Функциялардың шегін есептеуге қажетті формулалар

Жоспар:
Кіріспе.
І бөлім. Функция ұғымы.
1.1. Функция ұғымы, функцияның берілу тәсілдері.
1.2. Функциялардың негізгі қасиеттері.
1.3. Негізгі элементар функциялар.
ІІ бөлім. Функцияның нүктедегі шегі.
2.1. Функцияның нүктедегі шегін есептеудің әдістері.
2.2. Функцияның шегін есептеуге қажетті формулалар.
ІІІ бөлім. Функцияның туындысы. Функцияны бірінші және екінші ретті
3.1. Өспелі, кемімелі, кемімейтін, өспейтін және тұрақты болып келетін
3.2. Функцияның экстремумы.
3.3. Функцияның графигін оның мінездік нүктелері арқылы салу.
Қорытынды.
Қолданылған әдебиет.
К І Р І С П Е
Мектеп математикасы курсындағы функция ұғымы негізгі ұғымдардың біріне жатады.
Функция ұғымы тек математикада ғана емес, басқа оқу пәндерінде
Табиғат құбылыстарын зерттеу жаратылыстану ғылымдарында кездесетін шамалар ұғымдарына алып
1. Өткізгіштің бойымен электр тогы жүргенде, өткізгіш температурасы өзгеріп,
2. Белгілі бір биіктіктен өз еркімен түсіп келе жатқан
Осындай мысалдарды көптеп келтіруге болады.
Анықтама. Егер бір белгілі ереже немесе заңдылық бойынша
т.б. (1)
жиынында өзгеретін айнымалы -ті тәуелсіз айнымалы немесе
І Бөлім
1.1. Функцияның берілу тәсілдері және оның негізгі қасиеттері.
Функциялар әр түрлі тәсілдер арқылы берілуі мүмкін. Біз функциялардың
1. Функцияның кестелік тәсілмен берілуі. Функция кестелік тәсілмен берілген
функциясы үшін кесте құрамыз:
...
...
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
15 8 3 0 -1 0 3 8 15
Берілген аргументтердің мәндері бойынша функцияның мәндерін анықтау біздерге қиын
2. Функцияның графиктік әдіспен берілуі.
Анықтама. қос сандар жиынын
нүктелер жиыны берілсін. осіне параллель түзулердің
1-СУРЕТ
Сонымен, абсциссалары – тәуелсіз айнымалы, ал ординаталары – функция
Бір мәнді функциясының графигі
2-СУРЕТ
қисығы - анықталу облысы болатын функцияның
3. Функцияның аналитикалық тәсілмен берілуі. Айнымалылар арасындағы сәйкестік формуламен
1) Тура пропорционалдық тәуелділік - , мұнда
2) Кері пропорционалдық тәуелділік - мұнда
3) Сызықтық функция - , мұнда
4) Көрсеткіштік функция - , мұнда
5) Логарифмдік функция - , мұнда
6) Дәрежелік функция - мұнда
7) Тригонометриялық функциялар - , мұнда
8) Кері тригонометриялық функциялар –
, мұнда - тәуелсіз айнымалы,
Міне, осы функциялардың барлығы – аналитикалық тәсілмен беріліп тұрған
Енді функциялардың негізгі қасиеттеріне тоқталайық.
1.2. Жұп және тақ функциялар.
Егер жиынында оның кез келген
Анықтама. Егер функциясының анықталу облысының кез
Анықтама. Егер функциясының анықталу облысының кез
Мысалы, - жұп функция, себебі:
Жұп функцияның графигі ордината осіне қарағанда симметриялы қисық болады.
Мысалы: 1. ; 2.
1. - жұп функция.
-2 -1 0 1 2
4 1 0 1 4
Енді осы нүктелерді координаталар жазықтығына түсірелік. Нүктелерді толқынды қисықпен
3-СУРЕТ
2. - тақ функция.
-2 -1 0 1 2
-8 -1 0 1 8
Осы нүктелерді координаттар жазықтығына түсіріп, оларды толқынды қисықпен қоссақ,
