Қазақша рефераттар

Иррационал емес теңдеулер

Иррационал теңдеулер

Бұл сабақта иррационал теңдеулердің анықтамасы, оларды шешудің негізгі тәсілдері және түрлендіру барысында пайда болатын бөгде түбірлерді анықтау жолдары қарастырылады.

Сабақтың мақсаты

  • Білімділік: иррационал теңдеу ұғымын меңгеру, шешудің әртүрлі әдістерімен танысу; бөгде түбір ұғымын түсіну және табылған түбірлерді міндетті түрде орнына қойып тексерудің маңызын ұғыну.
  • Дамытушылық: теңдеу шешуде логикалық ойлауды, талдау жасау қабілетін және есептеу дағдысын дамыту.
  • Тәрбиелік: тиімді әрі көркем шешу тәсілдерін көрсету арқылы математикалық эстетикалық талғам қалыптастыру.

Құрал-жабдықтар

  • Интерактивті тақта
  • Схемалар мен тірек-сызбалар
  • Есеп үлгілері
  • Түрлі түсті бор

Сабақ форматы мен әдістері

Сабақ түрі — жаңа білім беру. Қолданылатын әдістер: мысал арқылы түсіндіру, тірек-сызбаға сүйеніп баяндау, деңгейлік тапсырмалар, ауызша есеп, тест.

Сабақ құрылымы

  1. I. Ұйымдастыру
  2. II. Жаңа сабақты түсіндіру
  3. III. Бекіту: ауызша есеп, деңгейлік тапсырмалар, өз бетімен жұмыс, тест
  4. IV. Қорытындылау
  5. V. Бағалау
  6. VI. Үй тапсырмасы

Кіріспе және анықтама

Иррационал теңдеу деп айнымалысы түбір таңбасының ішінде болатын, сондай-ақ бөлшек көрсеткішті дәреженің негізі ретінде кездесетін теңдеуді айтамыз.

Иррационал теңдеулерге мысалдар

  • √(5x − 7) = −2
  • ∜(x + 3) = −2
  • 1 + √(x + 5) = 0

Мұндай теңдеулерді бірден талдау маңызды: арифметикалық түбірдің мәні теріс болмайды, сондықтан оң жақта теріс сан тұрған жағдайда теңдеудің шешімі жоқ.

Назар аударатын түйін

Иррационал теңдеулерді шешкенде жиі қолданылатын түрлендіру — екі жағын квадраттау (немесе басқа дәрежеге шығару). Бұл қадам бөгде түбір тудыруы мүмкін. Сондықтан табылған әр түбірді бастапқы теңдеуге қойып тексеру міндетті.

Иррационал теңдеулерді шешу тәсілдері

  1. 1) Теңдеуді шешудің қажеті бар-жоғын анықтау (шешімі жоқ жағдайларды бірден көру).
  2. 2) Айнымалының мүмкін мәндер жиынын (анықталу облысын) пайдалану: бөгде түбірді алдын ала шектеу немесе түбірді бірден табу.
  3. 3) Екі жағын бірдей дәрежеге шығару (көбіне квадраттау) әдісі.
  4. 4) Жаңа айнымалы енгізу әдісі.
  5. 5) Түйіндесіне (сопряженный өрнекке) көбейту әдісі.
  6. 6) Дәрежелік қосындыны пайдалану арқылы шешу.
  7. 7) Функцияның өспелі/кемімелі қасиеттеріне сүйену.
  8. 8) Тригонометриялық алмастыру енгізу әдісі (мектеп бағдарламасында толық қарастырылмауы мүмкін).
  9. 9) Векторлық әдіс (мектеп бағдарламасында толық қарастырылмауы мүмкін).

Негізгі тәсілдер бойынша үлгілер

1) «Шешудің қажеті жоқ» жағдайлар

Егер теңдеуде түбір өрнегі теріс санға теңестірілсе, онда теңдеудің шешімі болмайды, себебі арифметикалық түбірдің мәні теріс болмайды.

Мысал

√(5x − 7) = −2

Шешімі жоқ.

Мысал

∜(x + 3) = −2

Шешімі жоқ.

Мысал

1 + √(x + 5) = 0

Шешімі жоқ.

