Қазақша рефераттар

Функцияның туындысының табу амалы

Туынды есептеу тақырыбын пысықтау

Бұл сабақ туынды табу ережелерін қайталап, есептер шығару арқылы білімді бекітуге бағытталған. Тақырыпты жүйелі түрде пысықтау үшін сұрақ-жауап, деңгейлік тапсырмалар және сайыс элементтері қолданылады.

Сабақтың мақсаты

  • Есептер шығару арқылы тақырыпты тереңдетіп пысықтау.

Білімділік

Функцияны құра білу және күрделі функцияны элементар функцияларға жіктеу дағдыларын қалыптастыру; туынды табу ережелерін дұрыс қолдану машықтарын бекіту.

Дамытушылық

Есте сақтау, логикалық ойлау және жылдам есептеу қабілеттерін дамыту.

Тәрбиелік

Ұқыптылыққа, жауапкершілікке және мақсатқа жетуге тәрбиелеу.

Сабақ форматы

Сабақтың типі

Білімді қалыптастыру сабағы

Сабақтың түрі

Сайыс сабақ

Сабақтың әдістері

Түсіндірмелі, сұрақ-жауап, деңгейлеп оқыту

Көрнекіліктер

Слайд, тест, деңгейлік тапсырмалар

Сабақтың барысы

  1. I. Ұйымдастыру

    • Амандасу.
    • Оқушыларды түгелдеу.
    • Оқушылардың назарын сабаққа аудару.

  2. II. Үй тапсырмасын тексеру

    • Формулаларды қайталау және ауызша сұрау.
    • Сұрақ-жауап арқылы негізгі ұғымдарды бекіту.

Сұрақ-жауап (негізгі ұғымдар)

1) Қозғалыстағы дененің жүрген жолының уақыт бойынша алынған туындысы қандай шама?

a) жылдамдық b) үдеу c) қашықтық

Дұрыс жауап: жылдамдық.

2) Жылдамдықтың уақыт бойынша алынған туындысы қандай шама?

a) күш b) қуат c) үдеу

Дұрыс жауап: үдеу.

3) Туындының геометриялық мағынасы қандай?

a) функция графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті

b) функция графигіне жүргізілген жанама

c) туынды

Дұрыс жауап: жанума сызығының бұрыштық коэффициенті.

4) Туындының физикалық мағынасы қандай?

a) салмақ b) лездік жылдамдық c) тығыздық

Дұрыс жауап: лездік жылдамдық.

5) Функцияның туындысын табу амалы қалай аталады?

A) интегралдау B) өсімше C) дифференциалдау

Дұрыс жауап: дифференциалдау.

Экстремумды табу алгоритмі

Функцияның берілген кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін төмендегі қадамдар орындалады.

  1. 1-қадам

    ƒ′(x) туындысын табу.

  2. 2-қадам

    ƒ′(x) = 0 теңдеуін шешіп, сындық нүктелерді анықтау.

  3. 3-қадам

    Сындық нүктелердің берілген кесіндіге тиесілігін тексеру.

  4. 4-қадам

    Кесіндінің шеткі нүктелерінде және кесінді ішіндегі сындық нүктелерде функция мәнін есептеу.

  5. 5-қадам

    Алынған мәндерді салыстырып, ең үлкен және ең кіші мәндерді анықтау.

Мысал 1: кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мән

Берілгені: ƒ(x) = 2x3 − x2, [−1; 1] кесіндісі.

1) Туындысы

ƒ′(x) = 6x² − 2x

2) Сындық нүктелер

6x² − 2x = 0 ⟹ 2x(3x − 1)=0 ⟹ x=0, x=1/3

3–4) Кесіндідегі нүктелер және функция мәндері

x = −1

ƒ(−1)=−3

x = 0

ƒ(0)=0

x = 1/3

ƒ(1/3)=−1/27

x = 1

ƒ(1)=1

Ең кіші мән

ƒ(−1) = −3

Ең үлкен мән

ƒ(1) = 1

Мысал 2: кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мән

Берілгені: ƒ(x) = x3 + 3x, x ∈ [1/2; 2].

1) Туындысы

ƒ′(x) = 3x² + 3

2) Сындық нүктелер

ƒ′(x) = 3x² + 3 > 0 болғандықтан, берілген аралықта туынды нөлге тең болмайды. Демек, функция өседі және экстремумдар кесіндінің шеткі нүктелерінде болады.

Шеткі нүктелердегі мәндер

x = 1/2

ƒ(1/2)=13/8

x = 2

ƒ(2)=14

Ең кіші мән

x = 1/2 нүктесінде

Ең үлкен мән

x = 2 нүктесінде

Ескерту: бастапқы мәтіндегі бұл мысалда аралық пен есептеулерде сәйкессіздіктер болғандықтан, шешім логикасы түзетіліп, нәтижелер қайта есептелді.

Мысал 3: ең үлкен көлемді жәшік (қолданбалы есеп)

Қабырғасы a болатын квадрат қаңылтырдан табаны квадрат, төбесі ашық жәшік жасалады. Бұрыштарынан қабырғасы x болатын квадраттар қиылып алынады. Ең үлкен көлем алу үшін x қандай болуы керек?

Өлшемдер

  • Жәшік биіктігі: x
  • Табан қабырғасы: a − 2x
  • Анықталу облысы: x ∈ [0; a/2]

Көлем функциясы

V(x) = (a − 2x)² · x

V(x) = a²x − 4ax² + 4x³

Туынды және максимум

V′(x) = a² − 8ax + 12x²

V′(x)=0 ⟹ 12x² − 8ax + a² = 0 ⟹ x = a/6 немесе x = a/2

x = a/2 болғанда табан қабырғасы нөлге тең болып, көлем нөл болады. Сондықтан ең үлкен көлем x = a/6 мәнінде алынады.

Жауабы: x = a/6.

Бекіту есептері

№300, №301. Сынып 3 топқа бөлініп, тапсырмаларды орындайды.

Топтық жұмыс мақсаты: туындыны табу, сындық нүктелерді анықтау және функцияның ең үлкен/ең кіші мәндерін салыстыру дағдыларын бекіту.

Үй тапсырмасы

§ 22, № 302–306.