4-СУРЕТ
Тригонометриялық функциялардан - жұп функция, ал
Мысалы: а) ; б) ;
Шешуі: а) , олай болса,
б) , олай болса, ,
в) , яғни және
3. Бірсарынды функциялар.
функциясын аралығында қарастырайық.
Анықтама. Егер функциясының анықталу жиынындағы кез
Анықтама. Егер функциясының анықталу жиынындағы кез
Анықтама. Егер функциясының анықталу жиынындағы кез келген
Мысалы, және екі
5-СУРЕТ
Өспелі және кемімелі функцияларды және өспейтін функцияларды бірсарынды функциялар
4. Периодты функциялар.
Егер функциясының аргументі -ке
Мысалы: а) функциялары -
б) функциялары - периодты
1.3. Негізгі элементар функциялар.
Элементар функцияларға дәрежелік, көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық және кері тригонометриялық
1. Дәрежелік функция. түріндегі функция осылай
СУРЕТ
Осыған орай, кейде функциясының графигін
Көпмүшелер. Мынадай функция қарастырайық:
Көпмүше – дәрежелік функциялар мен тұрақты сандардың көбейтінділерінің қосындысы
0 4
4 2
( аргументіне 0 мен 4 мәндерін бердік
СУРЕТ
функциясының графигі болған жағдайда мынадай болады
7-СУРЕТ
болғанда нақты сандар жиынында анықталған, графигі
. болса, параболаның тармағы жоғары, ал
8-СУРЕТ
Бөлшек-рационал функция.
екі көпмүшенің қатынасы:
бөлшек-рационал функция деп аталады. Ол бөлімдегі көпмүше нөлге айналмайтын
2. Көрсеткіштік функция.
Көрсеткіштік функцияның графигі. формуласымен берілген функцияны
Анықтама. формуласымен берілген функция көрсеткіштік функция
Мысалы, функциялары – көрсеткіштік функциялар,
және болғандағы функциясына
1) .
-2 -1 0 1 2
1 2 4
9-СУРЕТ
2) .
-2 -1 0 1 2
4 2 1
10-СУРЕТ
үшін: 1) функцияның анықталу облысы – барлық нақты сандар
үшін: 1) функцияның анықталу облысы – барлық нақты сандар
3. Логарифмдік функция.
Санның логарифмінің ұғымы. көрсеткіштік функция берілсін
теңдеуін қарастырайық. болғанда теңдеудің түбірі болмайды.
Анықтама. оң санының бірден өзгеше, оң
Логарифмдік функцияның графигі. функциясы – бірсарынды.
11-СУРЕТ
және болғандағы функциясының
болғанда: 1) функцияның анықталу облысы – оң нақты сандар
болғанда: 1) функцияның анықталу облысы – оң нақты сандар
логарифмдік функциясының маңызды қасиеті – оның бүкіл анықталу облысында
Мысалы, функциясының анықталу облысын табайық. Шешуі:
. СУРЕТ
Жауабы: .
4. Тригонометриялық функциялар.
.
1. функциясы мәндерінің кестесін құрайық.
0
0
-1
Жазықтықта тік бұрышты координаталар жүйесін алайық (12-сурет). Координаттық жазықтықта
12-СУРЕТ
Графигі бойынша функциясының негізгі қасиеттерін атап
1) функциясы -ң барлық
2) функциясының мәндері
3) функциясы тақ функция:
4) функциясы периодты функция, периоды
5) интервалдарында функция оң таңбалы, ал
6) интервалдарында функциясы
2. функциясының графигі.
Графигі бойынша функциясының негізгі қасиеттерін де
1) функциясы -ң барлық
2) функциясының мәндері
3) функциясы жұп функция:
4) функциясы периодты функция, периоды
5) интервалдарында функция оң таңбалы, ал
6) интервалдарында функциясы
13-СУРЕТ
