерін екі топқа бөлуге болады.біріншісіне тура осы аталатын әдәстер жатады. Ол функция мәнін көршілі нүктелерде салыстыруға негізделген, екіншісі – тура емес әдістер оларды қолданғанда минимум жағдайы сәйкесінше қажетті шарттар көмегімен орындалады.

1 сурет
Тиіміділік тапсырмасының шешудің тура әдісіне қарастырамыз. Бұл әдістер интерациялық сипатта болады, яғни рекуррентті формаларды қолданылатын нақты есептеу процедураларының жиынтығы болып табылады.
Олардың орындалу нәтижесі болып берілген нүктелерінің шекті немесе шексіз тізбегін құрастыру болып табылады. Шартсыз минизация әдісінде, яғни тапсырманы шектеулерсіз шешу әдістерінде сәйкесінше тізбек келесі қасиеттерге ие;

мұндағы: - минималданатын функция.
Шартсыз минималдау әдісінің көпшілігі (х) минимумына қозғалыстың тізбекті бағытталуының тұрғызылуын қарастырады. Бір әдістің екіншісінен негізгі ерекшеленуі бұл осы тізбектілікті тұрғызу әдісінде болып табылады. Бұл жағдайда нүктелер қосылысы:

қатнасымен байлансқан. Мұндағы: -кейбір анықталған әдістермен таңдалатын - бағытының бойымен қадам ұзындығын анықтайтын параметр.

2 сурет
жылжу векторы бағытында келесі ге тең болады:

Осылайша нақты спуск алгаритімде бәр (i – ші) итерацияның орындалуы спуск бағытын және осы бағыттағы нүктесін анықтауда түйінделеді.
Шартсыз оптималдау әдістерінің құрылымын келесі сұлбадан көрсетуге болады.

0 қадам. Кейбір бастапқы нүкте және оң анықталған () – матрица таңдалады. Минималданатын функцияның градиентті : нүктесінде есептелуі орындалады.
1 қадам. , нүктесі градиент векторы, () – матрицасы берілген. Бағыты анықталады:

(1)
Жалпы жағдайда бағыт векторы нүктесінің кейбір нақты функциясы, градиенттерінің алдыңғы вектор нүктелерінің, минимизацияланатын функцияның және матрицаларының, нүктелерінде есептелген оның екінші туындыларының, яғни
(2)
(2) теңдеуінде тәуелділігі кейір айнымалы топтарынан, мысалы болмауы мүмкін.
(2) теңдеуге кіретін туындылардың максималды ретіне тәуелді минималдау алгаритімі сәйкесінше нөлдік, бірлік және екілік ретті әдістерге жатады. Мысалы нөлінші ретті әдісте минималдау тізбегінің, осындай тұрғызылуы қарастырылады. Мұнда тек әр түрлі нүктедегі минималданатын функция мәні туралы мәлімет қолданылады. Бірінші реттік әдісте бағыт векторы әдетте (1) қатнастан анықталынады. Екінші реттік әдістерде минималданатын функцияның екінші жеке туындысына тәуелділігі мүмкін.
2 қадам. Бір айнымалының функциясын қарастыра отырып

(3)
және бағыты бойынша қадамды анықтайтын және
(4)
шартын қанағаттандыратын шамасы таңдалады.
3 қадам. нүктесі есептеледі (градиенттік әдісте), одан кейін матрицасы құралады.тоқтаудың тексеру шартының нәтижесіне тәуелді алгаритім жұмысы не тоқтатылады (бұл жағдай талап еткен дәлдікпен оптималды нүкте болап табылады), не 1
қадамға ауысу жүзеге асырылады () алгаритім жұмысының аяқталу шарты болып теңсіздігі табылады.
Мұндағы e0 – берілген сан немесе .
Ізденетін әдістері алдау оларда келесі негізгі алгаритімдер қолданылатын көрсетеді.
1) бүтін функцияны есептеу
2) туындыны есептеу
3) берілген бағыт бойынша сызықты ізденіс
4) Н матрицасын таңдау
5) Шектелуді ескеру

Бір айнымалының функциясының шартсыз экстримумын табуға мүмкіндік беретін, оптималдықтың қарапайым алгаритімін қарастырамыз:

бір өлшемді оптималдылық нақты алгаритімдерін қарастырамыз.

