Логарифмдік теңдеулер

«Логарифмдерді не үшін оқып-үйренеміз?»

11-сынып — өмір жолындағы ең жауапты кезең: мектеп бітіру жылы әрі математика курсының негізгі тарауларын аяқтап, қорытындылайтын уақыт. Төменгі сыныптарда біз сызықтық және квадраттық функцияларды, кері пропорционалдықты, тригонометриялық және көрсеткіштік функцияларды қарастырдық. Бүгін логарифмдік функциялар тарауын аяқтап, білімімізді жүйелейміз және қолданбалы мағынасын нақтылаймыз.

Білімділік мақсаты

Логарифм ұғымын және қасиеттерін жүйелеу, жалпылау.
Логарифмдік өрнектердің мәнін есептей білу.
Тақырыпты меңгеру деңгейін анықтау.
ҰБТ-ға дайындықты жалғастыру (тест, презентация, диктант, ауызша есеп).

Дамытушылық мақсаты

Танымдық қызығушылықты арттыру.
Логикалық ойлауды дамыту.
Алған білімді өмірде қолдануға үйрету.
Өз ойын анық жеткізіп, қорытынды жасай білуге дағдыландыру.

Тәрбиелік мақсаты

Топпен және жұппен жұмыс істеу дағдыларын күшейту.
Өзара көмек көрсетуге, қарым-қатынас мәдениетіне тәрбиелеу.
Зерттеушілік жұмысқа қызығушылықты арттыру.
Мақсатқа жетуде белсенділік танытып, түйінді мәселені шешуге ынталандыру.

Сабақтың форматы

Әдістері: Түсіндірмелі-иллюстративті, ізденіс-зерттеушілік, сөздік, практикалық.
Типі: Білім, білік, дағдыны жетілдіру сабағы.
Көрнекілігі: Мультимедиялық проектор, презентациялар, сабақтың эпиграфы, логарифмдік сызғыш.

I. Ұйымдастыру және мақсат қою

Сабақтың кіріспесі

Алдымен оқушылардың сабаққа дайындығы тексеріледі. Одан кейін мақсат айқындалып, логарифмдік функциялар тарауын қорытындылау басталады: анықтамаларды қайталау, қасиеттерді жүйелеу, есептеу дағдыларын бекіту және тесттік форматтағы тапсырмалар арқылы дайындықты жалғастыру.

II. Проблемалық сұрақ: логарифмдер бүгін не үшін керек?

Логарифмдерді XVI ғасырда күрделі есептеулерді жеңілдету үшін шотландиялық өнертапқыш Д. Непер ұсынған. Бұл ойдың мәнін Лапластың сөзі терең ашады:

«Логарифмдерді ойлап табу астрономдардың жұмысын жеңілдетіп, олардың өмірін ұзартты».

— П. С. Лаплас

Бір кездері логарифмдік сызғышы жоқ инженерді елестету қиын болатын. Кейін калькулятор, компьютер пайда болды. Дегенмен есептеу техникасының даму тарихында логарифм идеясының орны ерекше. Сондықтан негізгі сұрақ қайта оралады: қазіргі таңда логарифмдерді не үшін оқимыз? Математиканың көмегімен табиғатты және өз-өзіңді басқару мүмкін бе?

III. Жедел тексеріс: логарифмдік диктант

Логарифмдер тарауындағы есептерді сенімді шығару үшін логарифмдік функцияның анықтамасын, қасиеттерін және негізгі формулаларды нақты білу қажет. Төмендегі тұжырымдарға «иә» немесе «жоқ» деп жауап беріңіз.

1) y = log_ax функциясы кез келген x үшін анықталған.
2) y = log_ax үшін a > 0, a ≠ 1, x > 0.
3) Логарифмдік функцияның анықталу облысы — барлық нақты сандар жиыны.
4) Логарифмдік функцияның мәндерінің жиыны — барлық нақты сандар жиыны.
5) Логарифмдік функция — жұп функция.
6) Логарифмдік функция — тақ функция.
7) Егер a > 1 болса, y = log_ax — өспелі функция.
8) Егер 0 < a < 1 болса, y = log_ax — өспелі функция.
9) Логарифмдік функцияның (1; 0) нүктесінде экстремумы бар.
10) y = log_ax графигі Ox осімен қиылысады.
11) Логарифмдік функцияның графигі толықтай жоғарғы жарты жазықтықта жатады.
12) Логарифмдік функцияның графигі Ox осіне қатысты симметриялы.
13) Логарифмдік функцияның графигі I және IV ширектерде орналасқан.
14) y = log_ax графигі (1; 0) нүктесінде Ox осімен қиылысады.
15) Теріс санның логарифмі бар.