3. және функцияларының
және функциялары тақ функциялар, демек, олардың
Координаталық жазықтықта функциясы мәндеріне сәйкес нүктелерді
0
-1 0 1
Енді осы нүктелерді белгілеп, оларды қисық сызық арқылы қосып,
14-СУРЕТ
функциясының негізгі қасиеттері:
1) функциясы нүктелерінде
2) функциясы шенелмеген, оның мәндерінің жиыны
3) функциясы тақ функция, яғни тангенсоида
4) функциясы периодты функция
5) интервалында функциясы
6) нүктелерінде функциясының
Координаталық жазықтықта функциясы мәндеріне сәйкес нүктелерді
0
1 0 -1
Енді осы нүктелерді белгілеп, оларды қисық сызық арқылы қосып,
15-СУРЕТ
функциясының негізгі қасиеттері:
1) функциясы нүктелерінде
2) функциясы шенелмеген, мәндерінің жиыны -
3) функциясы периодты функция
4) интервалдарында функциясы
5) нүктелерінде функциясы
5. Кері тригонометриялық функциялар.
1. функциясы. функциясын
функциясына кері функция арксинус деп аталады да,
0
0
Координаталық жазықтықта функциясы мәндеріне сәйкес келетін
16-СУРЕТ
Мысал. өрнегін есептеу керек.
Шешуі. Кестедегі мәндер мен екенін ескерсек,
2. функциясы. функциясын
функциясының бірнеше мәндерін табайық. болғандықтан,
болғандықтан, болғандықтан, . Осы
-1
0
Осы мәндерге сәйкес нүктелерді координаталық жазықтықта белгілеп, оларды қисық
17-СУРЕТ
Графигі бойынша функциясының негізгі қасиеттерін атап
1) функцияның анықталу облысы сегменті;
2) функция мәндері облысы жиыны;
3) функциясы шенелген
3. және функциялары.
а) функциясын аралығында
функциясының бірнеше мәндерін есептейік. болғандықтан,
Осы мәндерге және функциясының басқа да
18-СУРЕТ
функциясының негізгі қасиеттерін атап өтейік:
1) анықталу облысы ;
2) мәндер облысы ;
3) тақ функция, графигі координаттар бас нүктесіне қатысты симметриялы;
4) аралығында бірсарынды өседі және шенелген
б) функциясын аралығында
функциясының кейбір мәндерін есептейік. болғандықтан,
19-СУРЕТ
Графигі бойынша функциясының қасиеттерін атап өтейік:
1) анықталу облысы жиыны, функция бірсарынды
2) мәндер облысы жиыны, функция шенелген
3) периодсыз функция, тақ та, жұп та емес.
Мысал. өрнегінің мәнін есептеу керек.
Шешуі:
болғандықтан, .
Күрделі функция ұғымы
функциясы берілсін. Тәуелсіз айнымалы , яғни
Мысалы: а) , ал .
ІІ Бөлім
Функцияның нүктедегі шегі.
Анықтама. Алдын-ала берілген саны бойынша
Берілген анықтаманы функцияның нүктедегі шегінің “ ” тілінде
20-СУРЕТ
2.1.Функция шегін есептеудің кейбір әдістері.
1.Келтіру әдісі. Функциялардың шектерін табу ережелері (қосындының, көбейтіндінің, бөлшектің
(1)
(2)
түріндегі шектерді пайдалануға негізделген.
(1) формуламен берілген шекті “бірінші тамаша шек”, (2) формуламен
немесе ;
;
;
;
;
.
Функцияның шегін есептеу негізінен осы формулалар арқылы орындалады және
1-мысал. Мынадай шекті табу керек: . Бұл
. Енді көбейтіндінің шегі туралы теореманы және тұрақты санды
.
Біз бұл арада екенін пайдаландық.
2-мысал. Мынадай функциясының
.
3-мысал. Шекті табыңыз: .
Біз алдымен функциясы мен
;
.
Осылардың негізінде .
4-мысал. .