Жартылау бөлу әдісі

Есепті шешу кезінде [a, b] шегі берілген, оған локальды минимум нүктесі қатысты және функциясы унимодулды болып табылады.
үзіліссіз функциясы [a, b] шегінде унимодулды деп аталады,
егер [a, b]
1) функцияның локальды минимумының нүктесі [a, b] шегіне батысты болса.
2) Мин.имум нүктесінің бір жағын алынған шектің кез келген екі нүктесі және үшін, минимум нүктесіне өте жақын нүктесіне функцияның аз мәні сәйкес келсе.
Унимодалдық шекті қысқарту үшін және нүктелерін қолданамыз:

мәні бірден өте кіші деп есептейік . Сонда және нүктелері [a, b] шегіне қатысты және схемадағы 20 пункінде қарастырылғандай қысқартылған жаңа [a1, b1] шегін аламыз, және оның ұзындығын әр бір мүмкін болатын үш жағдайда бағалаймыз.

I.
II.
III. ,

Осылайша, түрлендірудің бірінші қадамынан кейін унимодалдық жаңа шегі
[a1, b1] табылады, оның ұзындығы кішірейеді.
Әдістің атауы (бөлу әдісі) егер шамасы өте кіші болса, онда унимодалдық шегінің ұзындығы b-a екі есеге қысқаруымен түсіндіріледі. (І, ІІ жағдайлары).
Енді жаңа қысқартылған [a1, b1] аралығында оның ортасына қатысты симетриялы болатын және нүктелерін таңдап аламыз.

Жоғарыда жүргізілген есептеулерді жалғастыра отырып [a2, b2] шегін аламыз. Оның ұзындығы:

үлкен емес және т.с.с.
нәтижесінде мынандай енгізілген шектердің [a, b], [a1, b1] ... [an, bn] ... тізбегін аламыз. функциясын локалды минимум нүктесі ослардың әр қайсысына жатады және және тізбегінің жалпы шегі болып табылады.
Осыдан шамалы теңсіздігі алынады:

оның n-қадамдағы дәлдігін келесі теңсіздікпен шешуге болады:

. (1)

, , (2)

Сканерлеу әдісі
функциясы белгілі бір аралықта унимодульді болсын. Осы аралықтың х0 туынды нүктесі локальді минимумының нүктесін табу үшін бастапқы нүкте деп және саны - нүктесін таудың берілген дәлдігі деп есептейік. h арқылы х аргументінің еркін өсімшесі деп белгілеп, х0 нүктесінен бір қадам жасап, аргуметтінің жаңа мәнін аламыз.
және функциясының мәндерін салыстырайық. нүктесіне жақындаудың үш түрлі жалғасуы мүмкін.
І. функция мәніның азаюы болды. Онда жаңа стартты мән ретінде қабылдаймыз да, осы нүктесінен h қадам жасайық, яғни . Егер болып шықса, онда жаңа стартты нүктесінен қайтадан h қадам жасаймыз және Т.С.С. кейбір k-інші қадамда функциягың өсуі байқалады, яғни және де егер кезінде болса, онда қателігімен деп қабылдаймыз. Кері жағдайда нүктесі келесі ІІ схема бойынша есептеу жүргізу үшін бастапқы болып табылады деп санаймыз.
ІІ. - функция мәні өсті. Осы жағдайда нүктесі есептеулердің бастапқы нүктесі деп, ал есеп жүргізудің кіші қадамы - деп санаймыз. Одан кейін есептеулерді І және ІІ схема бойынша берілген дәлдікке жеткенше жүргіземіз.
ІІІ. бұл іс жүжінде өте сирек кездесетін жағдайда не берілген дәлдікке жеткендегі қабылдау, не ІІ схема бойынша жалғастыру ғана қалады.
Берілген әдіспен бір айнымалымен функцияның минимумын іздеу үздіксіз азайтып амплитудамен (4 сурет) функцияның локальді минимумының нүктесі жанында асырылатын тербелмелі процес болып табылады.

4 сурет

Локальді мнимумды - көрсетілген әдіс сканерлеу әдісі деп аталады (scan – белгілі бір жоспар бойынша ).
Ескерту 1. Локальді минимумның нүктесін анықтау үшін сканерлеу әдісін мақсатты фунцияның унимодульдік аралығын алдын ала тапай-ақ, қолдануға болады. Егер мақсатты функцияда бірнеше минимум болса, сканерлеу әдісімен көмегімен түрлі х0 бастапқы нүктелерін және h бастапқы қадамын беріп, локальді минимумның түрлі нүктелерін табуға болады.
Ескерті 2. Унимодульді функцияның кесіндісі алдынала берілсе, кесіндісіне жататын х0 бастапқы нүктесін және таңдау көп, ал h қадамын есептеу нәтижелерін кесіндісіне жатытындай етіп таңдау керек.
Ескерту 3. Екінші ретті үздіксіз туындылары болатын мақсатты функциясы үшін h аргуметінің х0 нүктесіндегі бастапқы өсімшесін формуласы бойынша есептеп алуға болады. Шынында да функциясының х0 нүктесі маңында h дәрежелері бойынша Тейлор бөлуін квадраты мүшелерімен шектеліп жазайық:

минимум нүктесінде h бойынша туынды 0 тең, яғни

Осылайша, теңдеуін аламыз да, содан h шамасын табымыз.

