Matlab компьютерлік бағдарламасымен танысу

Компьютерлік математика • Matlab және Maple

Бұл мәтін Matlab және Maple бағдарламаларының негізгі мүмкіндіктерін, командаларын және оқу-жаттығу мысалдарын жинақы түрде түсіндіреді. Мәтін редакцияланып, терминдер біріздендірілді.

Неге Matlab?

Матрицалармен жұмыс, инженерлік есептер, сандық әдістер, графиктер және модельдеу үшін ыңғайлы орта.

Неге Maple?

Символдық есептеулер: туынды, интеграл, ықшамдау, теңдеулер мен дифференциалдық теңдеулерді аналитикалық шешу.

Негізгі идея

Matlab — сандық есептеулерге, Maple — символдық талдауға көбірек бағытталған. Екеуі де инженерлік есептерде кең қолданылады.

Matlab компьютерлік бағдарламасымен танысу

Matlab атауы MATrix LABoratory (яғни «матрицалық лаборатория») тіркесінен шыққан. Бағдарлама математикалық есептерді, соның ішінде электроника, радиотехника және өзге де инженерлік бағыттағы есептерді шешуге қолданылады.

Matlab-та көптеген амалдар матрицалар мен векторларға негізделіп орындалады. Сондықтан есептерді матрицалық түрде жазу мен түрлендіру — жұмыстың өзегі.

Қысқаша тарих

Matlab-тың алғашқы негіздері 1970-жылдары қалыптасты. 1980-жылдары MathWorks компаниясында Дж. Литтл оны дербес компьютерлерге ыңғайлап дамытты.

Matlab-ты орнатуға қойылатын минималды талаптар

Төмендегілер оқу мақсатындағы ескі конфигурация үлгісі ретінде берілген:

Процессор

Pentium (немесе IBM 486 деңгейіндегі жүйе ретінде көрсетілген)
Жедел жады (ОЗУ)

Кемінде 24 МБ
Қатты диск (HDD)

Кемінде 30 МБ бос орын
Монитор және видеокарта

Негізгі графиканы көрсетуге жеткілікті бейімдегіш (мәтінде 256 түсті режим аталған)
PDF оқу құралы

Adobe Reader немесе Adobe Acrobat (PDF файлдарын оқу үшін)

Ескерту

Қазіргі Matlab нұсқалары үшін жүйелік талаптар әлдеқайда жоғары. Бұл бөлім тарихи/оқу мәтініндегі талаптарды реттеп беріп отыр.

Matlab-тағы негізгі операторлар мен функциялар

Matlab командалары әдетте командалық терезеде >> белгісінен кейін енгізіледі.

Қарапайым есептеулер

Сандар, тұрақтылар, тригонометрия

>> 2 + 3
ans =
     5

>> y = pi/2
y =
    1.5708

>> sin(y)
ans =
     1

pi — π тұрақтысы, ал sin — синус функциясы.

Векторлар және скалярлық көбейту

Вектор құру және коэффициентке көбейту

>> V = [273 -1 0.2]
V =
  273.0000   -1.0000    0.2000

>> W = 5*V
W =
  1365.0000   -5.0000    1.0000

Вектор элементтерін [ ] арқылы енгіземіз. Скалярға көбейту — *.

Операторларды шатастырмау

* — матрицалық көбейту (немесе скалярлық көбейту)
.* — элемент бойынша көбейту
^ — дәрежеге шығару (матрица үшін)
.^ — элемент бойынша дәрежелеу

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

A·x = b түріндегі жүйе

Мәтіндегі үлгіде A матрицасы және B векторы берілген.

>> A = [5 4 2; 3 -1 5; 4 -2 -3];
>> B = [27 -6 0];

% Жүйені шешудің дұрыс тәсілі:
>> x = A\B.'   % немесе B-ні баған вектор ретінде беріңіз

Жүйені шешуде тәжірибеде A\B (backslash) операторы қолданылады. Бұл сандық тұрғыдан тұрақты әрі кең тараған әдіс.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу

Жоғары ретті дифференциалдық теңдеуді бірінші ретті теңдеулер жүйесіне келтіруге болады. Matlab-та мұндай жүйелерді сандық түрде шешу үшін көбіне ode45 сияқты ODE-солверлер қолданылады.

Жалпы жазылуы

F = F(x, y) түріндегі функция жазылып, кейін сол функция ode45 ішіне беріледі.

% Жалпы үлгі:
% [x, y] = ode45(@Fn, [x0 x1], y0);

% Fn.m файлында:
% function dy = Fn(x, y)
%   dy = [...];  % баған вектор
% end

Мәтіндегі мысалдың ықшамдалған нұсқасы

Жүйе мынаған ұқсас түрде берілген: y₁' = y₂ + 0.01·x², y₂' = −y₁.

