Сызықтық теңдеулер жүйелері

Сабақтың тақырыбы

Сызықтық теңдеулер жүйелері: Крамер әдісі, Гаусс әдісі және кері матрица әдісі арқылы шешу. Сонымен қатар, сызықтық бағдарламалау модельдерін құру негіздері.

Сабақтың мақсаты

Білімділік

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін үйрету.
Крамер, Гаусс және кері матрица әдістерімен жүйенің шешімдерін табуды меңгерту.
Сызықтық бағдарламалау есептеріне математикалық модель құруды көрсету.

Тәрбиелік

Ұйымшылдыққа, ұқыптылыққа және дәлдікке тәрбиелеу.

Дамытушылық

Ойды жүйелі жеткізу дағдысын және логикалық ойлауын дамыту.

Сабақтың типі

Жаңа сабақ.

Сабақтың түрі

Сын тұрғысынан ойлау стратегиялары, сұрақ-жауап, ойын элементтері.

Көрнекіліктер

Проектор, дербес компьютер, қосымша материалдар.

Сабақтың жүрісі

I.Ұйымдастыру
II.Үй тапсырмасын тексеру
III.Жаңа материалды түсіндіру
IV.Бекіту
V.Үйге тапсырма
VI.Бағалау

I. Ұйымдастыру

Студенттермен амандасу, қатысымды тексеру.
Сабаққа дайындықты бақылау, аудитория тазалығын қадағалау.
Сабақ құрылымымен таныстыру, топқа бөлу.

II. Үй тапсырмасын тексеру

Өткен тақырыптар бойынша ауызша сұрақтар және шағын жарыс тапсырмалары арқылы тексеріледі.

Қайталау сұрақтары

1. Матрицаның анықтамасы
2. Матрицалардың түрлері
3. Анықтауыштар және олардың қасиеттері
4. Матрицаға амалдар қолдану
5. Кері матрица
6. Матрицаның рангі
7. Үшбұрышты матрицалар әдісі

8. Матрицалық теңдеулер
9. Матрицалық теңдеулердің шешімін табу
10. Матрица нормасы
11. Кері матрицаны табу
12. Лаплас ережесі бойынша есеп шығару
13. Матрицаны санға көбейту
14. Екі матрицаның көбейтіндісінің шарттары
15. Матрицаларды бағдарламалық модельдеу бойынша есеп шығару

Жарыс тапсырмалары

Топтар тапсырмаларды кезекпен орындайды:

1-есеп

Матрицаны есептеу.

2-есеп

Кері матрицаны табу.

3-есеп

Матрицаның бағдарламалық моделін құру.

Жаңа материалды түсіндіру

Топтық жұмыс форматы

Студенттер бірнеше топқа бөлініп, алдын ала берілген тақырыптар бойынша қысқа баяндама жасап, негізгі тұжырымдарын қорғайды.

Сызықтық теңдеулер жүйесі
Крамер әдісімен шешу
Гаусс әдісімен шешу
Кері матрица әдісімен шешу
Сызықтық бағдарламалау моделі

Сызықтық теңдеулер жүйесі: маңызы мен қолданылуы

Қазіргі таңда алгебралық теңдеулер жүйесі қолданылмайтын ғылым саласы жоқ. Сызықтық теңдеулер жүйелері экономикадағы зерттеулерде, оптикалық есептерді модельдеуде және тәжірибелік есептерді шығаруда кеңінен қолданылады. Сондай-ақ сызықтық бағдарламалаудағы әмбебап симплекс әдісі көптеген жағдайда сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдеріне сүйенеді және айнымалылардың теріс емес мәндерін сақтауды талап етеді.

Негізгі түсініктер

Жалпы m сызықтық теңдеу және n белгісізі бар x₁, x₂, …, x_n жүйесі мына түрде беріледі:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Мұнда a_ij — белгісіздердің коэффициенттері, ал b_i — бос мүшелер (i = 1..m, j = 1..n). Индекстердің мағынасы: бірінші индекс — теңдеудің нөмірі, екінші индекс — белгісіздің нөмірі.

Шешім және бірлесімділік

Белгісіздердің мәндері жүйенің әр теңдеуіне қойылғанда теңдік орындалса, ол мәндер жүйенің шешімі деп аталады. Кемінде бір шешімі бар жүйе бірлесімді (үйлесімді) болады.

Анықталған және анықталмаған

Бірлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса — жүйе анықталған. Шешім болмаса — шешімсіз (үйлесімсіз) жүйе. Бірнеше шешімі болса — шешімдері көп жүйе.

Эквивалентті жүйелер және қарапайым түрлендірулер

Егер жүйелердің шешімдер жиыны бірдей болса, олар эквивалентті деп аталады. Қарапайым түрлендірулер жүйені эквивалентті жүйеге келтіреді:

1)0x₁ + … + 0x_n = 0 түріндегі нөлдік жолды алып тастау.
2)Теңдеулердің немесе теңдеудегі мүшелердің орнын ауыстыру.
3)Бір теңдеуді кез келген нақты санға көбейтіп, басқа теңдеуге қосу.
4)Басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясы болып табылатын теңдеуді жүйеден алып тастау.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің көптеген тәсілдері бар. Мектеп курсынан белгілі әдістер — орнына қою және алгебралық қосу. Жоғары оқу мен қолданбалы есептерде жүйені матрица түрінде жазып, Крамер, Гаусс, Жордан–Гаусс түрлендірулері сияқты әдістер жиі қолданылады.

