Қазақша рефераттар

Геометриялық прогрессия

Сабақ туралы қысқаша мәлімет

9-сынып алгебра сабағының тақырыбы — геометриялық прогрессия. Сабақ жаңа білімді қалыптастыруға бағытталған және СКТ мүмкіндіктерін қолдану арқылы оқушылардың түсінуін тереңдетуді көздейді.

Сабақ түрі

Жаңа білімді қалыптастыру

Оқыту әдісі

СКТ, деңгейлік тапсырмалар

Көрнекіліктер

Плакат, интерактивті тақта

Негізгі өзек

Анықтама, еселік q, жалпы мүше формуласы

Сабақтың барысы

  1. I

    Ұйымдастыру

    Сыныптың дайындығын тексеру, сабақ мақсатын нақтылау.

  2. II

    Үй тапсырмасын тексеру

    §12. Арифметикалық прогрессияның алғашқы t мүшесінің қосындысы. Тапсырмалар: №247, №250, №253(2).

  3. III

    Жаңа тақырыпты меңгерту

    §13. Геометриялық прогрессия: анықтама, еселік q, жалпы мүшенің формуласы.

  4. IV

    Сабақты бекіту

    • №279(1–6) — ауызша
    • Қосымша мысалдар арқылы түсіндіру
  5. V

    Жаттығуларды орындау (сыныпта)

    №265(2–6), №266(3–6), №268(3–6), №272(3–6), №274(1), №275(3). Есептер нұсқаларға бөлініп, оқушылардың білім деңгейіне қарай беріледі.

  6. VI

    Үйге тапсырма

    Негізгі

    §13. Анықтама және жалпы мүшенің формуласы. №265(1), №266(1–2), №268(1–2), №272(1–2), №274(2), №275(1).

    Қосымша (ынталы оқушыларға)

    №286(1), №287, №289(2), №290.

  7. VII

    Қорытындылау

    §13 бойынша негізгі ұғымдарды жинақтау.

  8. VIII

    Бағалау

    Анықтаманы түсінуі, жалпы мүшенің формуласын қолдануы және есептерді шығару сапасы бойынша бағалау.

Назарда ұстайтын дағдылар

  • Еселік табу

    Көршілес мүшелер қатынасы арқылы: q = b₂ / b₁ (және ұқсас түрде q = b₃ / b₂).

  • Жалпы мүше

    Формуламен жұмыс: bₙ = b₁ · q^(n−1).

  • Терминдер

    b₁ — бірінші мүше, bₙ — n-ші мүше, q — еселік.

Геометриялық прогрессия: анықтама және негізгі формулалар

1) Анықтама

Геометриялық прогрессия — бірінші мүшесі b₁ ≠ 0 болатын және екінші мүшеден бастап әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшені нөлден өзге тұрақты санға көбейту арқылы алынатын сандық тізбек.

Мысалдар

  • 1, 2, 4, 8, …
  • 5, 25, 125, 625, …
  • 0.2, −0.6, 1.8, −5.4, …

2) Тану және жазылуы

Геометриялық прогрессияда көршілес мүшелердің қатынасы тұрақты: b₂/b₁ = b₃/b₂ = … = bₙ₊₁/bₙ = q.

Рекурентті формула

bₙ₊₁ = bₙ · q

Яғни әрбір келесі мүше алдыңғы мүшені q-ға көбейту арқылы табылады.

Жалпы мүшенің формуласы

bₙ = b₁ · q^(n−1)

Бұл формула b₁ мен q белгілі болғанда кез келген мүшені табуға мүмкіндік береді.

Мағынасы

  • Геометриялық прогрессия берілуі үшін b₁ және q берілуі жеткілікті (b₁ ≠ 0).
  • bₙ — b₁-ді q еселігінің (n−1) дәрежесіне көбейтуге тең.

3) Маңызды түйіндер

Тұрақты прогрессия

4, 4, 4, … тізбегін q = 1 болатын геометриялық прогрессия ретінде қарастыруға болады. Мұндай прогрессия тұрақты деп аталады.