Шек белгісінің астында тұрған функцияның негізі
.
5-мысал. .
Негіздегі және көрсеткіштегі функциялардың шегін табайық:
.
.
теріс сан болғандықтан, іздеп отырған шек келесідей түрде болады:
.
Егер болса, онда ,
өрнегі шығады. Ары қарай түрлендірулер 2-ші тамаша шектің құрамына
Осы өрнекті дәрежеге шығарайық:
.
Енді осы теңдіктің екі жағынан шек
Бұл теңдіктің оң жағындағы фигуралы жақшалардың ішіндегі шек
.
Теңдік функцияның шегі бар екендігін білдіреді.
Шынында да,
(4)
болса, онда бұл функцияның шегі
(5)
болса, онда нөлге тең болады.
Егер
(6)
(мұндағы ) теңдігі орындалса, онда қарастырып отырған
6-мысал. шегін есептеңіз.
Шек белгісінің астында тұрған функция көрсеткішінің
болғандықтан, анықталмағандығы шығады. Сондықтан, қарастырып отырған
.
2. Алмастыру әдісі.
Практикада өрнегін бірден немесе түрлендіру арқылы
7-мысал. Мынадай шекті табу керек: .
Түбірден құтылу мақсатында алмастыруын жасаймыз. Аргументтің
. Ал соңғы теңдіктің оң жағындағы шекті түрлендіру тәсілімен
.
Практикада алмастыруын қолданғаннан гөрі
8-мысал. Мынадай шекті табыңыз: .
Бұл мысалда иррационал өрнекті рационал өрнекпен ауыстыру арқылы алмастыру
.
9-мысал. Мынадай шекті табу керек: .
Енді тәуелсіз айнымалыны нөлге ұмтылдыру үшін көмекші белгісіз енгіземіз.
.
2.2.Функциялардың шегін есептеуге қажетті формулалар.
Түбірдің дәреже көрсеткіші жоғары болған сайын есептеу процесі қиындай
функциясы ұмтылғанда анықталмағандығын
1-теорема. Айталық, және
шарттарын қанағаттандырады.
(мұндағы мен -
Мынадай формуланы аламыз:
(1)
1-мысал. .
Шешуі: және функциялары
.
Осы көбейтінділерден:
болғандықтан, -ді есептеуіміз керек. Сонда:
. Сонымен, болғандықтан, ізделінді шекті (1)-ді
.
2-мысал. Мына шекті есептеңдер: .
Шешуі: нүктесінде және
Ескерту. Егер екендігі анықталса, онда
2-теорема. ( - кез
(4)
(5)
(6)
(7)
мұндағы және функциялары
(8)
онда
(9)
Теорема ( ) қос таңбамен алынып, жалпы жағдай
Дәлелдеу. және екімүшелерін,
формуласына сүйеніп, көбейткіштерге жіктейміз:
(10)
Бұл теңдіктерден ізделінді шектің мына шектерге байланыстылығы көрінеді:
және ,
(4), (5) шарттарын пайдалансақ:
(11)
Біз айырманы ғана қарастырып отырмыз, -ң орнына
(12)
(11) және (12) теңдіктерінен (9) формула алынады. Сонымен, теорема
(9) формуланы пайдаланып шек тапқанда, дәреже көрсеткішін ескермей, дәрежелердің
3-мысал. Мына шекті есептеу керек: .
Шешуі: -ң орнына 0-ді қойғанда
Бұл жіктеулерден: . Бізге керегі
.
Сонда (9) формула бойынша:
.
4-мысал. .
Мұнда -ң орнына 0-ді қойғанда
бұдан .
болғандықтан, ізделініп отырған шекті (9) формула бойынша табамыз. Сонда:
.
3-теорема. ( - кез
(13)
Егер мұндағы - бүтін оң және
3-теореманың дәлелдеуінің 2-теореманың дәлелдеуінен өзгешелігі – тек (10) формуланың
. (14)
5-мысал. шегін табу керек.
Бөлшектегі -ң орнына оның шектік мәні 0-ді
Бұдан .
болғандықтан, іздеп отырған шекті (13) формула бойынша табамыз. Сонда
.
6-мысал. шегін табыңдар.
Қарастырып отырған мысалымыз үшін (14), (15) шарттары мына түрде
