Элементтің қатаңдық матрицасы

МАЗМҰНЫ
беті
Кіріспе……………………………………………………………………….......................4
I – Бөлім ҮШБҰРЫШТЫ ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ НЕГІЗГІ
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӨРНЕКТЕРІ МЕН АЛГОРИТМДЕРІ.....................5
1.1 Шекті элементтер әдісінің негізгі түсініктері....................................................................5
1.2 Үшбұрышты элементтің ығысу функциялары..................................................................6
1.3 Деформация мен кернеудің шекті элементтік өрнектері…………………...........……..8
1.4 Элементтің және жүйенің қатаңдық матрицаларын құру
II – Бөлім ЭЛЕМЕНТ ПЕН ЖҮЙЕНІҢ
ІС ЖҮЗІНДЕ ҚҰРУ.......................................................................................13
2.1 Жүйенің қатаңдық матрицасын құрудың
2.2 Жүйенің қатаңдық матрицасын құрудың басты ережесі..............................................17
2.3 Екі элементтен тұратын жүйенің қатаңдық матрицасын
2.4 Үш элементтен тұратын жүйенің қатаңдық матрицасын
2.5 Көп элементке бөлген жүйенің қатаңдық матрицасын
III – Бөлім ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІМЕН
3.1 Зенкевичтің тесттік есебі туралы....................................................................................30
3.2 Шекті элементтер әдісінің қысқаша «USBURS» программасын
3.3 Зенкевичтің есебін «USBURS» программасымен шешу нәтижелері..........................36
Қортынды.........................................................................................................................38
Әдебиеттер........................................................................................................................38
КІРІСПЕ
Ғылым мен техникада, құрылыс, жол қатынастары, ғарышқа ұшу аппараттары,
1960 – жылдардан соң ШЭӘ – нің дамуына Зенкевич,
Айта кететін мәселе – шекті элементтердің қолданылу түрі сан
Дипломдық жұмыста үшбұрышты элементтердің негізгі математикалық өрнектері мен алгоритмдері
I – Бөлім ҮШБҰРЫШТЫ ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ НЕГІЗГІ
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӨРНЕКТЕРІ МЕН АЛГОРИТМДЕРІ
1.1 Шекті элементтер әдісінің негізгі түсініктері
Шекті элементтер әдісінің (ШЭӘ) – нің негізгі түсінігі О.
а) Тұтас орта ойша сызықтармен немесе ауданшалармен шартты түрде
б) Элементтер бірімен бірі өзара түйісу нүктелері арқылы ғана
в) Әрбір шекті элементтің ішіндегі ығысуды бірден бір жолмен
г) Ығысу функциясы элементтің ішкі деформациясын төбелеріндегі нүктелердің
д) Шекарадағы кернеуді және таралған күштерді теңестіретін күштер жүйесі
Нақты есепті шешу үшін элементтің және ығысу функцияның тиімді
Жазықтық жағдайындағы есептерді шешу зерттелетін облыстың геометриялық пішініне
Зенкевич, Вебеке, Айронс, Аргиристердің арнайы зерттеп көрсетулеріне қарағанда үшінші,
Жалпы шекті элементтер әдісінің минимизациялау процесімен сәйкес екендігін
Жоғарыда айтылған бес қадам орындалғаннан кейін Гук заңына негізделіп
1. 2 Үшбұрышты элементтің ығысу функциялары
Серпімділік теориясының жазық есептерінде есептік облыстың көлденең қимасы не
Шекті элементтер әдісінде бұл екі жағдайда да ығысу өрістері
Төбелері , ,
1 – сурет. Есептік типтік үшбұрышты
Әрбір нүктенің ығысуының екі құраушысы болады:
, ,
Ығысудың бұл алты құраушысы кез – келген
. (2)
Суретте көрсетілгендей элементінің ішкі кез
(3)
Алты тұрақты шамалар екі жүйеден оңай
Мысалы:
(4)
(4) – жүйені белгісіз коэффициенттер , арқылы
, (5)
мұндағы – үшбұрыштың екі
(5) – тегі анықтауыштарды ашып, лардың мәндерін
(7)
Мұндағы тағы басқа коэффициенттер (6) –шы
(8)
Дәл осындай жолмен қалған алты коэффициенттер де табылады:
. (9)
Ыңғайлы болуы үшін (7) мен (9) –шы
, (10)
Мұндағы , ал –лардың
,
(11)
1.3 Деформация мен кернеу өрнектері
Деформация құраушыларын серпімділік теориясындағы белгілі Кошидің геометриялық түрдегі
(12)
(13)
мен –ның (7) мен (9) –өрнектегі мәндерін
. (14)
(11) – өрнектегі –лардың мәндерін
. (15)
Бұл өрнектегі матрицаны деп белгілейік
. (16)
Сонда (15) – өрнек мына түрге келеді
, (17)
Мұндағы , (1) – (3)
Кернеу құраушылары (17) – өрнектегі
, (18)
мұндағы – серпімділік матрицасы. Оның
(19)
жазуға болады. матрицасының түзілімі жазық кернеу
Жазық кернеу күйі
Серпімділік теориясы курсындағы изотропты материалдар үшін деформация құраушыларын кернеу
(20)
Бұл қатынастарды кернеуге қатысты шешіп матрицасын
, (21)
Түсініктірек болуы үшін (20) – ды мына түрде
(22)
(21) өрнектің қалай шыққанын білуге болады.