Крамер әдісі

n айнымалысы бар n теңдеуден тұратын біртекті емес жүйе үшін қолданылады. Егер det(A) ≠ 0 (яғни, rang(A) = n) болса, жүйенің бір ғана шешімі бар.

Белгілеу: Δ = det(A), ал Δ_i — A матрицасының i-бағанын бос мүшелер бағанымен алмастырғанда алынған анықтауыш. Сонда: x_i = Δ_i/Δ.

Гаусс әдісі

Негізгі идея — қарапайым түрлендірулер арқылы жүйені баспалдақты түрге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп жою. Соңынан кері есептеу (back substitution) арқылы шешім табылады.

Кері матрица әдісі

Жүйені матрицалық түрде A·X = C деп жазып, егер A кері матрицаға ие болса, онда X = A⁻¹·C.

Қысқа мысалдар (формат)

Крамер әдісі (2 белгісіз)

Δ, Δ_x, Δ_y анықтауыштары есептеледі, содан соң x = Δ_x/Δ, y = Δ_y/Δ.

Мәтіндегі жауап үлгісі: (5; 2).

Гаусс әдісі (3 белгісіз)

Жүйе баспалдақты түрге келтіріледі: алдымен x₃, кейін x₂, соңында x₁ табылады.

Мәтіндегі жауап үлгісі: (1; 0; 1).

Кері матрица әдісі

A, X, C матрицалары жазылады да, X = A⁻¹·C формуласы қолданылады.

Мәтіндегі нәтиже үлгісі: x₁ = 27, x₂ = 43, x₃ = 0.

Ескерту: бастапқы мәтінде толық есеп шарттары мен аралық қадамдар толық берілмегендіктен, бұл бөлім әдістің орындалу логикасын көрсету үшін ықшамдалды.

Сызықтық бағдарламалау: модельдеу логикасы

Экономикалық есептерді математикалық әдістермен шешу бағыты математикалық бағдарламалау деп аталады. Мұнда рұқсат етілген жоспар (шешімдер жиыны) анықталып, белгілі бір критерий бойынша ең тиімді жоспар таңдалады.

Модель құрудың 2 кезеңі

1) Мақсатты функцияны анықтау (мысалы, пайда — максимум, шығын — минимум).
2) Шектеулер жүйесін жазу (ресурстар, технологиялық талаптар және т.б.). Көбіне теңсіздік/теңдік түрінде беріледі және айнымалылардың теріс емес болуы шарт.

Сызықтық бағдарламалау қашан болады?

Мақсатты функция сызықтық.
Шектеулер жүйесі сызықтық теңсіздік/теңдік түрінде.
Айнымалылар теріс емес: x ≥ 0.

Нәтиже ұғымдары

Айнымалылардың сандық мәндерінің жиынтығы жоспар деп аталады. Шектеулерді қанағаттандыратын жоспарлар ішінен мақсатты функцияны ең жақсы мәнге жеткізетіні оңтайлы жоспар болады.

Мысал: рацион құру есебі (сызықтық бағдарламалау)

Есеп шарты

Жеке малды жемдеуде күнделікті рационда қоректік заттардың ең төменгі мөлшері сақталуы тиіс: S1 ≥ 9, S2 ≥ 8, S3 ≥ 12. Екі түрлі жем қолданылады. 1 кг бағасы: бірінші түрі — 40 тг, екінші түрі — 60 тг.

Жем түрі	S1	S2	S3	Құны (тг/кг)
1-түр	3	1	1	40
2-түр	1	2	6	60

Белгісіздерді енгізу

x₁ — бірінші түрдегі жем мөлшері (кг),
x₂ — екінші түрдегі жем мөлшері (кг).

Теріс емес шарт: x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

Мақсатты функция

Рацион құнын минималдау:

f(x) = 40x₁ + 60x₂ → min

Ескерту: бастапқы мәтінде «40x₁ – 60x₂» деп берілген, бірақ шығынды модельдеуде әдетте құн қосынды түрінде жазылады.

Шектеулер жүйесі

Қоректік заттар бойынша ең төменгі талаптарды жазамыз:

3x1 + 1x2 ≥ 9   (S1)
1x1 + 2x2 ≥ 8   (S2)
1x1 + 6x2 ≥ 12  (S3)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Бекіту

1-тапсырма

f = 3x₁ + 4x₂ → min

2-тапсырма

f = 10x₁ + 14x₂ → min

3-тапсырма

f = x₁ + x₂ → max

Үйге тапсырма

f = x₁ + x₂ → max

Бағалау

Бағалау сабақ барысында орындалған тапсырмалар, топтық жұмысқа қатысу және сұрақ-жауаптағы белсенділік бойынша жүргізіледі.