.
Осыдан . Сондықтан, .
7-мысал. шегін есептеңдер.
Бөлшектің алымы мен бөліміндегі түбірлер астындағы өрнектердің тиісті қосындыларын
болады да, бұдан
Ал .
.
3.Келтіру әдісі.
Дәрежелердің не түбірлердің қосындысының қатынасынан шек табу формулаларын қорыту
1-мысал. шегін табу керек.
Бұл шекте түбір астында тұрған функциялардың айырмасын, яғни
.
Теңдіктің оң жағындағы бірінші шек үшін
орындалады. Осы жіктеуден: .
Сонда (4) формула бойынша:
Сонымен, ізделініп отырған шек мынадай болады:
.
2-мысал. .
Мұнда түбір астындағы өрнектердің айырмаларын нүктесінің
.
Теңдіктің оң жағындағы бірінші шек үшін ,
, ал .
ІІІ Бөлім. Функцияның туындысы. Функцияны бірінші және екінші ретті
Анықтама. жиынында өзгеретін
, (1)
мұндағы - аргумент -ке
(2)
Осы теңдікте аргумент өсімшесі нөлге ұмтылғандағы
. (3)
Егер осы айырымдық қатынастың -да тиянақты шегі
немесе . (4)
Функцияның туындысын табуды функцияны дифференциалдау деп атайды.
Төменде элементар функциялардың, күрделі функциялардың туындыларының кестесі және дифференциалдар
Элементар функциялардың туындылар кестесі
1 - тұрақты сан
2 - кез келген нақты сан
3
4 - иррационал сан
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Күрделі функциялардың туындылар кестесі
1 - кез келген нақты сан
2
3 - иррационал сан
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Дифференциалдар кестесі
1 - тұрақты сан
2 - кез келген нақты сан
3
4 - иррационал сан
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Туындыны есептеуде келесідей ережелерді ескеру қажет:
және функциялары берілсін.
1. Қосындының туындысы. .
2. Айырманың туындысы. .
3. Көбейтіндінің туындысы. .
4. Бөліндінің туындысы. .
Енді функцияның туындысын табуға бірнеше мысалдар келтірейік.
1-мысал. Функцияның туындысын табыңыз: .
Шешуі:
.
2-мысал. .
Шешуі: .
3-мысал. .
Шешуі: .
4-мысал. .
Шешуі: .
5-мысал. теңдеуін шешіңіз: .
Шешуі: .
3.1. Өспелі, кемімелі, кемімейтін, өспейтін және тұрақты болып келетін
Анықтама. Үзіліссіз функциясының анықталу облысында немесе
Анықтама. Үзіліссіз функциясы анықталу облысының немесе
Мысалдар. 1. , функциясының өспелі, кемімелі болу
а) болған жағдайдағы
21-СУРЕТ
Кез келген нүктелері үшін
б) болған жағдайдағы
22-СУРЕТ
Бұл жағдайда теңсіздігінен
Өспелі және кемімелі функцияларды қатаң бірсарынды функциялар деп те
Теорема. Егер дифференциалданатын функциясының туындысы
Теорема. Егер дифференциалданатын функциясының туындысы
Мысалы, функциясын алайық. Осы функцияның өспелі,
Шешуі: Функцияның бірінші ретті туындысын іздейміз:
.
Сонымен, аралығында кемімелі
Туындының геометриялық мағынасына сүйеніп, жоғарыдағы теоремаларды дәлелдеу қиын емес.
Бірінші теореманың дәлелдеуі. а) функцияның туындысы оң болатын аралықта
Екінші теореманы да осылай дәлелдеуге болады.
Теорема. Егер дифференциалданатын функциясының туындысы қайсыбір
Дәлелдеуі. Функцияның туындысы , онда осы аралықта
22-СУРЕТ
1-есеп. Функцияның өспелі және кемімелі аралықтарын табыңыз:
СУРЕТ