Жазық деформация
Дәл осындай жолдармен жазық деформация үшін серпімділік матрицасының
. (23)
1.4. Элементтің және жүйенің қатаңдық матрицаларын
алгоритмдері
Элементтің қатаңдық матрицасы
Сызықты төбелері бар үшбұрышты
, (24)
мұндағы – элементтің қалыңдығы, ал интегралдау үшбұрыштың
(25)
мұндағы үшбұрыштың ауданы. Ол (6)
Енді (25) – өрнекке (16) –өрнектегі
(26)
Егер элементтің қалыңдығын бірлік өлшемді болса яғни
Қорыта айтқанда элементтің қатаңдық матрицасын құру үшін үшбұрыштың үш
(27)
Жүйенің қатаңдық матрицасы
Төменде 2 – суретте жазықтықтағы есептік облысты шекті элементтер
Жүйенің қатаңдық матрицасы элементтердің қатаңдық матрицаларының қосындыларынан құралады. Сонда
, (28)
мұндағы екінші сурет бойынша беске тең, яғни
, (29)
мұндағы – жүйенің қатаңдық матрицасы, жалпы
2 – сурет. Жазықтағы шекті элементтер жүйесінен фрагмент.
II – Бөлім ЭЛЕМЕНТ ПЕН ЖҮЙЕНІҢ
ІС ЖҮЗІНДЕ ҚҰРУ
2.1 Жүйенің қатаңдық матрицасын құрылымы туралы
Шекті элементтер әдісінде жүйенің қатаңдық матрицасының құрылымы зерттеу облысын
3 – сурет. Толық матрица кескіні
4 – сурет. Симметриялық басым диагоналдық матрица кескіні
5 – сурет. Симметриялық ленталық матрица кескіні
Жүйенің қатаңдық матрицасын 4 –ші немесе
6 – сурет тік бұрыш түріндегі диагоналдың үстіңгі
Енді нақты мысалдармен элемент пен жүйенің қатаңдық матрицаларын құрайық.
6 – сурет. Зерттеу облысының көлденең қимасының кескіні
Осы облысты алдымен үшбұрышты екі элементке бөліп оларды және
7 – сурет. Зерттеу облысын екі элементке бөліп нөмірлеу
Айта кететін нәрсе –ны үнемі сағат тілінің
Ендi (136), (137) –шi формулалар бойынша кез – келген
Бұл жерде баяндалатын әдiс С.Б. Ухов оқулығындағыдан мүлдем басқаша.
;
;
; (30)
;
;
.
Бұл формулалардың қызметiн түсiнбеген адам шектi элементтер әдiсiн ешуақытта
8 – сурет. Үшбұрышты элементтiң жалпы және жергiлiктi нөмiрлерi
Олай болса
;
;
; (31)
;
;
.
(32)
Енді 6–суреттегі нақты элементтің яғни 1–шi элементтiң жергілікті
Екеніне көңіл бөлу керек. Элементтiң қалыңдығы ,
Жергiлiктi нөмiр бойынша
(33)
Жалпы нөмiрi 1, 3, 2
.
Соңғы екi өрнектің оң жақтарындағыайырмашылыққа қараңыз. Программалау үшін цикл
(35)
Алдағы баяндауларда немесе шекті элементтерге арналған өзге авторлардың кітаптарында
Енді (34)– өрнекті өлшемі (21)–сурет бойынша 8х8 екенi
2.2 Жүйенің қатаңдық матрицасын құрудың басты
Жүйенің қатаңдық матрицасын құрудың екі әдісі бар. Біріншісі есептік
ЕРЕЖЕ! (34) – дiң оң жағындағы немесе сол жағындағы
Мұндағы мен дің төменгі
Бұл жерде (34)–шi өрнектегi элементтің қатаңдық матрицасының (
арқылы құрылады. Элементтің қатаңдық матрицасының 3–шi жолының элементтерi
енді жүйенің қатаңдық матрицасының 3-шi жолына емес 5–шi жолына
Әрі қарай 1 2
элементтері барады. Немесе
Енді осы жолмен элементтің қатаңдық матрицасының соңғы 5–шi және
Талдауды жеңілдету үшін (36)–шi өрнекте жеке баған ретінде
Осы ережемен енді 20–шi, 21–шi суреттердегi топырақпен үйіліп салынған
(37)
9–шы сурет.
