Квадрат теңдеудің анықтамасы
Квадрат теңдеулерді шешудің әртүрлі тәсілдері
Бұл сабақта квадрат теңдеулерді шешудің негізгі әдістері жүйеленеді: түбірлер формуласы, Виет теоремасы, іріктеп алу, қысқаша көбейту формулалары және рационал теңдеулерге қолдану. Сабақ мазмұны практикалық есептермен, ойын элементтерімен және тарихи-танымдық мәліметтермен толықтырылады.
Сабақтың мақсаты
- Білімділік: Виет теоремасын және квадрат теңдеудің түбірлер формулаларын қолданып есеп шығару; қысқаша көбейту теңбе-теңдіктері арқылы рационал теңдеулерді шешу; теңдеу құру тақырыбы бойынша білімді жүйелеу; логикалық есептерді орындау.
- Дамытушылық: өз бетімен жұмыс жасау дағдысын, ойлау қабілетін дамыту; ізденіске ынталандыру.
- Тәрбиелік: тәуелсіздіктің маңызын ұғындыру; Отанды, ана тілін сүюге тәрбиелеу; еңбекқорлыққа, тапқырлыққа және шапшаңдыққа баулу.
Көрнекіліктер мен құралдар
- Квадрат теңдеу тақырыбына арналған формулалар жинағы
- Деңгейлік тапсырмалар
- «Лото» ойыны (сыртында: 1991x² − 2011x + 20 = 0)
- Интерактивті тақта
- Магнитофон
Сабақтың әдістері
Пәнаралық байланыс: тарихпен, әдебиетпен және өмірлік жағдайлармен байланыстырылып жүргізіледі.
Сабақтың құрылымы
- 1 Өзектендіру: қызықтыру, ынталандыру, назар аударту
- 2 Қабылдау және еске түсіру: үй тапсырмасын тексеру
- 3 Ұғыну: жаңа білімді түсіндіру
- 4 Қолдану: бекіту, қорыту, бағалау
- 5 Игеру: үй тапсырмасын беру
Тірек сұрақтар
1) Квадрат теңдеудің анықтамасы
ax² + bx + c = 0 түріндегі, мұнда a ≠ 0 болатын теңдеу квадрат теңдеу деп аталады.
2) Квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы
Дискриминант: D = b² − 4ac. Түбірлер: x = (−b ± √D) / (2a).
3) Қанша түбірі болуы мүмкін?
D > 0 болса — 2 түбір; D = 0 болса — 1 (қос) түбір; D < 0 болса — нақты түбір жоқ.
4) Виет теоремасы
ax² + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлері x₁, x₂ болса: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a.
5) Толымсыз квадрат теңдеу
ax² + bx + c = 0 теңдеуінде b = 0 немесе c = 0 (немесе екеуі де) болатын жағдай толымсыз квадрат теңдеу деп аталады.
Жаттығулар: негізгі идеяны тез бекіту
A) Түбірлер арқылы теңдеу құру
Егер x₁ = 2, x₂ = 4 болса, квадрат теңдеу құрыңыз.
Жауабы
x² − 6x + 8 = 0
Ә) Іріктеп алу тәсілі
x² − 8x − 20 = 0 теңдеуінің түбірлерін табыңыз.
Жауабы
x₁ = 10, x₂ = −2
Б) Қосынды мен көбейтінді
x² − 8x − 20 = 0 теңдеуінің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін табыңыз.
Жауабы
x₁x₂ = −20, x₁ + x₂ = 8
«Лото» ойыны: жылдам есепте, заңдылықты тап
Үш топқа тапсырмалар беріледі. Әр тапсырманың жауабының сыртында мына теңдеу көрінеді: 1991x² − 2011x + 20 = 0.
Назар
Мақсат — жауаптарды сәйкестендіріп, соңында негізгі теңдеуді шешу.
Тапсырмалар үлгілері
-
x² + 5x = 0
x(x + 5) = 0 ⟹ x = 0 немесе x = −5
-
4x² − 64 = 0
4x² = 64 ⟹ x² = 16 ⟹ x = ±4
-
x² − 6x = 0
x(x − 6) = 0 ⟹ x = 0 немесе x = 6
Күрделірек мысалдар
-
3x² − 8x + 5 = 0
Дискриминант: D = 4
-
4x² + 4x + 1 = 0
Дискриминант: D = 0
-
4x² + 64 = 0
4x² = −64 ⟹ нақты түбір жоқ (∅)
-
5x² + 125 = 0
5x² = −125 ⟹ нақты түбір жоқ (∅)
Негізгі теңдеу: заңдылық арқылы тез шешу
Теңдеу
1991x² − 2011x + 20 = 0
Коэффициенттердің қосындысы: 1991 + (−2011) + 20 = 0. Егер a + b + c = 0 болса, онда бір түбір x₁ = 1. Екінші түбірді Виет теоремасымен табамыз: x₁x₂ = c/a ⟹ x₂ = (c/a)/x₁ = 20/1991.