Тапсырмалар

1. Для заданной целевой функции найти промежуток , на котором она унимодальна.
2. Найти точное решение задачи одномерной минимизации , . Найти приближенное решение этой задачи с точностью по програм
ме Исследование унимодальной функции: а) методом половинного деления; б) методом золотого сечения; в) методом сканирования.
3. Сделать сравнительный анализ полученных расчетов.
4. Номер варианта выбирать по списку журнала.

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. .

Бағдарлама сипаттамасы
Бағдарлама іске қосканда экранда төменде көрсетілгендей терезе шығады

ПОӘК 042–14.01.20.ХХ02-2008

____________ № 1 басылым

124 беттiң 100-сi

Бұл терезе келесі элементтерден тұрады:
Программаның негізгі мәзірі;
Құрал-жабдықтар панелі;
Жұмыс өрісі.

Бағдарламаның негізгі мәзірі келесі салымдардан (вкладкалардан) тұрады:
Файл
Правка
Көмек

1. Мәзірдің Файл бөлімі алдын-ала қарап шығуды, мәліметтер экспортың және бағдарламадан шығуды рұқсат етеді

Мәзірдің Правка бөлімі есептеуді рұқсат етеді

Мәзірдің Көмек бөлімі анықтама алуды және бағдарлама туралы мәліметтер алуды рұқсат етеді.

2. Құрал-жабдықтар панелінде 6 жылдам кнопкалары орналасқан

ПОӘК 042–14.01.20.ХХ02-2008

____________ № 1 басылым

124 беттiң 101-сi

- Есептеуді жүргізу.
- Алдын-ала қарау.
- Excel актив бетімен мәліметтерді экспорттау.
- Жасаушылар туралы ақпарат.
- Бағдарлармен жұмыс туралы анықтама.
- Жұмысты аяқтау.
Бағдарламен жұмыс
Студент нұсқа номерін таңдап, бағдарламамен жұмыс туралы анықтамасындағы кестеден алынған өзінің коэффициент мәндерін енгізеді.

Студент есептеуді 3 тәсілмен жасай алады:
Негізгі мәзірі→Правка→Есептеуді жасау.
Құрал-жабдықтар панелінің бірінші кнопкасы→ Есептеуді жасау.
Тышқанның оң жақ кнопкасымен кестедегі контекст мәзірді шақыру→ Есептеуді жасау.

ПОӘК 042–14.01.20.ХХ02-2008

____________ № 1 басылым

124 беттiң 102-сi

Есептеуді жасап болған соң бағдарлама қорытынды кестелер береді, жұмыс облысының жоғарғы оң жақ бұрышында нақты шешім шығады.

Үш тәсілмен алынған есептеулерді салыстыру үшін кестенің үстінде орналасқан салымдардан өту мүмкіншілігі бар.

Алынған нәтижелерді өңдеу.
1. Алдын-ала қарау мүмкін болады:
Негізгі мәзір→Файл→Алдын-ала қарау.
Құрал жабдықтар панелінің екіншісі кнопкасы→ Алдын-ала қарау.
Тышқанның оң жақ кнопкасымен басып кестедегі контекст мәзірді шақыру → Алдын-ала қарау.

ПОӘК 042–14.01.20.ХХ02-2008

____________ № 1 басылым

124 беттiң 103-сi

Студент қосымша құрал-жабдықтар панелінің мүмкіншілігін пайдаланып өзінің шешімін басып шығара алады.

2. Активті беттен Excel-ге мәліметтерді экспорттау:
Негізгі мәзір→Файл→Мәліметтер экспорты.
Құрал-жабдықтар панелінің үшінші кнопкасы→ Мәліметтер экспорты.
Тышқанның оң жақ кнопкасын басып, кестедегі контекст мәзірді шақыру→ Мәліметтер экспорты.

ПОӘК 042–14.01.20.ХХ02-2008

____________ № 1 басылым

124 беттiң 104-сi

Ұсынылған әдебиет:
1. Островский Г.М., Бережинский Т.А. Оптимизация химико-технологических процессов. Теория и практика. – М.: Химия, 1984, 240 с.
2. Применение управляющих вычислительных машин. Учебное пособие А.Н.Морозевич, А.В.Николаев, А.П.Пашкевич. – Мн.:Высшая школа,1988, 238 с.
3. Цирлин А.М. оптимальное управление технологическими процессами. – М.: Энергоатомиздат, 1986, 400с.