Қазақша рефераттар

Арифметикалық прогрессияның анықтамасын тұжырымда

Сабақтың мазмұны

Сабақтың тақырыбы: Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы.

Мақсаты: Оқушыларды арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы формулаcымен таныстыру және оны қолдана отырып есептер шығара білуге үйрету. Жаңа тақырыпты меңгертуге жағдай жасау, білімді мысалдармен бекіту, қорытынды шығаруға дағдыландыру, ізденушілік пен шығармашылық қабілеттерін дамыту. Ойлау қабілетін және танымдық белсенділікті арттыру, ұйымшылдыққа, шапшаңдыққа, іскерлікке тәрбиелеу.

Сабақтың типі

Аралас сабақ

Сабақтың түрі

Дәстүрлі сабақ

Қолданылатын әдіс-тәсілдер

  • Түсіндірмелі әдіс
  • Сұрақ-жауап
  • Жеке жұмыс
  • Ішінара ізденушілік
  • Репродуктивті әдіс
  • Ой қозғау

Көрнекіліктер

Мультипроектор, слайдтар, нақыл сөздер, формулалар, ҰБТ есептері.

Сабақтың барысы

I

Ұйымдастыру кезеңі

Оқушылармен амандасу.

Психологиялық дайындық

Қазақ халқы — қонақжай халық. Үйімізге қонақ келсе, төрге шығарып, жылы шырай танытып, қолымыздағы барымызды ұсынамыз. Ендеше, бүгінгі сабақта да ерекше белсенділік танытып, қала мектептерінен келген қонақтарға сый-құрметімізді көрсетейік.

Кері байланыс үшін шығу парағын оқушыларға тарату.

II

Үй тапсырмасын тексеру

Үй тапсырмасының шығару жолы слайд арқылы көрсетіледі. Оқушылар өз жұмыстарын өзара тексереді.

№173

Берілгені: a3=25, a10=-3. Бірінші мүшені және айырымды табыңдар.

a10 - a3 = 7d ⟹ -3 - 25 = 7d ⟹ d = -4.

a3 = a1 + 2d ⟹ 25 = a1 - 8 ⟹ a1 = 33.

Жауабы: a1=33, d=-4.

№177 (ә)

Сұрақ: 30 саны -25; -19; ... арифметикалық прогрессиясының мүшесі бола ма?

a1=-25, a2=-19, сондықтан d=6.

an=a1+(n-1)d: 30=-25+6(n-1) ⟹ 30=-31+6n ⟹ 6n=61 ⟹ n=61/6.

Қорытынды: n∉N, демек 30 саны бұл арифметикалық прогрессияның мүшесі бола алмайды.

№177 (б)

Берілген сандар тізбегінің арифметикалық прогрессия болатынын/болмайтынын анықтап, a1 мен d-ны табу.

Есептің бұл бөлігі бастапқы мәтінде толық берілмегендіктен, сабақта мұғалім слайдтағы бірнеше тізбекті талдатып, әрқайсысы үшін d-ны айырма арқылы анықтауды ұйымдастырады.

III

Өткен тақырып бойынша білімді тексеру (ой қозғау)

  • Арифметикалық прогрессияның анықтамасын тұжырымдаңдар.
  • Арифметикалық прогрессияның айырымы дегеніміз не?
  • Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жазыңдар.

Өткен тақырып қысқаша қорытындыланады.

IV

Жаңа сабақты түсіндіру

Сабақтың айдары

«Адамзат үшін ХХI ғасыр жаңа технологиялардың ғасыры болмақ, ал осы жаңа технологияларды жүзеге асырып, өмірге енгізу, игеру және жетілдіру — бүгінгі мектеп оқушылары, сіздердің еншілеріңізде».

Н. Ә. Назарбаевтың оқушыларға жолдауынан

Алғашқы жүз натурал санның қосындысын қарастырайық: 1+2+3+...+98+99+100. Бұл қосындыны біртіндеп қосуға болады, бірақ көп уақыт кетеді. Сондықтан қысқа әрі тиімді тәсіл қажет.

Тиімді идея: жұптап қосу

Қосындыны өсу және кему ретімен жазып, мүшелерді жұптаймыз: 1+100, 2+99, 3+98, ... . Әр жұптың қосындысы 101-ге тең, ал жұптар саны 100.

