Перпендикуляр және көлбеу
Геометрия (7-сынып)
Сабақ тақырыбы: Перпендикуляр түзулер. Перпендикуляр және көлбеу. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық
Сабақ түрі
Жаңа білімді игеру сабағы
Көрнекілігі
Сызбалар, карточкалар
Әдістері
Сұрақ-жауап, есептер шығару, баяндау
Сабақтың мақсаты
Білімдік
- Перпендикуляр түзулерді анықтайды, перпендикуляр белгісін (⟘) біледі және қолданады.
- Нүктеден түзуге түсірілген перпендикуляр, перпендикулярдың табаны, нүктеден түзуге дейінгі қашықтық ұғымдарын меңгереді.
Дамытушылық
- Ойлау қабілетін дамытады, салыстыруға және қорытынды жасауға баулиды.
- Байқағыштығын арттырады.
Тәрбиелік
- Өз бетінше жұмыс істеуге дағдыландырады.
- Пәнге қызығушылықты арттырады, тиянақтылық пен жылдам ойлауға үйретеді.
Сабақ барысы
Ұйымдастыру
- Сабақтың мақсаты мен өту барысын хабарлау.
- Жұмысқа ынталандыратын жағымды көңіл күй қалыптастыру.
Үй тапсырмасын тексеру
Өткен тақырыптар бойынша сұрақтар қойылып, қысқаша талдау жүргізіледі.
Жаңа сабақ: негізгі ұғымдар
Перпендикуляр, көлбеу және көлбеудің проекциясы ұғымдарын қарастырайық. AB және CD түзулері O нүктесінде қиылысып, бір-бірімен тік бұрыш жасасын (57-сурет). Онда ∠BOD = 90°. Ол жазыңқы бұрыштың жартысы болғандықтан, ∠DOA = 90°, ∠COB = 90°. Бұдан ∠AOC = 90° екені шығады. Бұл жағдайда AB және CD түзулері перпендикуляр болады.
Анықтама
Тік бұрыш жасап қиылысқан екі түзу перпендикуляр түзулер деп аталады. Түзулердің перпендикулярлығы ⟘ таңбасымен белгіленеді.
a ⟘ b жазуы: «a түзуі b түзуіне перпендикуляр» деп оқылады.
Сондықтан «AB түзуі CD түзуіне перпендикуляр» дегенді қысқаша AB ⟘ CD деп жазамыз.
Перпендикуляр түзулерде жатқан кесінділер мен сәулелер де перпендикуляр болады. Мысалы, 57-суреттегі сәйкес сәулелер және OE, ON кесінділері перпендикуляр деп есептеледі.
Теоремалар
1-теорема
Бір түзуге перпендикуляр екі түзу өзара параллель болады.
Дәлелдеу
a ⟘ c және c ⟘ b болатын a, b, c түзулері берілсін (58-сурет). Онда ∠1 = 90°, ∠2 = 90°. ∠1 мен ∠2 — ішкі тұстас бұрыштар, сондықтан ∠1 + ∠2 = 180°. Түзулердің параллельдік белгісі бойынша a ∥ b. Теорема дәлелденді.
2-теорема
Егер түзу параллель түзулердің біріне перпендикуляр болса, онда ол екіншісіне де перпендикуляр болады.
3-теорема
Түзудің әрбір нүктесі арқылы оған перпендикуляр тек бір ғана түзу жүргізуге болады.
Дәлелдеу
Берілген a түзуінің бойынан (59-сурет) кез келген O нүктесін алайық. a түзуі анықтайтын жарты жазықтықтардың бірінде OA сәулесінен бастап ∠AOC = 90° болатын бұрышты өлшейік. Онда OC ⟘ OA.
OC сәулесіне толықтауыш сәуле жүргізсек, перпендикуляр түзу анықталады, яғни b ⟘ a.
Енді O нүктесі арқылы өтетін және a түзуіне перпендикуляр b түзуі біреу-ақ екенін көрсетейік. Сол жарты жазықтықта тағы бір OC₁ сәулесі болып, OC₁ ⟘ OA делік. Онда ∠AOC₁ = 90°.
Бірақ бұрышты өлшеп салу аксиомасы бойынша берілген жарты жазықтықта OA сәулесінен бастап 90°-қа тең болатын бір ғана бұрышты ғана салуға болады. Демек, OC₁ сәулесі OC сәулесімен беттеседі, яғни перпендикуляр түзу жалғыз. Теорема дәлелденді.
4-теорема
a түзуден тыс жатқан нүкте арқылы осы түзуге перпендикуляр тек бір ғана түзу жүргізуге болады.
Дәлелдеу
a түзуі және одан тыс жатқан B нүктесі берілсін (60-сурет). B нүктесі арқылы a түзуіне параллель түзу жүргізейік.
Сондай-ақ B нүктесі арқылы осы параллель түзуге перпендикуляр түзу жүргіземіз. Онда ол түзу a түзуіне де перпендикуляр болады, яғни a түзуін A нүктесінде қиып өтеді.
Егер B нүктесі арқылы a түзуіне перпендикуляр тағы бір түзу бар десек, онда B арқылы a-ға перпендикуляр екі түрлі түзу өтеді. Бұл 3-теоремаға қайшы. Демек, мұндай түзу біреу-ақ. Теорема дәлелденді.
Перпендикуляр, көлбеу және қашықтық
Перпендикуляр
B нүктесінен a түзуіне түсірілген BA кесіндісі перпендикуляр деп аталады.
A нүктесі — BA перпендикулярының табаны.
Көлбеу
B нүктесінен a түзуіне жүргізілген BC кесіндісі көлбеу деп аталады.
C нүктесі — BC көлбеудің табаны.
Проекция және қашықтық
AC кесіндісі — BC көлбеудің a түзуіндегі проекциясы.
BA кесіндісінің ұзындығы B нүктесінен a түзуіне дейінгі қашықтық деп аталады.
Салдар
Параллель екі түзудің арақашықтығы олардың бірінің кез келген нүктесінен екіншісіне түсірілген перпендикулярдың ұзындығына тең.
Есептер шығару
Топтық жұмыс
Оқушыларды 4–5 топқа бөлу.
№120 есеп
a және b түзулерінің қиылысуынан пайда болған бұрыштардың үшеуі өзара тең. a ⟂ b екенін дәлелдеңдер.
Шешуі (бастамасы)
Қиылысқан a және b түзулері берілсін. Қиылысу кезінде пайда болған бұрыштардың үшеуін 1, 2 және 3 деп белгілейік. Шарт бойынша бұл бұрыштар өзара тең.