Өзін-өзі бағалау

Жауаптарды бір-біріңізбен өзара тексеріп, бағалау парағына белгілеңіз.

IV. Логарифм және табиғат

Логарифмдік спираль құпиясы

Жыртқыш құстардың жемтігіне тікелей емес, айнала ұшып жететінін жиі байқаймыз. Бұл қозғалыс кездейсоқ емес: зерттеулерге сүйенсек, олар логарифмдік спираль бойымен қозғалады. Америкалық ғалым Тукер қыран құстарды бақылап, жемтікке қарай шамамен 1,5 км радиустан бастап логарифмдік спираль траекториясын ұстанатынын көрсеткен.

Құстар басын шамамен 40°-қа бұрған кезде нысанды жақсырақ көреді, бірақ бұл ұшуды қиындатып, жылдамдықтың төмендеуіне әкеледі. Сондықтан олар жемтігіне қырын ұшып, шеңберлей отырып жақындайды — нәтижесінде логарифмдік спираль пайда болады.

Табиғаттағы спиральдер

Қоршаған ортаның көптеген заңдылықтарын ашуда математиканың орны ерекше. Кейбір құбылыстарды логарифмдік тәуелділік арқылы сипаттауға болады. Мысалы, ғарыштағы Құс жолының пішіні логарифмдік спиральге ұқсайды. Табиғатта спираль формасы ұлу қабығында, арқардың мүйізінде, өрмекшінің тор құрылымында да кездеседі.

Мұндай спиральдерді кейде тірі ағзаның өсуі мен өмір сүру ұзақтығының математикалық символы ретінде де түсіндіруге болады.

V. Логарифмнің қасиеттері: есеп шығарудың өзегі

Логарифмдер бойынша есептерді шешудің кілті — негізгі логарифмдік тепе-теңдікті және логарифм қасиеттерін дұрыс қолдану. Бұл бөлімде білімді бекітуге бағытталған жұмыс түрлері ұсынылады:

1) Қатесін тап

Қате түрлендірулерді анықтап, дұрыс жолын дәлелдеңіз.

2) Өзіңді тексер

Қысқа тапсырмалар арқылы негізгі қасиеттерді жылдам қайталаңыз.

3) «Математикалық дартс»

Жылдамдық пен дәлдікке арналған ойын формасындағы есептер.

VI. Логарифм және музыка

Математика мен музыка — мектепте екі түрлі пән болып көрінгенімен, олардың арасында терең байланыс бар. Музыка тыңдағанда біз дыбыстар әлеміне енеміз, ал есеп шығарғанда — сандар тәртібіне бағынамыз. Алайда дыбыс биіктігі (жиілік) заңдылықтары көбіне математикалық қатынастар арқылы түсіндіріледі.

Октава және 2 еселеу

Пианинода бір октава жоғарылаған сайын жиілік 2 есе артады. Мысалы, екінші октаваның «до» нотасының жиілігі бірінші октаваның «до» нотасынан 2 есе үлкен, ал үшінші октаваның «до» нотасы бірінші октавадан 4 есе үлкен. Яғни дыбыстар қатары екілік қатынастармен өрнектеледі — бұл логарифмдік ойлауға жақын құрылым.

Музыканттар математиканы тікелей ұната бермеуі мүмкін, бірақ олардың кәсіби әлемі өлшем, қатынас және дәлдік арқылы математикамен тығыз байланысады.

VII. Логарифмдік теңдеулер: әдістерді жүйелеу

Келесі маңызды міндет — логарифмдік теңдеулерді шешу тәсілдерін жүйелеу. Бастауыштан бастап «белгісізді қалай табамыз?» деген сұрақ барлық тақырыпта қайталанып отырады. 11 жыл ішінде әртүрлі теңдеулер түрлерімен таныстық.

Қандай теңдеулерді білеміз?

1.Сызықтық теңдеу
2.Бөлшек-рационал теңдеу
3.Иррационал теңдеу
4.Тригонометриялық теңдеу
5.Көрсеткіштік теңдеу
6.Логарифмдік теңдеу

Логарифмдік теңдеу дегеніміз не?

Айнымалысы логарифм таңбасының астында берілген теңдеу логарифмдік теңдеу деп аталады.

Шешу тәсілдері

Потенциалдау әдісі
Бір негізге көшу әдісі
Мүшелеп логарифмдеу
Жаңа айнымалы енгізу
Негізгі логарифмдік тепе-теңдікті қолдану