(37)–шi өрнек бойынша бұл элементтің қатаңдық матрицасы
(38)
Енді (36) –ке ( )
2 – элемент үшін тұтас 7 немесе 10 –
2.3 Екі және үш элементтік жүйенің
Екі элементтен тұратын облыстың қатаңдық матрицасын құру. Осыған дейін
10–шы сурет.
(40)
10 – суреттегі екі элементтің (40) –
(41)
Жоғарыда айтылған ереже бойынша 10–шы суреттегі тұтас жүйенің
(42)
Екі элементтен құралған жүйенің қатаңдық матрицасының соңғы түрі осындай
2.4 Үш элементтен тұратын облыстың қатаңдық матрицасын құру.
Енді 6 – шы суретте көрсетілген бастапқы есептік облысымызды
11 – сурет. Жазық зерттеу облысын үш элементпен
Есептік нүктелерді кез – келген тәртіппен нөмірлеу нұсқасы(тиімсіз)
келтірілген 26 – суретте нүктелерді алдымен сағат тілінің бағыты
12 – сурет. Элементтерді және төбелерін нөмірлеудің тиімсіз түр
Алдыңғы тақырыпта келтірілген (30) – ші өрнекті қайталап жазбай
(43)
(44)
(45)
(46)
13 – сурет. Үш элементтен құрылған жүйенің симметриялық бірақ
Есептік нүктелерді тиімді етіп арнайы нөмірлеу нұсқасы
Жоғарыдағы 12 – суреттегі нөмірлеу мен төмендегі 14 –
14 – сурет. Элементтерді және төбелерін нөмірлеудің тиімді түрі
Енді (42) бен (162) – ші
(47)
(48)
(49)
(50)
Осы соңғы (166) – шы өрнекпен (163)
Бұл суреттен байқайтынымыз (3) – ші суретке қарағанда жүйенің
15 – сурет. Симметриялы түрдегі үш элементтен құрылған жүйенің
Сонымен қысқаша қортынды жасасақ жүйенің қатаңдық матрицасының түзімдік құрылымына
2. 5 Көп элементке бөлген жүйенің қатаңдық
Енді 11 – ші суреттегі облысты 16 – ші
Есептік нүктелерді кез – келген тәртіппен нөмірлеу нұсқасы (тиімсіз)
Бұл жерде элементтердің төбелерін нөмірлеудің тәсілдері өте көп.
Әрбір элемент пен жүйенің қатаңдық матрицаларының байланыс векторларын
Бұл жеті матрицаның элементтерінен құралған жүйенің қатаңдық матрицасы 31
16 – ші сурет. Зерттеу облысын жеті элементке
(51)
7 7 7 7
7 7
7 7 7 7
7 7
7 7 1 6
7 1 6
7 1 1
1 6 1
6+7 6+7
7 7 1 6
7 1 6
7 1 1
1 6 1
6+7 6+7
1 1 1 2 1 2 2 2 1
1 1 1 2 1 2 2 2 1
2 2 2 3 2
2 2 2 3 2
1 6 1
5 6 1 2
5 6 3
5 3
5
5 + 6 5 +
1 6 1 6 1
5 6 1 2
5 6 3
5 3
5
5 + 6 5 + 6
3 3 3
5 3
5 3 4 5 3
3 3 3
5 3
5 3 4 5 3
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4
7 7 6+7 6+7
5 + 6 5 + 6 4
6+7 4 + 5+
6+7
7 7 6+7 6+7
5 + 6 5 + 6 4
6+7 4 + 5+
6+7
17 – сурет. Жеті элементтен құрылған жүйенің симметриялық бірақ
Мысалы 1 –ші, 7 – ші нүктелерге сәйкес
Есептік нүктелерді тиімді етіп арнайы нөмірлеу нұсқасы
18 – ші сурет. Зерттеу облысын жеті элементке
Нөмірлеудің бұл түріне де байланыс векторын жазайық.
(52)
Бұлай етіп нөмірлегенде жүйенің қатаңдық матрицасының түзілімі 19 –
Бұл мысалдардан аса маңызды мынадай қорытындылар шығады.