Оң мүшелер шарттары

Егер b₁ > 0 және q > 0 болса, прогрессия мүшелері оң болады. Мысалы: 2, 8, 32, … (мұнда b₁=2, q=4).

4) Қасиеті

Егер барлық мүшелері оң болатын геометриялық прогрессия берілсе, онда қатарлас үш мүшенің ортаңғысы қалған екеуінің геометриялық орташасына тең:

bₙ₊₁ / bₙ = bₙ₊₂ / bₙ₊₁

Шығу тарихы: шахмат тақтасы туралы аңыз

Ежелгі дәуірлерден бастап адамзат арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың заңдылықтарын қолданған. Бұл туралы вавилондықтардың клинопись кестелерінде, ежелгі мысырлық және грек папирустарында көптеген мысалдар сақталған. Ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және қосындысын табуды білген. Архимед (б.з.б. III ғ.) аудандар мен көлемдерді есептеуде тізбектің бірнеше мүшелерінің қосындысын пайдаланған.

Еселігі 1-ден үлкен болғанда өсу неге жылдам?

Геометриялық прогрессияда q > 1 болса, мүшелер өте тез өседі. Мұны түсіндіретін әйгілі аңыз — шахмат ойыны туралы хикая.

Үнді патшасы Шерам шахмат ойынын ойлап тапқан өнертапқыш Сетаны марапаттауды ұсынады. Сета шахмат тақтасындағы 64 шаршыға дәнді былайша беруді сұрайды: бірінші шаршыға — 1 дән, екіншісіне — 2, үшіншісіне — 4, төртіншісіне — 8, әрі қарай әр шаршыға алдыңғысынан 2 есе көп. Алғашында бұл өтініш «тым болмашы» көрінгенімен, көп ұзамай патша қазынасының мұндай талапты көтере алмайтыны анықталады.

Сұралған қосынды

1 + 2 + 2² + … + 2⁶³

Нәтиже

18 446 744 073 709 551 615

Егер 1 пұт астықта шамамен 40 000 дән бар десек, онда бұл өтінішті орындау үшін 230 584 300 921 369 пұт астық қажет болады. Қазақстанда жылына орта есеппен 1 000 000 000 пұт астық жиналады деп есептесек, мұндай талапты орындау үшін 230 584 жыл еңбек ету керек еді.

Жылдам тексеру

Негізгі белгі

Қатарлас мүшелер қатынасы тұрақты болса, ол — геометриялық прогрессия.

Еселік

q = bₙ₊₁ / bₙ, мұнда bₙ ≠ 0.

Керек формула

bₙ = b₁ · q^(n−1)

Есептер: формуланы қолдану

Есеп 1

Берілгені: b₁ = 81, q = 1/3. Табу керек: b₇.

b₇ = b₁ · q⁶ = 81 · (1/3)⁶ = 81/729 = 1/9

Жауабы: b₇ = 1/9.

Есеп 2

Тізбек: 2/3, 2, 6, 18, 54, …. Табу керек: q және bₙ.

q = 2 ÷ (2/3) = 3

bₙ = b₁ · q^(n−1) = (2/3) · 3^(n−1) = 2 · 3^(n−2)

Жауабы: q = 3, bₙ = 2 · 3^(n−2).

Есеп 3

1/16 саны 16, 8, 4, … геометриялық прогрессиясының нешінші мүшесі екенін анықтаңдар.

b₁ = 16, q = 1/2

1/16 = 16 · (1/2)^(n−1)

(1/2)^8 = (1/2)^(n−1) ⇒ n−1 = 8 ⇒ n = 9

Жауабы: 9-мүше.

Есте сақтайтын формулалар

Еселік

q = bₙ₊₁ / bₙ

Рекурентті

bₙ₊₁ = bₙ · q

Жалпы мүше

bₙ = b₁ · q^(n−1)