% F2.m:
function dy = F2(x, y)
  dy = [y(2) + 0.01*x^2; -y(1)];
end

% Командалық терезе:
% [x, y] = ode45(@F2, [0 20], [0.1; 1]);
% y(:,1)  % бірінші компонент

Matlab графикасы

График салу үшін plot, mesh, surf командалары жиі қолданылады:

plot — 2D сызықтық график
mesh — 3D тор (wireframe) бет
surf — 3D тұтас бет (торы көрінбеуі мүмкін)

2D графиктің ең қарапайым үлгісі

>> x = 0:0.1:1;
>> y = sin(x);
>> plot(x, y)

Түс пен белгі (marker) беру

Мысалы, 'r-' — қызыл тұтас сызық, 'b*' — көк жұлдызша маркерлер.

Түстер

r — қызыл, b — көк, g — жасыл, y — сары, k — қара, c — көгілдір

Сызық түрі

- (тұтас), -- (штрих), : (нүктелі), -. (штрих-нүктелі)

Белгілер

* (жұлдызша), +, x, o (дөңгелек)

Мысал

plot(x,y,'r-') немесе plot(x,y,'b*')

Қолданбалы есеп: лақтырылған дененің траекториясы

Дене горизонтпен α бұрыш жасай лақтырылғанда, ұшу уақытын, максимал биіктікті және ұшу қашықтығын табу, әрі траекторияны салу керек.

V0 = 40;
g  = 9.8;
alpha = 30;
alpha = alpha*pi/180;

tm = V0*sin(alpha)/g;   % көтерілу уақыты
t0 = 2*tm;              % толық ұшу уақыты

t = 0:0.01:t0;
x = V0*cos(alpha).*t;
y = V0*sin(alpha).*t - 0.5*g*t.^2;

plot(x, y, 'r-')

Тербелмелі қозғалысқа мысал

Классикалық теңдеу: x'' + ω²x = 0, мұнда ω — тербеліс жиілігі (бұрыштық жиілік).

Maple компьютерлік бағдарламасы

Maple — аналитикалық (символдық) есептеулерге арналған компьютерлік математика жүйесі. Ол алғаш Waterloo университетімен байланысты ортада дамыған.

Maple көмегімен функцияның туындысын табу, интеграл есептеу, өрнектерді ықшамдау, теңдеулер мен теңсіздіктерді (және олардың жүйелерін) шешу, дифференциалдық теңдеулерді шешу және график салу сияқты көптеген амалдарды орындауға болады.

Maple: негізгі командалар мен операторлар

Туынды алу

Maple-де туынды үшін diff командасы қолданылады.

> diff(y, x);

> diff(sin(x) + x^2, x);
                              cos(x) + 2*x

Интегралдау

Интеграл үшін int командасы қолданылады (анықталмаған және анықталған).

> int(cos(x) + 2*x, x);
                               sin(x) + x^2

> int(sin(x), x = 0 .. Pi);
                                   2

Өрнекті ықшамдау және жақшаны ашу

Ықшамдау — simplify, жақшаны ашу — expand.

> expand((x+1)*(x-5));
                               x^2 - 4*x - 5

> simplify(sqrt(x^2));
                                abs(x)

Көбейткіштерге жіктеу

Көбейткіштерге жіктеу үшін factor қолданылады.

> factor(x^2 - 4*x - 5);
                             (x + 1) (x - 5)

Теңдеулерді шешу және график салу

solve

Теңдеу/жүйе шешу үшін:

> solve(f = m*a, a);

> solve({x + y = 2, x - y = 0}, {x, y});

plot және plot3d

График салу үшін:

> plot(y, x = a .. b, color = blue);

> plot3d(sin(x+y), x = -Pi .. Pi, y = -Pi .. Pi);

Maple көмегімен физика есептерін шығару

Есеп 1: жазық конденсатордағы жұмыс

Ауданы S = 500 см² жазық конденсатор U = 300 В кернеуге қосылған. Пластиналар арақашықтығы L = 1 см-ден 3 см-ге өзгергенде орындалатын жұмысты табу керек (орта — ауа).

Бұл есепте энергия/жұмыс формуласын таңдап, параметрлерді бірліктерге келтіріп, Maple-де символдық түрде түрлендіруге болады.

Қос интегралды есептеу (үлгі)

> with(student):
> doubleint(sin(x+y), x = 0 .. 1, y = 2*x .. 3);

> restart;

Есеп 2: гармониялық тербеліс

Массасы m = 5 г материалдық нүкте гармониялық тербеледі. Амплитудасы A = 3 см. Координатасы x = 1.5 см болған сәттегі жылдамдықты, сондай-ақ F_max және толық энергияны табу қажет.

Мұндай есептерде байланыстарды (мысалы, энергияның сақталуы, x/A қатынасы, жылдамдықтың амплитудаға тәуелділігі) пайдаланып, Maple-де формулаларды ықшамдап, мән қою арқылы нәтиже алуға болады.