1 + 2 1 + 2 2
1 + 2 1 + 2 2
2 2 2 + 3 2+ 3
2 + 3 2 +3 3 3
2 2 2 +3 2 + 3
2 +3 2+ 3 3 3
1
1
1+ 6+ 7 1+ 6+
7 7 6 + 7 6+
1 1
1+ 6 +7 1 + 6+
7 7 6 + 7 6
1 + 2 1+ 2 2+
5 + 6 5 + 6
1 +2 1 + 2 2
5 + 6 5 +6
3 3
3+5 3+5 3+4+5 3+4+5
4 + 5 4 + 5 4
3 3
3 +5 3 + 5 3+
4 + 5 4 +5 4
7 7
7 7 7 7
7 7
7 7 7 7
6 + 7 6 + 7 5
6 + 7 4 + 5+
6 +7 4 4
6 + 7 6 + 7 5
6 + 7 4 + 5+
6 +7 4 4
4 4
4 4 4 4
4 4
4 4 4 4
19 – сурет. Симметриялы түрдегі жеті элементтен құрылған
Соңғы айтылған қорытындыға мысалдарды жоғарыдағы баяндалған соңғы жеті элементке
, (53)
мұндағы матрицаның реті, жоғарыдағы соңғы мысалдарда
(54)
Тиімді нөмірлегенде 14 – сурет бойынша 7 – ші
III – Бөлім ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІМЕН
ШЕШУ
3.1 Зенкевичтің тесттік есебі туралы
Шекті элементтер әдісімен есеп шығарып үйренуге арналған О.Зенкевичтің «Метод
Есептің қойылуы төмендегі 20 – суретте көрсетілген. Элементтердің
20 – сурет. Серпімді үшбұрышты облыстың тартушы күш әсерінен
Юнг модулі мен Пуассон коэффициенті .
, табанының ұзындығы . Үшбұрышты облыс
Зенкевич бойынша бұл есептің мәліметтері төмендегідей
Нүктенің саны 10, элементтің саны 9. Төмендегі екі бағанда
0.0 0.0
2.0 0.0
4.0 0.0
6.0 0.0
1.0 2.0
3.0 2.0
5.0 2.0
2.0 4.0
4.0 4.0
3.0 6.0
Үш бағанда үшбұрышты тоғыз элементтің төбелерінің нөмірлері берілген
1 2 5
2 3 6
3 4 7
3 7 6
2 6 5
5 6 8
6 7 9
6 9 8
8 9 10
Келесі екі бағанда нүктелерге әсер ететін сыртқы күш векторының
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 10.000
Зенкевичтің алған нәтижелері: ығысу құраушылары ,
Он нүктенің ығысу құраушылары және
нүкте
I= 1 0.0000
I= 2
I= 3 -1.0941 17.7565
I= 4 0.0000
I= 5 -1.6412 15.6785
I= 6 0.0000 20.9599
I= 7
I= 8 0.8205 25.3127
I= 9 -0.8206 25.3127
I=10 0.0000 44.4730
Элемент
1 1.4902 3.7727 3.1136 5.9477 -.6847 34.935
2 -.7399 1.4167 .0000 1.4167 -.7399 . 000
3 1.4902 3.7727 -3.1137 5.9477 -.6847 - 34.935
4 .9503 .5189 -.6733 1.4417 .0276 -53.881
5 .9503 .5189 .6733 1.4417 .0276 53.881
6 1.8078 3.9487 1.3845 4.6283 1.1281 26.145
7 1.8078 3.9487 -1.3845 4.6283
8 -.2949 2.1027 .0000 2.1027 -.2949 .000
9 1.6794 10.0000 .0000 10.0000 1.6794
Зенкевичтің бұл шешімінің дәлдігін мынадан көруге болады. Күш түсіп
Енді Зенкевичтің осы нәтижелерін бірінші бөлімде баяндалған алгоритмдер бойынша
Сонымен программа текстімен онда қолданылатын идентификаторлардың (белгілеулер) атаулары, түрлері,
3.2 Шекті элементтер әдісінің қысқаша «USBURS» программасын құру
с «USBURS» ПРОГРАММАСЫ
c
c
с
с
с
C
с
с
с
C СЫЗЫҚТЫ ҮШБҰРЫШТЫ
с
с
C НЕГІЗГІ МАССИВТЕРДІҢ АТАУЛАРЫ МЕН