1+2+...+100 = (101·100)/2 = 5050

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы

Қосындыны Sn деп белгілейік:

Sn = a1 + a2 + ... + an

Sn = an + an-1 + ... + a1

Екі теңдікті мүшелеп қоссақ: 2Sn = (a1+an) + (a2+an-1) + ...

Әр жұп a1+an-ге тең, жұп саны n: 2Sn = (a1+an)·n

Sn = ((a1+an)·n)/2

Теорема

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы шеткі мүшелерінің қосындысының жартысын барлық мүшелер санына көбейткенге тең.

Ескерту: an=a1+(n-1)d формуласын пайдаланып, қосындыны Sn = (n/2)·(2a1+(n-1)d) түрінде де жазуға болады. Бұл түрлендіруді оқушылар үйде өз бетімен дәлелдейді.

Мысал 1

1; 3,5; 6; ... арифметикалық прогрессиясының алғашқы 20 мүшесінің қосындысын табайық. Мұнда a1=1, d=2,5.

a20 = 1 + 2,5·(20-1) = 48,5

S20 = (20/2)·(1+48,5) = 10·49,5 = 495

Жауабы: 495.

Мысал 2

Егер a4=38, a10=68 болса, алғашқы 41 мүшесінің қосындысын табыңдар.

a4=a1+3d, a10=a1+9d ⟹ 6d=30 ⟹ d=5.

a1=38-3·5=23

a41=23+40·5=223

S41=(41/2)·(23+223)=5043

Жауабы: 5043.

Мысал 3

Егер a1=10, d=-1,5 және Sn = -200 болса, n және an-ді есептеңдер.

Бұл есепте Sn=(n/2)·(2a1+(n-1)d) формуласын қолданып, n табылады, содан кейін an=a1+(n-1)d арқылы соңғы мүше есептеледі.

Жауабы: n=25, a25=-26.

V

Жаңа сабақты бекіту (оқулықпен жұмыс)

Есеп: 103; 101; ...

a1=103, a2=101 ⟹ d=-2. Алғашқы 103 мүшесінің қосындысын табыңдар.

a103 = 103 - 2·(103-1)= -101

S103 = (103/2)·(103 + (-101)) = 103

Жауабы: 103.

№186

Егер a1=7, d=4, n=13 болса, an және Sn-ді табыңдар.

a13 = 7 + (13-1)·4 = 55

S13 = (13/2)·(7+55)=403

Жауабы: a13=55, S13=403.

№187

a1=10, d=4, an=50 берілген. n және Sn-ді табыңдар.

50 = 10 + (n-1)·4 ⟹ n=11

S11 = (11/2)·(10+50)=330

Жауабы: n=11, S11=330.

№190

4; 8; ... арифметикалық прогрессиясының қосындысы 112-ге тең болу үшін неше мүшесін алу керек?

Бастапқы мәтінде бұл есептің шешуі толық әрі бірізді жазылмаған. Сабақта есеп Sn=(n/2)(2a1+(n-1)d) формуласы арқылы теңдеу құрып шығарылады.

ҰБТ есептері (2018 жыл, 0013-нұсқа, №21)

Арифметикалық прогрессияның үшінші және сегізінші мүшелерінің қосындысы 14-ке тең, ал төртінші мүшесі жетінші мүшесінен 6-ға артық. Прогрессияның екінші және тоғызыншы мүшелерінің қосындысын табыңдар.

A) 17
B) 14
C) 16
D) 18
E) 15

Жауабы: B) 14.

Нақыл сөз

«Сен ешбір жаңа нәрсе меңгермеген және өзіңнің біліміңе ештеңе қоспаған күнді немесе сағатты босқа өтті деп сана».

Ян Амос Коменский

VI

Үй тапсырмасы

  • №185 (а)
  • №186 (ә, б)
  • №187 (ә)
  • №190 (ә)
  • №191 (ә)
  • Қосымша: Sn=(n/2)·(2a1+(n-1)d) формуласын дәлелдеу.

Шығу парағын (кері байланыс) мұғалімге тапсыру.

VII

Бағалау

Оқушылардың жұмысы сабақ бойындағы белсенділігі мен тапсырмаларды орындауына қарай бағаланады.