Тригонометриялық теңдеулерді шешу
Сабақтың мазмұны
Бұл сабақта тригонометриялық теңдеулерді шешудің жолдары мен әртүрлі әдістері қарастырылады. Оқушыларды теңдеулерді шешуге қажетті формулаларды тиімді пайдалануға, шешімді толық әрі дұрыс жазуға дағдыландыру көзделеді. Сонымен қатар алған білімі мен дағдыларын практикада қолдана білу қабілеті қалыптастырылады.
Мақсаттар
- Тригонометриялық теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдерін жүйелеу және салыстыру.
- Формулаларды орынды қолдану арқылы есеп шығару жылдамдығы мен дәлдігін арттыру.
- Шешімдерді толық жазу мәдениетін қалыптастыру (периодтылықты, бүтін сандар жиынын көрсету).
- Теорияны практикалық есептерде қолдану дағдысын дамыту.
Көрнекіліктер мен құралдар
Сабақтың барысы
- Ұйымдастыру жұмысы.
- «Тригонометрия» лото ойыны.
- sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a теңдеулерінің жалпы шешім формулалары.
- Ауызша есептер.
- Сыныпта есептер шығару (оқулықпен жұмыс).
- Үй тапсырмасы.
- Қорытындылау.
Қайталау: функция қасиеттері мен негізгі формулалар
Есептерді тиімді шығару үшін тригонометриялық функциялардың периодтылығы, жұп-тақтығы, таңба аймақтары және негізгі тепе-теңдіктер қайта еске түсіріледі. Әсіресе sin²x + cos²x = 1 формуласы, қосындыны көбейтіндіге түрлендіру және дәрежені төмендету формулалары жиі қолданылады.
Негізгі теңдеулер: жалпы шешім идеясын бекіту
Теңдеулер
- sin x = a
- cos x = a
- tg x = a
- ctg x = a
Назар аударатын тұстар
- Жалпы шешімде n ∈ ℤ (бүтін сандар) міндетті көрсетіледі.
- Период: sin, cos үшін 2π, ал tg, ctg үшін π.
- Мәндер облысы: |sin x| ≤ 1, |cos x| ≤ 1.
Ауызша тапсырмалар
Төмендегі теңдеулердің шешімдерін табыңдар (жалпы шешім түрінде жазыңдар):
Оқулықпен жұмыс: үлгі есептер
№113 (a)
Берілгені: sin(−6x) − sin(−4x) = 0. Тақ функция қасиетін қолданамыз: sin(−t) = −sin t.
sin(−6x) − sin(−4x) = 0
−sin 6x + sin 4x = 0
sin 4x − sin 6x = 0
2 sin(−x) cos 5x = 0
−2 sin x cos 5x = 0
⇒ sin x = 0 немесе cos 5x = 0
sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ ℤ
cos 5x = 0 ⇒ 5x = π/2 + πk ⇒ x = π/10 + (πk)/5, k ∈ ℤ
Жауабы: x = πn немесе x = π/10 + (πk)/5, мұнда n, k ∈ ℤ.
№115 (a)
Берілгені: 2sin²x − 3sin x + 1 = 0. Бұл — sin x-ке қатысты квадрат теңдеу.
u = sin x десек:
2u² − 3u + 1 = 0
(2u − 1)(u − 1) = 0
u₁ = 1, u₂ = 1/2
sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ ℤ
sin x = 1/2 ⇒ x = π/6 + 2πn немесе x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ
Жауабы: x = π/2 + 2πn, x = π/6 + 2πn немесе x = 5π/6 + 2πn, мұнда n ∈ ℤ.
Түрлендіру арқылы шешілетін теңдеулер (№123 a)
Берілгені: 2cos²x + 14cos x = 3sin²x. Мұнда sin²x = 1 − cos²x формуласын қолданамыз.
2cos²x + 14cos x = 3(1 − cos²x)
2cos²x + 14cos x = 3 − 3cos²x
5cos²x + 14cos x − 3 = 0
t = cos x десек:
5t² + 14t − 3 = 0
t₁ = 1/5, t₂ = −3
cos x = −3 шешімі жоқ (|cos x| ≤ 1).
cos x = 1/5 ⇒ x = arccos(1/5) + 2πn немесе x = 2π − arccos(1/5) + 2πn, n ∈ ℤ
Дәрежені төмендету арқылы шешілетін теңдеу (6-мысал)
Берілгені: cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2. Дәрежені төмендету формуласы: cos²t = (1 + cos 2t)/2.
cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2
(1 + cos 2x)/2 + (1 + cos 4x)/2 + (1 + cos 6x)/2 + (1 + cos 8x)/2 = 2
cos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0
(cos 2x + cos 8x) + (cos 4x + cos 6x) = 0
2cos 5x·cos 3x + 2cos 5x·cos x = 0
2cos 5x (cos 3x + cos x) = 0
cos 3x + cos x = 2cos 2x·cos x
⇒ 2cos 5x·cos 2x·cos x = 0
cos 5x = 0 немесе cos 2x = 0 немесе cos x = 0
cos 5x = 0 ⇒ 5x = π/2 + πn ⇒ x = π/10 + (πn)/5, n ∈ ℤ
cos 2x = 0 ⇒ 2x = π/2 + πn ⇒ x = π/4 + (πn)/2, n ∈ ℤ
cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ ℤ
Жауабы: x = π/10 + (πn)/5 немесе x = π/4 + (πn)/2 немесе x = π/2 + πn, мұнда n ∈ ℤ.
Үй тапсырмасы
§10 бойынша: №113 (ә, в), №115 (б, в), №117 (а, б).
Қорытынды
Сабақ барысында тригонометриялық теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдері қайталанып, оларды қолдану алгоритмдері есептер арқылы бекітіледі. Негізгі талап — шешімді жалпы түрінде сауатты рәсімдеу және формулаларды мақсатты қолдану.