Функция кемімелі болуы үшін қажет. Сондықтан,
2-есеп. Функцияның өспелі және кемімелі аралықтарын табыңыз:
болғанда, яғни .
- кемиді,
және - өседі.
3.2.Функцияның экстремумы.
кесіндісінің ішкі нүктелерінде дифференциалданатын функциясы берілсін.
СУРЕТ
Функцияның анықталу облысынан нүктелерін алып, сол
Егер айнымалы нүктесінің -аймағында,
(1)
теңсіздігі орындалса, онда - функцияның
Егер айнымалы нүктесінің -аймағында,
(2)
теңсіздігі орындалса, онда - функцияның
Максимум және минимум мәндерін қабылдаған нүктелерде қисыққа жанамалар жүргізсек,
Функцияның максимум мәнін былай жазып көрсетуге болады:
Мысалдар. 1. функциясын алайық. Осы функция
22-СУРЕТ
2. нүктесі функциясының
23-СУРЕТ
Егер нүктесі дифференциалданатын
Мысал. функциясының сындық
Теорема. Егер нүктесі дифференциалданатын
1-есеп. функциясын экстремумға зерттеңіз.
Шешуі. Бірінші ретті туындысын табайық: . Функцияның
; . Сындық нүктелері
СУРЕТ
, яғни үшін туындының таңбасы оң.
, яғни үшін туындының таңбасы теріс.
сындық нүктеде туындының таңбасы “-”-тен “+”-ке қарай өзгереді.
Минимум нүктесі .
2-есеп. .
.
Олай болса, нүктесінде минимум бар.
- минимум нүктесі.
Егер функциясының және
Теорема. Егер функциясының туындысы
Мысал. 1. функциясын экстремумға зерттеңіз.
Шешуі: Функцияның бірінші ретті туындысын анықтаймыз. .
Сонымен, функцияның сындық нүктелері: .
Функцияның екінші ретті туындысын анықтаймыз: . Екінші
Демек, нүктелері функциясының
;
;
.
Функцияның дөңестігінің бағыттарын анықтау. Иілу нүктелері.
Анықтама. Егер үзіліссіз функциясының графигінің
СУРЕТ
Үзіліссіз функцияның дөңестігінің жоғары (төмен) бағытталуының анықтамасы бойынша,
Теорема. функциясының дөңестігі жоғары бағытталған аралығындағы
Теорема. функциясының дөңестігі төмен бағытталған аралығындағы
Жалпы, функциясының үщіліссіз бірінші және екінші
23-СУРЕТ
23-суретте функциясының графигі берілген. Аргумент
Анықтама. Қисықтың дөңестігінің жоғары және төмен немесе дөңестігінің төмен
Иілу нүктелерінде .
- иілу нүктелерінің абсциссалары. Иілу нүктелері:
. нүктесінде функцияның екінші ретті туындысының
Егер нүктесінің аймағында екінші ретті туынды
Мысалдар келтірейік. 1. функциясын экстремумге зерттеп,
Шешуі. Функцияның бірінші ретті туындысын іздейміз, .
Сонымен, сындық нүктелері: . Екінші ретті туындыны
Екінші ретті туындының сындық нүктелердегі мәндерінің таңбасы анықтайық,
Максимум нүктесі . Екінші сындық нүктеде
Демек, . Минимум нүктесі .
, функцияның екінші ретті туындысының нүктесінің
.
Демек, қисықтың дөңестігінің бағыты аралығында жоғары
.
Функцияның иілу нүктесі: .
Сонымен, функцияның максимум нүктесі , минимум нүктесі
3.3. Функцияның графигін оның мінездік нүктелері арқылы салу.
Функцияның мінездік нүктелері оның бірінші және екінші ретті туындылары
1-есеп. функциясын зерттеп, оның графигін мінездік
Шешуі: 1) берілген функциясының анықталу облысын
2) функцияның анықталу облысының шеткі нүктелеріндегі шектерін анықтаймыз:
