Мұнда ақиқат сілтеме және ақиқат қорытынды
Импликация ұғымы
Импликация — a және b екі тұжырымнан құралатын жаңа тұжырым. Ол тек бір жағдайда, яғни a ақиқат болып, b жалған болғанда ғана жалған; қалған барлық жағдайларда ақиқат болады.
Белгіленуі: a → b немесе a ⟹ b
Оқылуы: «егер a, онда b» немесе «a-дан b шығады». Мұнда a — шарт (немесе алғышарт), ал b — салдар (қорытынды).
Ақиқаттық кесте
Импликацияның барлық мүмкін логикалық мәндері төмендегі ақиқаттық кестеде берілген.
| a | b | a → b |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Мысал
«Егер 12 саны 6-ға бөлінсе, онда ол 3-ке бөлінеді» тұжырымы ақиқат: мұнда алғышарт та, қорытынды да ақиқат.
Математикалық дәлелдеудегі рөлі
Импликация математикалық дәлелдеуде ерекше маңызды. Көптеген теоремалар қажетті және жеткілікті шарттар түрінде беріледі. Егер a ақиқат болып, әрі a → b импликациясының ақиқаттығы дәлелденсе, онда b салдардың да ақиқат екені қорытындыланады.
Неліктен бұл анықтама «табиғи емес» көрінуі мүмкін?
Логикалық амалдармен алғаш танысқанда, көбіне конъюнкция, дизъюнкция, терістеу сияқты амалдар интуицияға жақын болады. Ал импликацияда бір ерекше жағдай бар: a жалған болса, a → b әрқашан ақиқат болып саналады. Бұл кейде қабылдауға қиын көрінеді. Дегенмен мұндай анықтама «егер…, онда…» құрылымы математикада қалай қолданылатынымен жақсы үйлеседі.
Арифметикадан үлгі: 4-ке бөлінсе, 2-ге бөлінеді
Арифметикадан белгілі теореманы қарастырайық: «Егер x натурал саны 4-ке бөлінсе, онда ол 2-ге бөлінеді». Бұл айтылымның дұрыстығына күмән жоқ: қандай x мәнін алсақ та, ақиқат пікір аламыз.
Белгілеулер енгізейік:
- A(x): x натурал саны 4-ке бөлінеді
- B(x): x натурал саны 2-ге бөлінеді
Онда теорема: Q(x) = A(x) → B(x)
Бірнеше мән қойып көрейік
| x | A(x) | B(x) | A(x) → B(x) |
|---|---|---|---|
| 8 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 1 |
Бұл теорема дұрыс болғандықтан, A(x) → B(x) өрнегі 1 → 0 болатындай x мәнін табу мүмкін емес: яғни A(x) ақиқат болса, B(x) міндетті түрде ақиқат.
Шарт пен салдар әрқашан мазмұндық түрде байланысты ма?
Кәдімгі тілде «Егер A, онда B» сөйлемінде A мен B мағыналық жағынан байланысты сияқты көрінеді. Ал логикалық анықтамада мұндай байланыс міндетті шарт емес.
Парадоксқа ұқсас мысал
Мысалы, мына импликацияны қарастыруға болады:
Егер бүгін бейсенбі болса, онда 2×2 = 5.
Бұл тұжырым бейсенбі күні жалған (өйткені алғышарт ақиқат, қорытынды жалған), ал қалған күндері ақиқат (өйткені алғышарт жалған болғанда импликация ақиқат деп есептеледі).