Қазақша рефераттар

Геометриялық прогрессияның еселігінің формуласы

Сабақтың тақырыбы

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы

Сынып

9-сынып (Алгебра)

Әдістер

СТО, АКТ, бағалау

Сабақтың мақсаты

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы формуласын енгізу және оны есептер шығару барысында қолдану дағдысын қалыптастыру.

Күтілетін нәтижелер

  • Геометриялық прогрессияның анықтамасын және негізгі формулаларын біледі.
  • Геометриялық прогрессияға берілген есептерді шешу тәсілдерін қолданады.
  • Тиімді әдісті таңдап, шешу жолын математикалық тұрғыдан сауатты рәсімдейді.

Мұғалімнің рөлі

Бағыт-бағдар береді, қажет болғанда көмек көрсетеді, оқушылардың танымдық тапсырмаларды өз бетінше орындауын және уақытты тиімді пайдалануын қадағалайды. Жұппен және топпен жұмыс істеу дағдысын дамытуға басымдық береді.

Негізгі ұғымдар мен ресурстар

Негізгі ұғымдар

Геометриялық прогрессия: мүшелері, еселігі (q), алғашқы n мүшесінің қосындысы (Sn).

Пайдаланылатын дереккөздер

  • Ә. Шыныбеков, «Алгебра және анализ бастамалары» (оқулық)
  • Есептер жинағы
  • «Физика және математика» журналы
  • Энциклопедия, тарихи мәліметтер

Сабақтың ұстанымы

«Арифметика — математиканың, ал математика — ғылымдардың патшасы». (К. Гаусс)

Сабақтың құрылымы

  1. 1. «Тыңда, ойлан, тап» математикалық диктант
  2. 2. Проблемалық ситуация: есеп
  3. 3. Математика тарихынан
  4. 4. Деңгейлік тапсырмалар
  5. 5. Бағалау
  6. 6. Үй тапсырмасы
  7. 7. Кері байланыс

Қызығушылықты ояту: математикалық диктант

«Тыңда, ойлан, тап» форматында оқушылар формулалардың атауын және мағынасын еске түсіреді.

Қайталау сұрақтары

  1. 1) Қандай сан тізбегін арифметикалық прогрессия деп атайды?
  2. 2) Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы.
  3. 3) Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы.
  4. 4) Арифметикалық прогрессияның айырмасы.
  5. 5) Қандай сан тізбегін геометриялық прогрессия деп атайды?
  6. 6) Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы.
  7. 7) Геометриялық прогрессия еселігінің (q) формуласы.

Проблемалық ситуация: «30 күндік келісім» есебі

Есептің шарты

Бір адам байдан жұмыс сұрайды да мынадай ұсыныс айтады: «Мен 30 күн бойы күн сайын саған 100 000 теңге әкеліп тұрамын. Ал сен маған: 1-күні — 1 тиын, 2-күні — 2 тиын, 3-күні — 4 тиын бересің, әрі қарай әр күні беретін ақшаң алдыңғы күннен 2 есе артып отырады».

Бай «30 күнде 3 000 000 теңге аламын» деп қуанып, келісімді нотариус арқылы бекітеді. Осы келісімде кім ұтады?

Талдау

Байдың төлейтін тиындары мына тізбекті құрайды: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... Бұл — геометриялық прогрессия. Мұнда b1=1, q=2, n=30. Сондықтан S30-ды біртіндеп қосып шығу тиімсіз; қосынды формуласы қажет.

Негізгі формула: алғашқы n мүшенің қосындысы

Sn=b1+b2+...+bn

Егер q≠1 болса, онда Sn=b1·(qn−1)/(q−1).

(Эквивалент түрде: Sn=b1·(1−qn)/(1−q).)

Қорытынды идея

Бұл типтегі келісімдерде «ақша күн сайын екі есе өседі» деген шарт өте тез үлкейетін қосындыға әкеледі. Сол себепті мұнда формуланы қолдану — шешімнің ең тиімді жолы.

Математика тарихынан

«Прогрессия» сөзі қайдан шыққан?