C
C
C R(20,20) – 10 нүкте үшін құрылған жүйенің қатаңдық
C STR(3,9) – 9 элементтегі кернеу құраушылары
C NV(9,3) – 9 элементтің үш төбелерінің
C BB(9,3,6) – [DB] матрицасының нәтижелерін сақтайтын уақытша
С кейіннен элементтердегі кернеулерді есептеуге пайдаланылады
C F(20) – сыртқы күш векторлары Fx, Fy
C U(20) – нүктелердің ығысу векторларының құраушылары u және
C X(10) – нүктелердің X координаталары
C Y(10) – нүктелердің Y координаталары
C RK(6,6) – элементтің қатаңдық матрицасы
C B(3,6) – градиенттік матрица (ығысу мен деформацияның байланыс
C DB(3,6) – серпімділік және градиенттік матрицаларының көбейтіндісі [DB]=[D]x[B]
C D(3,3) – серпімділік сипаттарының матрицасы
C IV(6) – элемент пен жүйенің қатаңдық матрицаларын байланыстырушы
C
C НЕГІЗГІ ИДЕНТИФИКАТОРЛАРДЫҢ ҚЫЗМЕТТЕРІ
C KUR – теңдеудің саны
C KUT – түйісу нүктелерінің саны
C KEL – элементтер саны
C N1 – массивтердің өлшемдері
C N2 – массивтердің өлшемдері
C REZ – шешілген нәтижелерді шығару файлының аты
С CIT – [R]{U}={F} теңдеуін шешуге қажетті итерация саны
C IIN – есепке қажетті мәліметтерді DAN файлынан
C IOUT – нәтижелерді REZ файлына шығару каналының нөмірі
C IUZ – үшбұрыш төбелері I,J,K мен
C E, RY – изотропты материал үшін Юнг модулі
C EPS – берілген есептеу дәлдігі
C «USBURS» программасының ТЕКСТІ
C
IMPLICITREAL*8(A-H,O-Z) DIMENSIONR(20,20),BB(9,3,6),STR(3,9),NV(9,3),F(20),U(20),X(10),Y(10),RK(6,6),B(3,6),DB(3,6),D(3,3),IV(6)
DATA KUR/20/,N1/3/,N2/6/,EPS/0.000001/
DATA IIN/1/,IUZ/2/,IOUT/4/
DATA E/0.96/,RY/0.2/
с Мәліметтерді оқу, нәтижелерді жазу, шығару каналдарын тағайындау
OPEN(IIN,FILE='dan')
OPEN(IUZ,FILE='DBNAP',FORM='UNFORMATTED')
OPEN(IOUT,FILE='REZ')
с Нүктелер мен элементтердің санын, координаталары X,Yті,
REWIND IIN
REWIND IUZ
READ(IIN,1) KUT,KEL
WRITE(IOUT,1) KUT,KEL
1 FORMAT(2I5)
READ(IIN,3) (X(I),Y(I),I=1,KUT)
3 FORMAT(2F10.1)
DO 4 I=1,KUT
4 WRITE(IOUT,5) I,X(I),Y(I)
5 FORMAT(I5,2F10.1)
DO 6 M=1,KEL
READ(IIN,7) I1,J1,K1
7 FORMAT(3I5)
NV(M,1)=I1
NV(M,2)=J1
NV(M,3)=K1
6 WRITE(IOUT,8) M,I1,J1,K1
8 FORMAT(I5,3I4)
C Жүйенің қатаңдық матрицасын құру
DO 9 I1=1,KUR
DO 9 J1=1,KUR
9 R(I1,J1)=0.
с Элементтер мен жүйенің қатаңдық тматрицасын құру
DO 10 M=1,KEL
с Серпімділік матрицасын құру
DO 13 K1=1,N1
DO 13 K2=1,N1
13 D(K1,K2)=0.d0
P=E*(1.-RY)/((1.+RY)*(1.-2.*RY))
D(1,1)=P
D(2,2)=P
D(1,2)=P*RY/(1.-RY)
D(2,1)=P*RY/(1.-RY)
D(3,3)=P*(1.-2.*RY)/(2.*(1.-RY))
с Элементтердің төбелерінің нөмірлері. Элементтің және жүйенің қатаңдық
с матрицаларының байланыс векторлары
I=NV(M,1)
J=NV(M,2)
K=NV(M,3)