Тарихпен байланыс: 1991, 2011 және 20
Сандардың мәні
2011 жыл — еліміздің тәуелсіздік алғанына 20 жыл толған кезеңмен сабақтастырылады. 1991 жыл — Қазақстан тәуелсіздікке бет бұрған тарихи белес ретінде қарастырылады.
Тәрбиелік ой
Тәуелсіздік — оңай келген жетістік емес. Ел тарихын құрметтеу, туған жерді сүю, білім арқылы қоғамға үлес қосу — сабақтың негізгі құндылықтық желілерінің бірі. Абайдың «Сен де бір кірпіш дүниеге, кетігін тап та бар, қалан» деген сөзі еңбектің, жауапкершіліктің және өз орныңды табудың мәнін айқындайды.
Коэффициент қасиеттеріне сүйеніп шешу
1) Егер a + b + c = 0
Онда x₁ = 1. Екінші түбір: x₂ = c/a (Виет теоремасы арқылы).
Идея: теңдеуді a-ға бөліп, Виет қатынастарын қолдану.
2) Егер a − b + c = 0
Бұл шарттан b = a + c шығады. Мұндайда түбірлердің бірі жиі x = −1 мәнімен байланысты болады; нақты шешімдеуге Виет теоремасы мен теңдеудің құрылымын талдау қолданылады.
Ескерту: бастапқы мәтінде бұл бөлім мысалдармен толықтыруды көздейді (Мысал 1–4), сондықтан сабақта нақты есептер арқылы бекітіледі.
Тарихи шолу: квадрат теңдеулер қалай шешілген?
Ежелгі деректер
Квадрат теңдеулерді шешу әдістері көне заманнан белгілі: вавилондық қолжазбаларда және Ежелгі Грекия математигі Евклид еңбектерінде кездеседі. Ежелгі математиктер квадрат теңдеулерді жиі геометриялық тәсілмен түсіндірген.
Геометриялық тәсіл (идея)
Мысалы, AB = x, BC = 5 деп алып, AC = AB + BC кесіндісіне шаршы салынады. Аудан түрлендіру арқылы (x + 5)² = 64 ⟹ x + 5 = 8 ⟹ x = 3 нәтижесі алынады.
«Лақтыру» әдісі (қысқаша түсінік)
Бұл тәсілде теңдеудің екі жағын белгілі бір көбейткішке (көбіне a) көбейтіп, жаңа айнымалы енгізу арқылы Виет теоремасына келтіріп шешу идеясы қолданылады. Сабақта әдіс нақты мысалдармен көрсетіледі.
Саралап, деңгейлеп оқыту: топтық тапсырмалар
I топ: теңдеу құру
Қаладан 180 км қашықтықтағы ауылға бір мезетте екі автомобиль шықты. Бірінші автомобиль екіншісінен 30 км/сағ жылдам болғандықтан, ауылға 1 сағат ерте жетті. Екі автомобильдің жылдамдығын табыңыз.
Белгілеу
v₂ = x, v₁ = x + 30
Нәтиже
Шешімі бойынша жарамды жылдамдықтар: v₁ = 90 км/сағ, v₂ = 60 км/сағ. Теріс түбір физикалық мағынаға сәйкес келмейді.
II топ: бөлшек теңдеулер
Бөлшек теңдеулерді шешуде анықталу облысын ескеріп, ортақ бөлімге келтіру, артық түбірді тексеру қадамдары бекітіледі.
Бұл бөлім бастапқы мәтінде жалпы бағыт ретінде берілген, нақты есептер сабақ материалымен толықтырылады.
III топ: квадрат теңдеулер
Мәтіндік және алгебралық есептерде түбірлер формуласы мен Виет теоремасын таңдап қолдану дағдысы дамытылады.
Қосымша сұрақ
x-тің қандай мәнінде x² − 11x + 31 өрнегінің мәні 1-ге тең болады?
Қорытынды және үй тапсырмасы
Үй тапсырмасы
- №213
- №201 (4, 5, 6)
- №202
Бағалау
Оқушылар жинаған ұпайлары бойынша бағаланады. Сабақтың негізгі идеясы — квадрат теңдеуді шешуде формуланы механикалық қолданумен қатар, коэффициенттердің қасиеттерін байқап, ең тиімді тәсілді таңдай білу.