3) Екі жағын бірдей дәрежеге шығару (квадраттау)

Мысал A

√x + 2 = x

Екі жағын квадраттаймыз:

(√x + 2)2 = x2

x + 4√x + 4 = x2

Бұл жерде бөгде түбір шығуы мүмкін, сондықтан соңында міндетті түрде тексеріледі.

Мысал B (тексерудің маңызы)

√x + 2 = 2

Бұдан √x = 0, демек x = 0.

Тексеру: бастапқы теңдеуге қойғанда дұрыс болады, сондықтан шешім қабылданады.

Ескерту: бастапқы мәтіндегі кейбір түрлендірулер мен жазылымдар (индекстер, жақшалар, дәрежелер) бірізді берілмеген. Дегенмен негізгі идея өзгермейді: квадраттау (немесе кубтау) нәтижесінде бөгде түбір шығуы мүмкін және ол тексеру арқылы алынып тасталады.

4) Жаңа айнымалы енгізу

Егер теңдеуде бірдей құрылымды түбір өрнектері қайталанып тұрса, оларды жаңа айнымалымен белгілеу есепті ықшамдайды.

Үлгі идея

Мысалы, √(8x) жиі кездессе, √(8x) = y деп алып, алдымен y бойынша теңдеуді шешеміз, содан кейін x-ке қайта ораламыз.

5) Түйіндесіне көбейту

Кейбір теңдеулерде түбірі бар өрнекті түйіндесіне көбейту арқылы түбірден арылтып, ықшам теңдеуге келуге болады.

Мысал (идея)

2√(280 − x2) = x2 − 34

Мұндай теңдеулерде түрлендіру жасағанда да соңында тексеру қажет.

7) Функциялардың өсуі/кемуі арқылы шешу

Мысал

√(1 − 2x) = √(16 + x)

Анықталу облысы: 1 − 2x ≥ 0 және 16 + x ≥ 0. Егер айнымалы артқанда бір жақтағы функция кеміп, екінші жақтағы функция өссе (немесе керісінше), онда теңдеудің бір ғана шешімі болады.

Екі түбір тең болғандықтан, ішіндегі өрнектерді теңестіреміз:

1 − 2x = 16 + x

−3x = 15

x = −5

Табылған мән анықталу облысына сәйкес келсе, шешім ретінде қабылданады.

Ескерту: тригонометриялық алмастыру және векторлық әдіс сияқты келесі тәсілдер бұл сабақ шеңберінде толық қарастырылмайды.

Бекіту бөлімі

Ауызша есептер

Теңдеу Жауабы
√x = 3 x = 9
√x − 3 = 2 x = 25
∛x + 2 = 3 x = 1
∜x − 3 = 2 x = 625

Бастапқы мәтінде бұл бөлімдегі жауаптардың бір бөлігі сәйкес келмейді; мұнда есептердің стандартты шешімдері берілді.

Деңгейлік тапсырмалар

A деңгейі

3 + √(x + 3) = x

B деңгейі

∛x + √(6x) − 2 = 0

B деңгейі (қосымша)

√(x2) + 5x + 1 + 1 = 2x

C деңгейі

√(x + 6) + √(x + 1) = √(7x + 4)

Кеңес: екі жағын квадраттағанда аралық көбейтінділерге мұқият болыңыз және соңында түбірлерді тексеріңіз.

Өз бетімен жұмыс

№126

√x − √(x + 3) = 1

Қорытындылау және бағалау

Тест тапсырмалары

√45 − √(x − 3) = √20

  • A) 38
  • B) 8
  • C) жоқ
  • D) 28
  • E) 18

√(4 − x) · √(5 + x) = 3

  • A) −9
  • B) −5
  • C) −3
  • D) −7
  • E) −2

√(x + 0) = √45

  • A) 35
  • B) 5
  • C) 30
  • D) жоқ
  • E) 45

√(x + 3) + √(3x − 3) = 10

  • A) 9
  • B) 11
  • C) 1
  • D) 13
  • E) 12

√(1 − x2) = 2

  • A) 0
  • B) жоқ
  • C) −1
  • D) √5
  • E) 5

Бағалау және үй тапсырмасы

Оқушылардың жұмысы ауызша есеп, деңгейлік тапсырмалар, өз бетімен жұмыс және тест қорытындылары бойынша бағаланады. Үй тапсырмасы мұғалімнің жоспарына сәйкес беріледі.