Қазақша рефераттар

Сызықтық теңдеулер жүйесін Кері матрица әдісімен шешу

Сабақтың мақсаттары

Білімділік

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдерін меңгерту: Крамер, Гаусс, кері матрица әдістері арқылы шешім табу. Сонымен бірге сызықтық бағдарламалаудың моделін құруға үйрету.

Тәрбиелік

Ұйымшылдыққа, ұқыптылыққа және дәлдікке тәрбиелеу.

Дамытушылық

Ойды жүйелі жеткізу қабілетін дамыту және ой-өрісті кеңейту.

I. Ұйымдастыру

  • Студенттермен амандасу және қатысымды тексеру.
  • Сабаққа дайындығын бақылау, аудитория тазалығын қадағалау.
  • Сабақтың құрылымымен таныстыру, топқа бөлу.

II. Үй тапсырмасын тексеру

Өткен тақырыптарды бекіту үшін студенттерге төмендегі сұрақтар қойылады:

  1. 1. Матрицалардың анықтамасы
  2. 2. Матрицалардың түрлері
  3. 3. Анықтауыштар және олардың қасиеттері
  4. 4. Матрицаға амалдар қолдану
  5. 5. Кері матрица
  6. 6. Матрицалар рангі
  7. 7. Үшбұрышты матрицалар әдісі
  8. 8. Матрицалық теңдеулер
  1. 9. Матрицалық теңдеулердің шешімін табу
  2. 10. Матрица нормасы
  3. 11. Кері матрицаны табу
  4. 12. Лаплас ережесі бойынша есеп шығару
  5. 13. Матрицаны санға көбейту
  6. 14. Екі матрицаның көбейтіндісінің шарттары
  7. 15. Матрицаларды бағдарламалық модельдеу бойынша есептер

Ойын элементі: шағын жарыс

Әр топқа үш тапсырма беріледі. Мақсат — уақытты тиімді пайдаланып, шешімді дәл ұсыну.

1-есеп

Матрицаны есептеу

2-есеп

Кері матрицаны табу

3-есеп

Матрицаның бағдарламалық моделін құру

III. Жаңа материалды түсіндіру

Топ бірнеше бөлікке бөлінеді. Әр бөлім алдын ала берілген тақырып бойынша қысқа баяндама ұсынады.

1. Сызықтық теңдеулер жүйесі
2. Крамер әдісі
3. Гаусс әдісі
4. Кері матрица әдісі
5. Сызықтық бағдарламалау моделі

Сызықтық теңдеулер жүйесі

Қазіргі таңда алгебралық теңдеулер жүйесін түрлі салада қолданбайтын ғылым бағыты жоқ. Сызықтық теңдеулер жүйелері экономикалық зерттеулерде, оптикалық есептерді құрастыруда және тәжірибелік есептерді шешуде ерекше маңызды. Сызықтық бағдарламалаудағы әмбебап симплекс әдісі де сызықтық теңдеулер жүйесін шешу идеяларына, әсіресе айнымалылардың теріс емес мәндерін ескеретін тәсілдерге сүйенеді.

Негізгі түсініктер

Жалпы түрде m сызықтық теңдеу және n белгісізі бар жүйе x1, x2, …, xn үшін беріледі. Мұнда aij — коэффициенттер, bi — бос мүшелер. i индексі теңдеудің ретін, ал j — белгісіздің ретін көрсетеді.

Шешім

Белгісіздердің мәндері теңдеулердің әрқайсысын қанағаттандырса, ол жүйенің шешімі деп аталады.

Бірлескендік

Егер жүйенің кем дегенде бір шешімі болса — бірлескен, ал шешімі болмаса — бірлескен емес деп аталады.

Эквивалентті түрлендірулер

Жүйені шешуді жеңілдету үшін оны эквивалентті жүйеге келтіретін қарапайым түрлендірулер қолданылады:

  • Нөлдік жолды (0x1 + … + 0xn = 0) алып тастау.
  • Теңдеулердің орындарын (немесе мүшелердің ретін) ауыстыру.
  • Бір теңдеуге екінші теңдеудің сәйкес жақтарын нақты санға көбейтіп қосу.
  • Басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясы болып табылатын теңдеуді жүйеден алып тастау.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің көптеген тәсілдері бар. Мектеп курсында орнына қою және алгебралық қосу әдістері жиі қарастырылады. Жоғары деңгейде жүйені матрицалық түрде жазып, Крамер, Гаусс, Жордан–Гаусс түрлендіруі сияқты әдістер қолданылады. Тәжірибелік есептерде бұл әдістердің алгоритмдік сипаты ерекше маңызды.