3) берілген функциясы тақ функцияға да,
4) функцияның графигінің координат осьтерімен қиылысу нүктелерін анықтайық.
осыдан . Демек, функцияның графигі мына
5) функцияның өсу және кему аралықтарын анықтаймыз. Ол үшін
.
Сонда, ,
, егер . Осы аралықта функция өспелі.
6) функцияның экстремумдық мәндерін іздейміз. Ол үшін функцияның екінші
.
нүктесі максимум нүктесі де, ал нүктесі
.
Сонымен, максимум нүктесі , ал минимум нүктесі
7) функция графигінің дөңестігінің бағыттарын анықтаймыз: .
8) иілу нүктесін табайық. Иілу нүктесінде функцияның екінші ретті
.
Сонымен, иілу нүктесі .
9) функцияның мінездік нүктелеріндегі мәндерін координата жазықтығына орналастырып, функцияның
24-СУРЕТ
2-есеп. функциясын зерттеп, графигін салыңыз.
Шешуі: 1) функцияның анықталу облысы . Функция
2) функцияның анықталу облысының шеткі нүктелеріндегі шектерін анықтаймыз:
3) функция жұп та, тақ та емес.
4) қисықтың координат осьтерімен қиылысу нүктелерін іздейміз.
Сонымен, осін қиятын нүктелер:
5) функцияның өсу және кему аралықтарын іздейміз. Ол үшін
Сонда, , егер . Бұл
6) функцияның экстремумдық мәндерін анықтаймыз. Ол үшін функцияның екінші
- максимум нүктесі,
. - функцияның максимум мәні.
- минимум нүктесі,
. Сонда - функцияның минимум мәні.
7) қисықтың дөңестігінің бағыттарын анықтаймыз. Ол үшін функцияның екінші
аралығында дөңестік жоғары бағытталған. аралығында дөңестік
8) иілу нүктесін анықтайық. Иілу нүктесінде функцияның екінші ретті
9) алдыңғы мысалдағыдай, анықталған функцияның мінездік нүктелеріндегі мәндерін координат
25-СУРЕТ
3-есеп. функциясын зерттеп, графигін салыңыз.
Шешуі: 1) функцияның анықталу облысы , функция
2) функцияның анықталу облысының шеткі нүктелеріндегі шектік мәндерін анықтайық:
3) функция жұп функция, яғни , функция
4) қисық (функцияның графигі) ордината осін бір ғана нүктеде
5) функцияның өсу және кему аралықтарын анықтайық. Ол үшін
Егер болса, онда ,
6) функцияның экстремумы. Функцияның жалғыз сындық нүктесі бар, ол
7) қисық дөңестігінің бағыттарын анықтайық. Ол үшін функцияның екінші
Қисық дөңестігі жоғары бағытталу үшін теңсіздігі
Сонымен, интервалында қисық дөңестігі жоғары бағытталған,
8) иілу нүктелерін анықтайық. Иілу нүктесінде екінші ретті туынды
Иілу нүктелерінің ординаталарын табайық:
.
Функцияның жұп екендігін ескерсек, функцияның иілу нүктелері:
9) Функцияның мінездік нүктелеріндегі мәндерін координат жазықтығына орналастырып, функцияның
26-СУРЕТ




Ұқсас жұмыстар

---

Функцияның нүктедегі шегі

---

Математикалық талдау

---

Тамаша шектер

---

ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАРДЫҢ ҚОЛДАНУЛАРЫ. ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛДАР

---

Көп аргументті функциялардың интегралдық есептеулері

---

Еселі интегралдардың қолданулары

---

Комплекс айнымалы жалпы дәрежелік функция

---

Блоктарды орналастыру батырмалары

---

Элементар функцияларды дифференциалдау

---

Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру

---