Қазақша рефераттар

Кеңістіктегі түзулердің параллелдігі

Сыныбы: 10

Пәні: Геометрия

Сабақтың тақырыбы

Кеңістіктегі түзулердің параллелдігі.

Сабақтың мақсаты

Түзулердің кеңістіктегі параллельдігі ұғымымен және оның негізгі қасиеттерімен таныстыру.

Сабақтың міндеттері

  • Кеңістіктегі параллельдік ұғымын есеп шығару барысында қолдана білу.
  • Кеңістіктік және абстрактілі ойлау қабілетін дамыту.
  • Теорияны практикада қолдана білу дағдыларын қалыптастыру.

Тәрбиелік мақсаты

Ұқыптылықты қалыптастыру және пәнге қызығушылықты арттыру.

Сабақтың барысы

  1. Өткен тақырыптарды қайталау.
  2. Аксиомалар салдарларын дәлелдеу.
  3. Жаңа материалды түсіндіру.
  4. Есептер шығару.
  5. Бекіту.

Жаңа тақырып: кеңістіктегі параллель түзулер

Жазықтықта қиылыспайтын екі түзуді параллель түзулер деп атаймыз. Енді осы ұғымды кеңістікке көшейік.

Анықтама

Кеңістікте бір жазықтықта жататын және өзара қиылыспайтын екі түзу параллель түзулер деп аталады (10-сурет).

Түзулердің параллельдігі жазықтықтағыдай белгіленеді: a ∥ b.

Маңызды ескерту

Кеңістікте түзулердің параллель болуы үшін тек қиылыспауы жеткіліксіз: олар міндетті түрде бір жазықтықта жатуы керек. Сондай-ақ параллель түзулерге тиісті кесінділер мен сәулелер де өзара параллель деп аталады.

Мысалы, ABCDA1B1C1D1 кубында AD және A1D1 қырлары өзара параллель (11-сурет).

Салдар

Анықтамадан: параллель екі түзу арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады және ол жалғыз. Егер a және b параллель түзулері арқылы әртүрлі екі жазықтық жүргізілді десек, онда a түзуі және b түзуінен алынған қандай да бір нүкте арқылы екі түрлі жазықтық өткен болар еді. Бұл 1-теоремаға қайшы.

Демек, жазықтықты берудің тағы бір тәсілі бар: жазықтықты параллель екі түзу арқылы беру.

3-теорема

Берілген түзуден тыс жатқан нүкте арқылы сол түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады.

Дәлелдеу

Берілген түзуді a, ал нүктені B деп белгілейік. a түзуі мен B нүктесі арқылы 1-теорема бойынша α жазықтығын жүргізейік (12-сурет).

α жазықтығындағы B нүктесі арқылы a-ға параллель b түзуін жүргіземіз.

Енді B нүктесінен өтетін және a-ға параллель басқа b1 түзуі бар делік. Онда a және b1 түзулері арқылы β жазықтығын жүргізуге болады. β жазықтығы a түзуі мен B нүктесі арқылы өтетіндіктен, 1-теорема бойынша ол α жазықтығымен беттеседі.

Демек, жазықтықтағы параллельдік аксиомасына сәйкес b және b1 түзулері беттеседі. Теорема дәлелденді.

4-теорема

Егер екі түзудің әрқайсысы үшінші бір түзуге параллель болса, онда бұл екі түзу өзара параллель болады.

Дәлелдеу

b ∥ a, c ∥ a болсын (13а-сурет). b мен c түзулері де параллель екенін көрсету үшін: (1) олардың бір жазықтықта жататынын; (2) қиылыспайтынын дәлелдеу керек.

Кері жорып, b мен c бір жазықтықта жатпайды дейік. α — a мен b түзулері жататын, ал β — a мен c түзулері жататын жазықтық болсын. Онда α мен β әртүрлі (13ә-сурет).

b түзуінен кез келген B нүктесін алып, c түзуі мен B нүктесі арқылы β1 жазықтығын жүргіземіз. Ол α жазықтығын b1 түзуі бойымен қияды (13б-сурет).

b1 түзуі β жазықтығын қимайтынын көрсетейік. Егер қияды десек, қиылысу нүктесі a түзуінде жатуға тиіс (себебі b1 мен a — α жазықтығында). Екінші жағынан, ол нүкте β мен β1 жазықтықтарына ортақ болғандықтан, c түзуінде де жатуы керек. Бұл мүмкін емес, өйткені шарт бойынша a ∥ c.

Демек, b1 түзуі β жазықтығымен қиылыспайды. b1 түзуі α жазықтығында жатады және a түзусімен қиылыспайды, сондықтан параллельдік аксиомасына сәйкес b түзуімен беттеседі.

Олай болса, b түзуі β1 жазықтығында c түзуімен бір жазықтықта жатады және оны қимайды. Демек, b ∥ c. Теорема дәлелденді.

Мысал: параллель түзулер арқылы қанша жазықтық жүргізіледі?

Берілгені

Әрбір үшеуі бір жазықтықта жатпайтын және қос-қостан параллель түзулер берілсін. Олардың әртүрлі жұптары арқылы қанша жазықтық жүргізуге болады: (1) үш түзу; (2) төрт түзу; (3) n түзу?

Шешуі

Параллель түзулердің әрбір жұбы арқылы жазықтық жүргізуге болады. Сондықтан:

  • Үш түзу үшін — 3 жазықтық.
  • Төрт түзу үшін — 6 жазықтық.
  • n түзу үшін — әр түзу қалған n − 1 түзумен жұп құрайды.

Жалпы жағдайда әр жұп екі рет саналатындықтан, жазықтықтар саны: n(n − 1)/2

Бекіту сұрақтары

  1. Жазықтықтағы және кеңістіктегі параллель түзулердің ортақ белгісі қандай, айырмашылығы неде?
  2. Бір түзуге параллель 3, 4, …, n түзулер өзара параллель болады деп тұжырымдауға бола ма? Жауабыңды түсіндір.

Жаттығулар

  1. A нүктесі арқылы өтетін a түзуіне параллель түзуді қалай жүргізуге болады?
  2. ABCDA1B1C1D1 кубы берілген (8-сурет). Параллельдік таңбасын пайдаланып, кубтың параллель қырларының жұптарын жазыңдар.
  3. a ∥ b, ал b ≠ c. a және c түзулері параллель болмайтынын дәлелдеңдер.

Үй жұмысы

23-тапсырма.

Бағалау

Оқушылардың жұмысы сабақ бойындағы белсенділігі мен есеп шығару нәтижесіне қарай бағаланады.