Крамер әдісі

Теорема (Крамер ережесі). n айнымалысы бар n сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді болып, rank(A)=n және Δ = det(A) ≠ 0 болса, онда жүйенің бір ғана шешімі бар. Шешім формуласы: xi = Δi / Δ, мұнда Δi — A матрицасының i-бағанын бос мүшелер бағанымен алмастыру арқылы алынған анықтауыш.

Мысал (идеясы)

Екі белгісізі бар екі теңдеу үшін Δ, Δx, Δy есептеледі, содан кейін x = Δx/Δ, y = Δy/Δ.

Берілген үлгі үшін жауап: (5; 2).

Гаусс әдісі

Гаусс әдісінің мәні — қарапайым түрлендірулер арқылы айнымалыларды біртіндеп жойып, жүйені баспалдақты түрге келтіру. Одан кейін кері есептеу жүргізіліп, шешім табылады. Бұл түрлендірулерді жүйенің матрицасына да қолдануға болады.

Мысал (нәтиже)

Түрлендірулерден кейін келесі жүйе алынады: 

x1 + x2 − x3 = 0
x2 − x3 = −1
x3 = 1

Демек, шешімі: (1; 0; 1).

Кері матрица әдісі

Теңдеулер жүйесін матрицалық түрде A · X = C деп жазамыз. Егер A матрицасы кері матрицаға ие болса, онда X = A−1 · C.

Мысал (нәтиже)

Берілген есеп үшін кері матрица арқылы есептегенде: x1 = 27, x2 = 43, x3 = 0.

Сызықтық бағдарламалау моделі

Экономикалық есептерді арнайы математикалық әдістермен шешу бағыты математикалық бағдарламалау деп аталады. Мұнда белгілі бір критерий бойынша тиімді жоспарды табу қарастырылады: мысалы, пайданы максимум ету немесе шығынды минимум ету.

1-кезең: мақсат

Ізделінетін шамаларға тәуелді мақсатты көрсетеміз. Бұл — мақсатты функция.

2-кезең: шектеулер

Ресурс, технология және басқа шарттардан шығатын теңсіздіктер/теңдіктер жүйесін құрамыз.

Мысал: рацион құру есебі

Жеке малды жемдеуде күніне қоректік заттардың ең аз мөлшері сақталуы керек: S1 ≥ 9, S2 ≥ 8, S3 ≥ 12. Екі түрлі жем қолданылады: 1-кг құны — 40 тг, 2-кг құны — 60 тг. Бірлік құрамындағы қоректік заттар төмендегідей берілген.

Жем түрі S1 S2 S3 Құны, тг
1 3 1 1 40
2 1 2 6 60
Ең аз талап 9 8 12 —

Белгісіздер

x1 — 1-түрдегі жем мөлшері,
x2 — 2-түрдегі жем мөлшері.

Мақсатты функция

Жалпы шығынды минимум ету: f(x) = 40x1 + 60x2 → min.

Ескерту: бастапқы мәтіндегі «40x1 − 60x2» түрі шығынды сипаттамайды; экономикалық мағынасы бойынша қосынды түрі қолданылады.

Шектеулер жүйесі

3x1 + 1x2 ≥ 9
1x1 + 2x2 ≥ 8
1x1 + 6x2 ≥ 12
x1 ≥ 0,  x2 ≥ 0

Егер мақсатты функция да, шектеулер де сызықтық болса, онда бұл — сызықтық бағдарламалау есебі. Ал егер кемінде біреуі сызықтық емес өрнектерден тұрса — сызықсыз бағдарламалау.

IV. Бекіту

Төмендегі мақсатты функциялар үшін есептің түрін анықтап, (қажет болса) шектеулер жүйесін құрастырыңыз:

10)

f = 3x1 + 4x2 → min

11)

f = 10x1 + 14x2 → min

12)

f = x1 + x2 → max

V. Үйге тапсырма

1) f = x1 + x2 → max

VI. Бағалау

Бағалау критерийлері: теорияны түсіндірудің анықтығы, есептеу дәлдігі, әдісті дұрыс таңдау, топтық жұмысқа қатысу және нәтижені негіздеп ұсыну.