IV(1)=2.*I-1
IV(2)=2.*I
IV(3)=2.*J-1
IV(4)=2.*J
IV(5)=2.*K-1
IV(6)=2.*K
DO 12 I1=1,N1
DO 12 J1=1,N2
12 B(I1,J1)=0.
с Градиенттік матрицаны құру
B(1,1)=Y(J)-Y(K)
B(1,3)=Y(K)-Y(I)
B(1,5)=Y(I)-Y(J)
B(2,2)=X(K)-X(J)
B(2,4)=X(I)-X(K)
B(2,6)=X(J)-X(I)
B(3,1)=B(2,2)
B(3,2)=B(1,1)
B(3,3)=B(2,4)
B(3,4)=B(1,3)
B(3,5)=B(2,6)
B(3,6)=B(1,5)
с Элементтердің аудандарын есептеу
S=0.5*DABS(X(I)*(Y(J)-Y(K))+X(J)*(Y(K)-Y(I))+X(K)*(Y(I)-Y(J)))
DO 14 I1=1,N1
DO 14 J1=1,N1
14 D(I1,J1)=D(I1,J1)/S
с Кернеу матрицасын есептеу [DB(3,6)]=[D(3,3)]x[B(3,6)]
DO 18 I1=1,N1
DO 18 I2=1,N2
DB(I1,I2)=0.
DO 18 I3=1,N1
18 DB(I1,I2)=DB(I1,I2)+D(I1,I3)/2.*B(I3,I2)
с Элементтердің кернеу матрицаларын [ВВ(9,3,6)] массивіне аудару
DO 11 I1=1,N1
DO 11 I2=1,N2
11 BB(M,I1,I2)=DB(I1,I2)
с Элементтің қатаңдық матрицасын құру
DO 20 I1=1,N2
DO 20 I2=1,N2
RK(I1,I2)=0.
DO 20 I3=1,N1
20 RK(I1,I2)=RK(I1,I2)+DB(I3,I1)/2.*B(I3,I2)
с Жүйенің қатаңдық матрицасын құру
DO 22 I1=1,N2
IN=IV(I1)
DO 22 I2=1,N2
IM=IV(I2)
R(IN,IM)=R(IN,IM)+RK(I1,I2)
22 CONTINUE
с IUZ каналына 'DNAP' деген файылға S ті,
WRITE(IUZ) S,IV(1),IV(2),IV(3),IV(4),IV(5),IV(6)
10 CONTINUE
с Сыртқы күш векторларын тағайындау {F(2xKUT)} және баспаға шығару
DO 25 I1=1,KUR
25 F(I1)=0.
F(20)=10.
DO 26 I1=1,KUT
J1=2*I1-1
J2=2*I1
26 WRITE(IOUT,28) I1,F(J1),F(J2)
28 FORMAT(10X,I5,2F10.3)
с Шекті элементтер әдісінің теңдеуі [R]*{U}={F}
DO 30 I=1,KUR
30 U(I)=0.
IT=1
40 V1=U(20)
DO 32 I=1,KUR
IF(I.EQ.1.OR.I.EQ.2) GO TO 32
IF(I.EQ.7.OR.I.EQ.8) GO TO 32
RES=-F(I)
DO 34 J=1,KUR
IF(J.EQ.1.OR.J.EQ.2) GO TO 34
IF(J.EQ.7.OR.J.EQ.8) GO TO 34
RES=RES+R(I,J)*U(J)
34 CONTINUE
COR=1.88*RES/R(I,I)
U(I)=U(I)-COR
32 CONTINUE
TT=DABS(V1-U(20))
IF(TT.LT.EPS) go to 36
IT=IT+1
GO TO 40
36 WRITE(IOUT,38) IT,TT
38 FORMAT(25X,'IT=',I4,5X,'TT=',F10.7)
с Ығысу құраушыларын баспаға шығару
DO 42 I1=1,KUT
J1=2.*I1-1
J2=2.*I1
42 WRITE(IOUT,44) I1,U(J1),U(J2)
44 FORMAT(2X,'I=',I5,3X,2F10.4)
с Элементтердегі кернеулердің 3 құраушысын есептеу
DO 50 I1=1,N1
DO 50 I2=1,KEL
50 STR(I1,I2)=0.
REWIND IUZ
DO 52 M=1,KEL
READ(IUZ) S,J1,J2,J3,J4,J5,J6
S=S/2.
DO 51 I1=1,N1
DO 51 I2=1,N2
51 DB(I1,I2)=BB(M,I1,I2)
DO 54 I2=1,N1
54 STR(I2,M)=STR(I2,M)+(DB(I2,1)*U(J1)+DB(I2,2)*U(J2)+DB(I2,3)*U(J3)+
*DB(I2,4)*U(J4)+DB(I2,5)*U(J5)+DB(I2,6)*U(J6))/S
52 CONTINUE
с Басты кернеулер мен басты жазықтарды анықтау О. Зенкевичтен
WRITE(IOUT,66)
DO 62 M=1,KEL
C=(STR(1,M)+STR(2,M))/2.
