Циркул және сызғыштың көмегімен бөліп салу

Бұрышты тең үш бөлікке бөлу есебі

Есепті тек түсініп қою жеткіліксіз: оны шығарамын деген ниет пен талап қажет. Күшті талап болмаса, қиын есепті шешу мүмкін емес; ал талап бар жерде — шешімге апарар жол табылады.

Циркуль мен сызғыш: мүмкіндіктер мен шектеулер

Көптеген салу есептері циркуль және сызғыш көмегімен орындалады. Сондай-ақ бұрышты екіге (биссектриса арқылы) және төртке тең бөлу тәсілдері белгілі. Бірақ табиғи сұрақ туады: осы құралдармен кез келген бұрышты үш тең бөлікке бөлуге бола ма?

Бұл мәселе бұрыштың трисекциясы деп аталады және бірнеше ғасыр бойы математиктердің назарында болды. Тек XIX ғасырда ғана еркін алынған бұрыш үшін циркуль мен сызғыш арқылы дәл трисекция жасау мүмкін еместігі дәлелденді.

Тарихи себептер: құрылыс пен архитектурадағы ізі

Ежелгі Мысыр ғұламалары бұрышты тең үшке бөлуге байланысты қиындықтарға тап болғаны туралы деректер айтылады: трисекцияға келіп тірелетін кейбір салу есептері шешілмей, құрылыс пен архитектурада белгілі бір жұмыстарды орындауға кедергі келтірген.

Математикадағы атақты «шешілмейтін» есеп

Рене Декарт бұл мәселені «шешілмейтін есеп» деп тұжырымдағаны келтіріледі. 1837 жылы П. Ванцель бұрыштың трисекциясы циркуль мен сызғыш арқылы жалпы жағдайда орындалмайтынын қатаң түрде дәлелдеді.

Бұл тақырыппен Элладалық Гиппий, Александриялық Некомед, Архимед секілді ғалымдар да айналысып, арнайы әдістер мен құралдар ұсынғанымен, классикалық шарт — тек циркуль мен сызғыш — сақталғанда жалпы шешім табылмайды.

Неге мүмкін емес: алгебралық түбірге келіп тірелу

Кейбір анықтамалықтарда трисекция есебі куб теңдеудің түбірін салуға келіп тірелетіні айтылады: x³ + px + q = 0. Еркін алынған бұрыш үшін алынған теңдеу, әдетте, рационал түбірге ие болмайды. Сондықтан (кесіндіні циркуль және сызғыш арқылы салу критерийіне сүйенсек) трисекция классикалық құралдармен орындалмайды.

Трисекцияға қатысты еңбектер әр жылдары түрлі дереккөздерде аталады. Мысалы, У. У. Сойердің «Прелюдие к математике» еңбегінде де циркуль мен сызғышпен трисекцияның мүмкін еместігі сөз болады. Сонымен қатар әл-Фарабиге телінетін кейбір жазбаларда бұрыштарды тең үш бөлікке бөлуге болады делінгенімен, дәлелдеу мен салу қадамдары толық қарастырылмайтын тұстары бар деп беріледі.

Қате шешімдер және «жуықтау» туралы ескертпе

Бұрыш трисекциясына байланысты кейбір оқулықтарда хордаға сүйенетін тәсілдер келтіріліп, жіберілетін қателік белгілі бір шектен аспайды деп көрсетіледі. Мұндай тәсілдер, әдетте, дәл салу емес, жуықтау нәтижесіне жатады.

Келесі сұрақ: дәл шешім бар ма?

Жоғарыдағы деректер — трисекция есебіне қатысты тарихи мәліметтер. Енді негізгі түйін мынада: бұл атақты есептің дәл шешімі бар ма, әлде жоқ па? Егер классикалық шартты — тек циркуль мен сызғышты — қатаң сақтасақ, жалпы жағдайда жауап теріс. Дегенмен, есепті талдау логикасын түсіну үшін дәстүрлі баяндау салу қадамдарын қарастырудан басталады.