Жай сандар туралы
Мазмұны
Бөлімдер
- I Кіріспе
- II Негізгі бөлім
- III Қорытынды
- IV Пайдаланған әдебиеттер
- V Қосымшалар
Негізгі тақырыптар
- Жай сандар туралы
- Кемел сандар
- Достас сандар
- Егіз сандар
- Палиндромдар мен репюниттер
Кіріспе
Әлемді сандарсыз елестету мүмкін бе? Сан ұғымының пайда болуы — адамзат ақыл-ойының жарқын жетістігі. Шынында да, біз сандар арқылы өлшейміз, салыстырамыз, есептейміз; сонымен бірге сурет саламыз, сызба жасаймыз, ойын ойнаймыз, пайымдаймыз және қорытынды шығарамыз.
Сан — математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Ол алғашқы қоғамдарда-ақ қалыптасып, уақыт өте қолданылу аясы кеңейіп, мағынасы тереңдей түсті. Алдымен заттарды санауға байланысты бүтін оң (натурал) сандар ұғымы пайда болды, кейін натурал сандар қатарының (1, 2, 3, 4, …) шексіздігі туралы идея қалыптасты.
Сан ұғымының кеңеюі
- Бөлшек сандар — ұзындықты өлшеу, ауданды табу және үлесті бөлу қажеттілігінен енгізілді.
- Теріс сандар — алгебраның дамуына, есеп шығарудың жалпы тәсілдерінің қалыптасуына байланысты пайда болды.
- Рационал сандар — бүтін, бөлшек (оң және теріс) және нөл сандарының жиынтығы.
- Нақты сандар — айнымалы шамалардың шексіз өзгерісін зерттеу қажеттілігінен кеңейді.
- Иррационал сандар — шамалардың қатынасын дәлірек өрнектеуге талпыныстан туындады.
- Жорамал (кешенді) сандар — XVI ғасырда квадрат және куб теңдеулерді шешу барысында енгізілді.
Пайда болу уақыты бойынша ең ежелгісі — натурал сандар. Біз бастауыш сыныпта тақ және жұп сандармен таныстық, ал 5-сыныпта математика курсында жай және құрама сандар ұғымы енгізіледі. Алайда натурал сандар арасында кемел сандар, достас сандар, палиндромдар сияқты қызықты түрлер де бар — олар мектеп бағдарламасында көбіне кеңінен қарастырылмайды.
Алдымен жай сандардан бастайық: егер оларды барлық натурал сандар тұрғызылатын кірпіштер десек, сол «кірпіштермен» таңғажайып сандардан құралған тұтас бір «қамал» тұрғызуға болады.
Негізгі бөлім
Жай сандар туралы
«Бұл жай сандар деген соншалықты жай ма?» деген сұрақ еріксіз туындайды. Екі ғана бөлгіші бар сандар — жай сандар деп аталады. Яғни олардың бөлгіштері: 1 және сол санның өзі.
Ең кіші жай сан — 2. Ол — жалғыз жұп жай сан.
Енді шағын зерттеу жасайық: натурал сандарды жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазып көрейік. Мысалы:
- 12 = 2 · 2 · 3
- 18 = 2 · 3 · 3
- 140 = 2 · 2 · 5 · 7
Осыдан жай сандардың математикадағы рөлі айқын көрінеді: олар — көбейту арқылы барлық басқа сандар құралатын негізгі «құрылыс материалдары».
Жай сандарды санауға бола ма?
Ежелгі грек математигі Евклид ең үлкен жай сан болмайтынын дәлелдеген. Демек, жай сандар шексіз көп.
Ең үлкен жай сан жоқ екенін білсек те, белгілі бір шекке дейін (мысалы, 1000-ға дейін) олардың тізімін құрастыруға болады. Бұл мәселе туралы біздің дәуірімізге дейінгі III ғасырда өмір сүрген александриялық ғалым Эратосфен ойланған.
Эратосфен туралы қысқаша
Эратосфен жан-жақты ғалым болған: ол математикамен қатар астрономия, география және тарихты да зерттеген. Белгілі әлемнің картасын және аспан денелерінің картасын жасаған, кібісе (високосный) жылды енгізудің қажеттілігін негіздеген. Ең маңызды жетістіктерінің бірі — Жердің өлшемін есептеп шығаруы.
Жай сандарды табудың тиімді тәсілдерінің бірі — Эратосфен елегі. Әдістің мағынасы: натурал сандар қатарынан құрама сандарды біртіндеп сызып тастау арқылы жай сандарды «сүзу».
Әдістің қадамдары
- 1 Алғашқы жай сан — 2. 2-ні қалдырып, 2-ге еселік сандарды сызамыз.
- 2 Келесі жай сан — 3. 3-ті қалдырып, 3-ке еселік сандарды сызамыз.
- 3 Осы әрекетті келесі жай сандар үшін де қайталаймыз.
Жай сандарды іздеу кейде өте көп есептеуді талап етеді. Мысалы, мыңдаған цифрдан тұратын жаңа жай сан табылған жағдайлар бар; оның жай сан екенін дәлелдеу үшін қуатты компьютердің өзіне де ұзақ уақыт қажет болады.
Жай сандарды табу оңай болмағандықтан, олар шифрлау жүйелерінде де қолданылады. Ал бұл жұмыста біз оларды басқа да таңғажайып сандарға апаратын кілт ретінде қарастырамыз.
Егіз сандар
Эратосфен торының (кестесінің) бір моделін құрғанда, кейбір заңдылықтарды байқауға болады. Мысалы, 5-тен бастап жай сандардың көпшілігі белгілі бір бағандарға жиі түседі деген байқаулар жасалады.
Анықтама
Егер екі жай санның айырмасы 2-ге тең болса, онда олар егіз сандар деп аталады.
Автор туралы
Мәди Бегенов атындағы жалпы білім беретін орта мектептің 5-сынып оқушысы — Жұмағалиев Ғалымжан.