A=DSQRT(((STR(2,M)-STR(1,M))/2.)**2+STR(3,M)**2)
SMAX=C+A
SMIN=C-A
IF(STR(2,M).EQ.SMIN) GO TO 63
P1=STR(3,M)/(STR(2,M)-SMIN)
UGOL=(180./3.14159265)*DATAN(P1)
GO TO 64
63 UGOL=90.
64 CONTINUE
с Кернеудің барлық құраушыларын баспаға шығару
WRITE(IOUT,65) M,(STR(I1,M),I1=1,N1),SMAX,SMIN,UGOL
62 CONTINUE
65 FORMAT(3X,I3,5F10.4,F10.3)
FORMAT(/2X,'ELEMENT SIGMAX SIGMAY TAUXY MAXSTR MINSTR
*UGOL'/)
STOP
END====================
3. 3 Зенкевичтің есебін «USBURS» программасымен шешу
Жоғарыда айтқанымыздай Гаусс әдісінің орнына итерация әдісін пайдаландық. Берілген
«USBURS» программасының жұмысы үшін қажетті мәліметтер
10 9 Нүкте мен элемент саны
Нүкте
1 .0 .0
2 2.0 .0
3 4.0 .0
4 6.0 .0
5 1.0 2.0
6 3.0 2.0
7 5.0 2.0
8 2.0 4.0
9 4.0 4.0
10 3.0 6.0
Элементтердің және олардың төбелерінің нөмірлері
1 1 2 5
2 2 3 6
3 3 4 7
4 3 7 6
5 2 6 5
6 5 6 8
7 6 7 9
8 6 9 8
9 8 9 10
Нүктелердің нөмірлері мен күш құраушыларының мәндері
Нүкте
1 .000 .000
2 .000 .000
3 .000 .000
4 .000 .000
5 .000 .000
6 .000 .000
7 .000 000
8 000 .000
9 .000 .000
10 .000 10.000
Алынған нәтижелер – ығысу мен кернеу құраушыларын баспаға шығару
Нүкте
I= 1 .0000 .0000
I= 2
I= 3 -1.0941 17.7565
I= 4 .0000 .0000
I= 5 -1.6412 15.6785
I= 6 .0000 20.9599
I= 7 1.6412 15.6786
I= 8 .8205 25.3127
I= 9 -.8206 25.3127
I=10 .0000 44.4730
Элемент
1 1.4902 3.7727 3.1136 5.9477 -.6847 34.935
2 -.7399 1.4167 .0000 1.4167 -.7399 . 000
3 1.4902 3.7727 -3.1137 5.9477 -.6847 - 34.935
4 .9503 .5189 -.6733 1.4417 .0276 -53.881
5 .9503 .5189 .6733 1.4417 .0276 53.881
6 1.8078 3.9487 1.3845 4.6283 1.1281 26.145
7 1.8078 3.9487 -1.3845 4.6283 1.1281 -26.145
8 -.2949 2.1027 .0000 2.1027 -.2949 .000
9 1.6794 10.0000 .0000 10.0000 1.6794
Көріп отырғанымыздай Зенкевич нәтижелері дәл шықты. Айта кететін нәрсе
Бұл «USBURS» програмасының көмегімен курстық, дипломдық жұмыстар ғана емес
ҚОРТЫНДЫ
Шекті элементтер әдісіндегі ең қарапайып болып табылатын үшбұрышты элементтердің
Екінші бөлімде элемент пен жүйенің қатаңдық
Соңғы үшінші бөлімде шекті элементтер толық келтірілген әдісінің
Құрылған программаны күрделі ғылыми зерттеу жұмыстарына қолдануға болады.
ӘДЕБИЕТТЕР
1. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в
сплошных сред. –М.: Недра. 1973. 278.
2. Zienkieviz O.C. The finite element method in engineering
3. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении
4. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.:
5. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и
Стройиздат, 1982 -447–с.
Баймахан Р.Б. Расчет сейсмонапряженного состояния подземных сооружений в
ПЛАКАТТАРЫ
1.1 Шекті элементтер әдісінің негізгі түсініктері
Шекті элементтер әдісінің (ШЭӘ) – нің негізгі түсінігі О.
а) Тұтас орта ойша сызықтармен немесе ауданшалармен шартты түрде
б) Элементтер бірімен бірі өзара түйісу нүктелері арқылы ғана
в) Әрбір шекті элементтің ішіндегі ығысуды бірден бір жолмен
г) Ығысу функциясы элементтің ішкі деформациясын төбелеріндегі нүктелердің
д) Шекарадағы кернеуді және таралған күштерді теңестіретін күштер жүйесі
Нақты есепті шешу үшін элементтің және ығысу функцияның тиімді
Үшбұрышты элементтің ығысу функциялары
1 – сурет. Есептік типтік үшбұрышты
Әрбір нүктенің ығысуының екі құраушысы болады:
, ,
Ығысудың бұл алты құраушысы кез – келген
. (2)
Суретте көрсетілгендей элементінің ішкі кез
(3)
Алты тұрақты шамалар екі жүйеден оңай
Мысалы:
(4)
(4) – жүйені белгісіз коэффициенттер , арқылы
, (5)
мұндағы – үшбұрыштың екі еселенген ауданы.
