Геометриялық прогрессияның анықтамасы

Сынып: 9-сынып

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы

Бұл сабақ ертегі желісімен ұйымдастырылып, есеп шығару арқылы жаңа формуланы түсінуге және оны қолдануға бағытталады.

Сабақтың мақсаттары

Білімділік

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы формуласын есептерде қолдану дағдысын қалыптастыру; өте үлкен шамалардың мәнін бағалай білуге жаттықтыру.
Дамытушылық

Математикалық тізбектер туралы ұғымды кеңейту; ойлау қабілетін және пәнге қызығушылықты дамыту.
Тәрбиелік

Терең ойлауға, шыдамдылыққа, тапқырлыққа, ұйымшылдыққа және нақты шешім таба білуге тәрбиелеу.

Сабақ форматы

Сабақтың түрі: Ертегі сабақ
Әдістер: Ой қозғау, бағытталған оқу, түртіп алу, кубизм, «жуан–жіңішке» сұрақтар
Пәнаралық байланыс: Әдебиет

Көрнекіліктер

Нақыл сөздер
Кесте
Кубик
Шахмат

I. Қызығушылықты ояту

Ұйымдастыру

Сәлемдесу.
Тренинг: «3 санының еселігі». 20-ға дейін саналады; 3-тің еселіктерінің орнына «еселік» деп айтылады (1, 2, «еселік», 4, 5, «еселік», т.с.с.).
Оқушыларды түгендеу.
Үй тапсырмасын тексеру: №210.

Ой қозғау: қысқа қайталау

Арифметикалық прогрессия

Анықтамасы.
Айырымын табу тәсілі.
n-ші мүшесінің формуласы.
Алғашқы n мүшесінің қосындысы.

Геометриялық прогрессия

Анықтамасы.
Еселігін (q) табу тәсілі.
n-ші мүшесінің формуласы.

II. Мағынаны тану

«Шахмат ойыны» аңызы арқылы түсіндіру

Шахмат — көне замандардан келе жатқан ойын. Ол туралы көптеген аңыз бар. Сол аңыздардың бірі бүгінгі тақырыппен тікелей байланысты: өсудің «екі есе арту» үлгісі — геометриялық прогрессия.

Қатысушылар

Шерам — үнді патшасы
Сета — шахматты ойлап тапқан өнерпаз
Уәзір

Көріністің негізгі түйіні

Сета сыйлық ретінде шахмат тақтасының 1-көзіне 1 бидай, 2-көзіне 2 бидай, 3-көзіне 4 бидай, әрі қарай әр көзге алдыңғысынан екі есе көп бидай сұрайды. Патша оны «болмашы тілек» деп ойлайды, бірақ нақты есеп бұл мөлшердің орасан үлкен екенін көрсетеді.

Есеп 1

3; 9; 27; … геометриялық прогрессиясының 5-мүшесін табыңдар.

Ескерту: мәтіндегі «29» — қате жазылған. Геометриялық прогрессияның үлгісіне сай бұл жерде 27 болуы тиіс.

Есеп 2

Геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі 5, еселігі 1/3. 9-мүшесін табыңдар.

Бағытталған оқу: негізгі формула

Оқиғаның немен аяқталатынын түсіну үшін геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын табуды меңгеру қажет. Бұл үшін екі формула қолданылады; төменде ең жиі қолданылатын түрі берілген.

Егер q ≠ 1 болса

S_n = b₁ (qⁿ − 1) / (q − 1)

Мұнда b₁ — бірінші мүше, q — еселік, n — мүшелер саны.

Негізгі есеп: 64 ұяшық және бидай

1; 2; 4; 8; … геометриялық прогрессиясының алғашқы 64 мүшесінің қосындысын табыңдар.

Берілгені

b₁ = 1
q = 2
n = 64

Табу керек

S₆₄

S64 = 1(2^64 − 1) / (2 − 1)
S64 = 2^64 − 1
S64 = 18446744073709551615

Оқылуы

18 квинтиллион 446 квадриллион 744 триллион 73 миллиард 709 миллион 551 мың 615.

Масштабты бағалау

Шамамен 10 дән ≈ 1 грамм деп алсақ, бұл 1844674407370 тонна болады.

Қорытынды

Мұндай мөлшер патша қазынасына да ауыр тиеді: уәдені орындау іс жүзінде мүмкін емес. Математика «болмашы» көрінген тілектің шын бағасын ашады.

Түртіп алу: KWL кестесі

Жаңа тақырыпты бекіту үшін оқушылар кестені толтырады:

Білемін	Білдім	Білгім келеді
…	…	…

Кубизм: есептер арқылы бекіту

Кубтың әр қырына есептің нөмірі жазылады. Түскен қыр бойынша есеп шығарылады.

b₁ = 1/3, q = 3. Алғашқы 3 мүшенің қосындысын табыңдар.

b₁ = 2, q = 0.1. Алғашқы 3 мүшенің қосындысын табыңдар.

b₁ = 3, q = 4. Алғашқы 5 мүшенің қосындысын табыңдар.

b₁ = 10, q = 2. Алғашқы 6 мүшенің қосындысын табыңдар.

b₁ = 15, q = 2. Алғашқы 5 мүшенің қосындысын табыңдар.

b₁ = 256, q = 3/4. Алғашқы 5 мүшенің қосындысын табыңдар.

III. Толғаныс

«Жуан–жіңішке» сұрақтар

1-сұрақ

Еселігі 1-ден артық болғанда S_n формуласы қалай жазылады?

2-сұрақ

Еселігі 1-ден кіші болғанда S_n формуласы қалай қолданылады?

Үй тапсырмасы

№222

Қорытынды

Сабақтың негізгі идеясы — геометриялық прогрессия қосындысы формуласы арқылы тез есептеу ғана емес, сондай-ақ өте үлкен сандардың шынайы ауқымын бағалау. Дәл осы бағалау күнделікті өмірдегі «мүмкін» мен «мүмкін емес» шегін нақтылауға көмектеседі.