Прогрессия термині латын тіліндегі progressio сөзінен шыққан, мағынасы — «ілгері жүру». Бұл атауды алғаш рет рим математигі Аник Боэций қолданған. Прогрессиялар мен тізбектер туралы ілімнің алғашқы нышандары мысырлықтар мен вавилондықтардан бастау алады.

Мысыр папирустарындағы кейбір есептер прогрессияға қатысты болған. Мысалы: «10 өлшем арпаны 10 адамға бөліп бер; әр адамға тиетін үлестің айырмасы 1/8 болсын». Бұл — айырмасы d=1/8 болатын арифметикалық прогрессия.

Ой толғаныс: топтық және деңгейлік тапсырмалар

Топпен жұмыс (3 ұпай)

№222. Әр топ бірлесіп шешеді, бір оқушы тақтада шешуін көрсетеді.

a) 10; 20; 40; ... — алғашқы 10 мүшесінің қосындысы

ә) -4; 16; -64; ... — алғашқы 7 мүшесінің қосындысы

б) 3; -1; 1/3; ... — алғашқы 8 мүшесінің қосындысы

Жауаптары

a) 10 230; ә) -13 108; б) 2 182/729

Топпен жұмыс (5 ұпай)

Әр топ есепті бірлесіп шығарып, тақтада қысқаша шешімін көрсетеді.

1-топ: №223 (a)

Жауабы: 0,02; 5,1

2-топ: №223 (б)

Жауабы: 256; 781

3-топ: №224

Жауабы: 256; 510

Деңгейлік өзіндік жұмыс (жеке орындау)

A деңгейі (3 ұпай)

Геометриялық прогрессияның алғашқы 5 мүшесінің қосындысын табыңдар:

  • 1-топ: b1=1, q=-2
  • 2-топ: b1=-1, q=3
  • 3-топ: b1=2, q=-3

B деңгейі (4 ұпай)

Бірінші мүшесін және алғашқы 5 мүшесінің қосындысын табыңдар:

  • 1-топ: b2=6, q=-2
  • 2-топ: b3=-18, q=3
  • 3-топ: b3=9, q=3

C деңгейі (5 ұпай)

Берілген рекурренттік формула бойынша {xn} тізбегі: 1) геометриялық прогрессия екенін дәлелдеңдер; 2) алғашқы 4 мүшесінің қосындысын табыңдар.

  • 1-топ: x1=2, xn+1=3xn
  • 2-топ: x1=3, xn+1=2xn
  • 3-топ: x1=5, xn+1=4xn

D деңгейі (6 ұпай)

Осы тақырыпқа сәйкес өздерің есеп құрастырып, шешу жолын көрсетіңдер.

Талап: берілгендерді, q мәнін, n-ді анық көрсетіп, шешімде Sn формуласын қолданыңдар.

Білімді тексеру: «Кубизм» стратегиясы

Кубтың әр қырына есеп нөмірі жазылады. Түскен нөмір бойынша есеп шығарылады.

1)

Бірінші мүшесі -1/3, еселігі 3. S3 табыңдар.

2)

Бірінші мүшесі 2, еселігі 0,1. S3 табыңдар.

3)

Бірінші мүшесі 3, еселігі 4. S5 табыңдар.

4)

Бірінші мүшесі 10, еселігі 2. S6 табыңдар.

5)

Бірінші мүшесі 15, еселігі 2. S5 табыңдар.

6)

Бірінші мүшесі 256, еселігі 3/4. S5 табыңдар.

Рефлексия (кері байланыс)

Оқушылар қажетті сөздің астын сызады немесе белгі қояды.

1) Осы тақырыпты оқу барысында: мен көмектестім / маған көмектесті.

2) Прогрессияға арналған есептер: оңай / қиын / қызықты болды.

3) Бүгінгі сабақ: пайдалы / пайдасыз / қызықты / қызықсыз өтті.

Үй тапсырмасы

Оқулық пен есептер жинағынан осы тақырыпқа сәйкес тапсырмалар: геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы формуласын қолдануға арналған есептер.