Қажетті және жеткілікті шарттар.
Қажетті және жеткілікті шарттар
Теорема ұғымы «қажетті шарт» және «жеткілікті шарт» түсініктерімен тығыз байланысты. Сол сияқты, тура және кері теоремалар да көбіне «қажетті және жеткілікті шарт» ұғымын ашуға қызмет етеді. Мектеп математикасында осы шарттарды қамтитын тұжырымдар жиі ұшырасады.
Мысалдар (пішін: «Егер…, онда…»)
- Егер натурал сан жұп болса, онда ол 4-ке бөлінеді.
- Егер натурал сан 4-ке бөлінсе, онда ол жұп сан болады.
- Егер натурал сан 9-ға бөлінсе, онда оның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінеді.
- Егер натурал санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол сан 9-ға бөлінеді.
Сол тұжырымдардың мазмұндық қайта айтылуы
- Натурал санның жұп болуы үшін, оның 4-ке бөлінуі жеткілікті.
- Натурал санның 4-ке бөлінуі үшін, оның жұп болуы қажетті.
- Натурал санның 9-ға бөлінуі үшін, оның цифрларының қосындысының 9-ға бөлінуі қажетті және жеткілікті.
- Натурал сан цифрлары қосындысының 9-ға бөлінуі үшін, сол санның 9-ға бөлінуі қажетті және жеткілікті.
Негізгі анықтамалар
P ⇒ Q ақиқат болса, онда P – Q үшін жеткілікті шарт деп аталады.
Q ⇒ P ақиқат болса, онда P – Q үшін қажетті шарт деп аталады.
Егер екі бағыт та орындалса, яғни P ⇔ Q (сонымен бірге P ⇒ Q және Q ⇒ P), онда P шарты Q үшін қажетті және жеткілікті деп аталады (және керісінше).
Жеткілікті, бірақ міндетті емес
Шарт жеткілікті болып, бірақ қажетті болмауы мүмкін: бір нәтиже әртүрлі шарттардан да туындауы ықтимал. Мысалы, натурал санның жұп болуы үшін оның 4-ке де, 2-ге де, 6-ға да бөлінуі жеткілікті.
Қажетті, бірақ жеткіліксіз
Шарт қажетті болып, бірақ жеткілікті болмауы да мүмкін. Мысалы, натурал санның 4-ке бөлінуі үшін оның жұп болуы қажетті, бірақ жеткіліксіз: 10 жұп сан, алайда 4-ке бөлінбейді.
Тура және кері теоремалармен байланысы
Қажетті және жеткілікті шарттың болуы, әдетте, тура теорема мен оған кері теореманың екеуінің де дұрыстығын білдіреді. Керісінше, тура және кері теоремалардың дұрыстығын тексеру арқылы қажетті және жеткілікті шарттарды нақтылауға болады.
Мысалы, «Егер натурал санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол сан 9-ға бөлінеді» деген тұжырым (кері бағытпен бірге қарастырылғанда) қажетті және жеткілікті шарттың мәнін ашады.
Сипаттық (характеристикалық) қасиет: трапеция мысалы
Трапецияның белгілі анықтамасын алайық: «Трапеция деп қарама-қарсы екі қабырғасы параллель болатын төртбұрышты айтады». Осыдан трапецияға тән бірқатар қасиеттерді бөлуге болады:
1) Төрт төбесі бар
Бұл қасиет көптеген төртбұрыштарға ортақ.
2) Төрт бұрышы бар
Бұл да төртбұрыштардың жалпы белгісі.
3) Қарама-қарсы екі қабырғасы параллель
Осы белгі трапецияны басқа түрлерден айқын ажыратады.
Ұғымды дәл танытатын осындай ерекше белгі сипаттық (характеристикалық) қасиет деп аталады. Трапецияны мынадай түрде де нықтауға болады: «Екі қабырғасы өзара параллель болатын төртбұрыш қана трапеция болады». Яғни, «төртбұрыш болуы» және «екі қабырғасының параллельдігі» — трапецияны толық сипаттауға жеткілікті әрі қажетті белгілердің өзегін құрайды.
Белгі-теорема және қасиет-теорема
Белгілі бір ұғымды толық сипаттайтын қасиеттер көбіне сол ұғымға тән қасиеттердің кең тізімінен әртүрлі тәсілмен іріктеледі: бір бөлігі анықтаманың негізін құрайды, ал бір бөлігі теорема түрінде беріледі.
Ұғымның бар болуы үшін жеткілікті шартты білдіретін теоремалар белгі-теоремалар деп аталады. Ал ұғымның бар болуы үшін қажетті шартты білдіретін теоремалар қасиет-теоремалар деп аталады.
Жалпы түрде: егер A анықтамасымен берілген F фигурасы (объектісі) үшін A ⇒ B орындалатындай B қасиеті табылса, онда B — F-тің сипаттық қасиеті болады. Көп жағдайда сипаттық қасиетті жаңа анықтама ретінде де қабылдауға болады.
Үшбұрыш мысалы: жай қасиет пен анықтайтын белгі
«Тікбұрышты үшбұрыштың екі сүйір бұрышының қосындысы 90°-қа тең» деген теорема тікбұрышты үшбұрыштың белгілі бір қасиетін ғана көрсетеді.
Ал «Егер үшбұрыштың екі ішкі бұрышының қосындысы үшінші бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыш тікбұрышты болады» деген теорема — тікбұрышты үшбұрышты толық сипаттайтын белгі, яғни ондай үшбұрыштың бар болуын анықтайтын жеткілікті шарт ретінде қызмет етеді.
Қорытынды
Қажетті және жеткілікті шарттар есеп шығару барысында да жиі қолданылады. Сондықтан бұл ұғымдарды оқушылардың терең меңгеруіне мұғалімнің ерекше назар аударуы маңызды: олар теореманы дұрыс түсінуге, дәлел құруға және кері тұжырымның мәнін ажыратуға тікелей көмектеседі.