Арифметикалық прогрессия тақырыбына есептер шығару

Білімділік бағыты

Арифметикалық прогрессия тақырыбын пысықтау; n-ші мүшесінің формуласы мен алғашқы n мүшесінің қосындысы формулаларын қолдана отырып есептер шығара білуге дағдыландыру. Тақырып бойынша білім мен білікті тереңдету.

І. Сабақтың тақырыбы

ІІІ. Сабақтың типі

Пысықтау сабағы

IV. Көрнекілігі

Формулалар
Интерактивті тақта
Электронды оқулық материалдары

ІІ. Сабақтың мақсаты

Білімділік

Арифметикалық прогрессияны қайталау; n-ші мүшесі мен алғашқы n мүшесінің қосындысы формулаларын қолданып есеп шығару дағдысын қалыптастыру.

Дамытушылық

Өмірден прогрессияға мысалдар келтіре отырып, білім жетістіктерін жүйелі түрде арттыруға ынталандыру.

Тәрбиелік

Ұқыптылыққа, зеректікке, жылдам есептеуге және есеп шығару барысына белсенді қатысуға тәрбиелеу.

V. Сабақтың барысы

1) Ұйымдастыру кезеңі

1 минут

Сабаққа қажетті құралдарды дайындау, жұмыс тәртібін нақтылау.

2) Білімді тексеру (карточкалар)

Оқушылардың арифметикалық прогрессия бойынша алған білімдері мен біліктерін тексеру үшін карточкалық сұрақтарға жауап беріледі.

1-карточка

Арифметикалық прогрессияның анықтамасын айтып, мысал келтір.

2-карточка

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жаз.

3-карточка

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы формуласын жаз.

4-карточка

a_n = 5n + 3 тізбегінің арифметикалық прогрессия екенін дәлелде. Алғашқы бес мүшесін тап.

3) Сыныпта есептер шығару

Негізгі мақсат — формулаларды дұрыс қолдану, жүйе құру және нәтижені тексеру.

№383

Берілгендер бойынша a₁ және d табу

1) Шешуі

a₁ + a₁₀ = 12
a₁ + (a₁ + 9d) = 12  →  2a₁ + 9d = 12

a₈ − a₅ = 4
(a₁ + 7d) − (a₁ + 4d) = 4  →  3d = 4  →  d = 4/3

2a₁ + 9·(4/3) = 12  →  2a₁ + 12 = 12  →  a₁ = 0

Жауабы: a₁ = 0, d = 4/3.

2) Шешуі

a₅ + a₁₁ = −0,2
(a₁ + 4d) + (a₁ + 10d) = −0,2  →  2a₁ + 14d = −0,2

a₄ + a₁₀ = 2,6
(a₁ + 3d) + (a₁ + 9d) = 2,6  →  2a₁ + 12d = 2,6

Азайту: (2a₁ + 14d) − (2a₁ + 12d) = −0,2 − 2,6
2d = −2,8  →  d = −1,4

2a₁ + 12·(−1,4) = 2,6  →  2a₁ = 19,4  →  a₁ = 9,7

Жауабы: a₁ = 9,7, d = −1,4.

№389

Өспелі арифметикалық прогрессия

Берілгені

a₂ · a₅ = 52
a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = 34
Табу керек: a₂₀

aₙ = a₁ + (n − 1)d

a₂ = a₁ + d,  a₅ = a₁ + 4d
(a₁ + d)(a₁ + 4d) = 52

a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d) = 34
4a₁ + 10d = 34  →  2a₁ + 5d = 17  →  a₁ = (17 − 5d)/2

Қою арқылы: (a₁ + d)(a₁ + 4d) = 52  →  d = 3,  a₁ = 1

a₂₀ = a₁ + 19d = 1 + 57 = 58

Жауабы: 58.

№390

Тізбектің арифметикалық прогрессия екенін дәлелдеу

Тізбек

(a + x)², a² + x², (a − x)², …

Арифметикалық прогрессия үшін ортаңғы мүшесі көршілерінің арифметикалық ортасына тең:
a² + x² = ((a + x)² + (a − x)²) / 2

Тексеру:
(a + x)² + (a − x)²
= (a² + 2ax + x²) + (a² − 2ax + x²)
= 2a² + 2x²

(2a² + 2x²) / 2 = a² + x²  →  дәлелденді.

№429

S₄ және S₆ арқылы S₁₆ табу

Берілгені

S₄ = −28
S₆ = 58
Табу керек: S₁₆

Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n − 1)d)

S₄ = 4/2 · (2a₁ + 3d) = −28  →  2a₁ + 3d = −14
S₆ = 6/2 · (2a₁ + 5d) = 58   →  2a₁ + 5d = 58/3

Азайту:
(2a₁ + 5d) − (2a₁ + 3d) = 58/3 − (−14)
2d = 58/3 + 42/3 = 100/3  →  d = 50/3

2a₁ + 3·(50/3) = −14  →  2a₁ + 50 = −14  →  a₁ = −32

S₁₆ = 16/2 · (2a₁ + 15d)
= 8 · (2·(−32) + 15·(50/3))
= 8 · (−64 + 250)
= 8 · 186
= 1488

Жауабы: 1488.

№430

Бірнеше мүшенің қосындысы арқылы S₂₀ табу

Берілгені

a₆ + a₉ + a₁₂ + a₁₅ = 20. Табу керек: S₂₀.

a₆ + a₉ + a₁₂ + a₁₅
= (a₁ + 5d) + (a₁ + 8d) + (a₁ + 11d) + (a₁ + 14d)
= 4a₁ + 38d
= 20  →  2a₁ + 19d = 10

S₂₀ = 20/2 · (2a₁ + 19d) = 10 · 10 = 100

Жауабы: 100.

Үй жұмысы және қорытынды

Сабақты қорытындылау.
Оқушыларды бағалау.
Үй тапсырмасын беру (мұғалімнің жоспары бойынша).