ТІК БҰРЫШТЫ ҰШБҰРЫШТАРДЫҢ ТЕҢДІГІ

Тік бұрышты үшбұрыштар теңдігінің төрт белгісі

Тік бұрышты үшбұрыштардың теңдігін анықтаудың төрт негізгі белгісі бар. Бұл белгілер есептерді қысқа әрі сенімді түрде дәлелдеуге мүмкіндік береді.

1) Екі катет бойынша

Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың екі катеті екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес екі катетіне тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Катеттер арасындағы бұрыш 90° болғандықтан, бұл жағдай үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісіне (екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш) келтіріледі.

2) Катет және оған іргелес сүйір бұрыш бойынша

Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың катеті және оған іргелес жатқан сүйір бұрышы екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес катеті мен іргелес сүйір бұрышына тең болса, онда үшбұрыштар тең болады.

Бұл белгі үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісіне (бір қабырға және оған іргелес екі бұрыш) сүйеніп дәлелденеді.

3) Гипотенуза және сүйір бұрыш бойынша

Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен бір сүйір бұрышы екінші тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сәйкес сүйір бұрышына тең болса, онда үшбұрыштар тең болады.

4) Гипотенуза және катет бойынша

Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеті екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес гипотенузасы мен катетіне тең болса, онда үшбұрыштар тең болады.

3-белгінің дәлелдеуі: гипотенуза және сүйір бұрыш

Теорема. Егер тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышы екінші тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сәйкес сүйір бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

Дәлелдеу. ABC және A₁B₁C₁ тік бұрышты үшбұрыштарында гипотенузалар тең болсын: BC = B₁C₁, әрі сүйір бұрыштар тең: ∠B = ∠B₁. Осыдан үшбұрыштардың тең екенін көрсетеміз.

Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180°. Тік бұрышты үшбұрышта бір бұрыш 90° болғандықтан: ∠B + ∠C = 90°, ал дәл сол сияқты ∠B₁ + ∠C₁ = 90°. ∠B = ∠B₁ болғандықтан, бұдан ∠C = ∠C₁ шығады.

Енді ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁ және BC = B₁C₁. Демек, үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі бойынша ABC ≅ A₁B₁C₁. Теорема дәлелденді.

4-белгінің дәлелдеуі: гипотенуза және катет

Теорема. Егер тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен бір катеті екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес гипотенузасы мен катетіне тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

Дәлелдеу. ABC және A₁B₁C₁ тік бұрышты үшбұрыштарында ∠C = ∠C₁ = 90°, AB = A₁B₁ (гипотенузалар), AC = A₁C₁ (сәйкес катеттер) болсын. Екі үшбұрыштың тең екенін дәлелдейміз.

ABC үшбұрышын A₁B₁C₁ үшбұрышының үстіне C төбесі C₁ төбесімен беттесетіндей етіп орналастырайық. ∠C = ∠C₁ болғандықтан, CA катеті C₁A₁ сәулесінде, ал CB катеті C₁B₁ сәулесінде жатады. AC = A₁C₁ болғандықтан, A нүктесі A₁ нүктесіне дәл келеді.

Егер B нүктесі B₁ нүктесіне емес, B₂ нүктесіне түседі деп жорамалдайық. Онда A₁B₂ кесіндісін жүргізсек, A₁B₁B₂ теңбүйірлі үшбұрышы пайда болады, өйткені A₁B₁ = A₁B₂ (берілген екі үшбұрыштың гипотенузалары тең).

Теңбүйірлі үшбұрышта табан бұрыштары тең. Бірақ A₁B₁B₂ үшбұрышындағы ∠B₂B₁A₁ бұрышы доғал болады: ол A₁B₁C₁ тік бұрышты үшбұрышындағы сүйір бұрышпен қосылып, жазыңқы бұрыш құрайды. Ал теңбүйірлі үшбұрыштың табан бұрышы доғал бола алмайды. Қайшылық туды.

Демек, бастапқы жорамал қате, сондықтан B нүктесі дәл B₁ нүктесіне түседі. Осыдан ABC ≅ A₁B₁C₁ екені шығады. Теорема дәлелденді.