(5) – тегі анықтауыштарды ашып, лардың мәндерін
(7)
Мұндағы тағы басқа коэффициенттер (6) –шы
(8)
Дәл осындай жолмен қалған алты коэффициенттер де табылады:
. (9)
Ыңғайлы болуы үшін (7) мен (9) –шы
, (10)
Мұндағы , ал –лардың
,
Деформация мен кернеу өрнектері Деформация құраушыларын серпімділік теориясындағы
(12)
(13)
мен –ның (7) мен (9) –өрнектегі мәндерін
. (14)
(11) – өрнектегі –лардың мәндерін
. (15)
Бұл өрнектегі матрицаны деп белгілейік
. (16)
Сонда (15) – өрнек мына түрге келеді
, (17)
Мұндағы , (1) – (3)
Кернеу құраушылары (17) – өрнектегі
, (18)
мұндағы – серпімділік матрицасы. Оның
(19)
жазуға болады. матрицасының түзілімі жазық кернеу
Серпімділік теориясы курсындағы изотропты материалдар үшін деформация құраушыларын кернеу
(20)
Бұл қатынастарды кернеуге қатысты шешіп матрицасын
, (21)
Түсініктірек болуы үшін (20) – ды мына түрде
(22)
(21) өрнектің қалай шыққанын білуге болады. Жазық
Дәл осындай жолдармен жазық деформация үшін серпімділік матрицасының
. (23)
Элементтің және жүйенің қатаңдық матрицаларын құру алгоритмдері
Элементтің қатаңдық матрицасы
(26)
(27)
Жүйенің қатаңдық матрицасы
, (28)
, (29)
2 – сурет. Жазықтағы шекті элементтер жүйесінен фрагмент.
II – Бөлім ЭЛЕМЕНТ ПЕН ЖҮЙЕНІҢ
ІС ЖҮЗІНДЕ ҚҰРУ
6 – сурет. Зерттеу облысының көлденең қимасының кескіні
7 – сурет. Зерттеу облысын екі элементке бөліп нөмірлеу
;
;
; (30)
;
;
.
8 – сурет. Үшбұрышты элементтiң жалпы және жергiлiктi нөмiрлерi
Олай болса
;
;
; (31)
;
;
.
(32)
Енді 6–суреттегі нақты элементтің яғни 1–шi элементтiң жергілікті
(33)
Жалпы нөмiрi 1, 3, 2
.
(35)
.
(37)
9–шы сурет.
(37)–шi өрнек бойынша бұл элементтің қатаңдық матрицасы
(38)
Екі және үш элементтік жүйенің қатаңдық матрицасын құру
10–шы сурет.
(40)
(41)
(42)
Үш элементтен тұратын облыстың қатаңдық матрицасын құру.
11 – сурет. Жазық зерттеу облысын үш элементпен
Алдыңғы тақырыпта келтірілген (30) – ші өрнекті қайталап жазбай
(43)
(44)
(45)
(46)
13 – сурет. Үш элементтен құрылған жүйенің симметриялық бірақ
Есептік нүктелерді тиімді етіп арнайы нөмірлеу нұсқасы
14 – сурет. Элементтерді және төбелерін нөмірлеудің тиімді түрі
(47)
(48)
(49)
(50)
15 – сурет. Симметриялы түрдегі үш элементтен құрылған жүйенің
2. 5 Көп элементке бөлген жүйенің қатаңдық
16 – ші сурет. Зерттеу облысын жеті элементке
(51)
7 7 7 7
7 7
7 7 7 7
7 7
7 7 1 6
7 1 6
7 1 1
1 6 1
6+7 6+7
7 7 1 6
7 1 6
7 1 1
1 6 1
6+7 6+7
1 1 1 2 1 2 2 2 1
1 1 1 2 1 2 2 2 1
2 2 2 3 2
2 2 2 3 2
1 6 1
5 6 1 2
5 6 3
5 3
5
5 + 6 5 +
1 6 1 6 1
5 6 1 2
5 6 3
5 3
5
5 + 6 5 + 6
3 3 3
5 3
5 3 4 5 3
3 3 3
5 3
5 3 4 5 3
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4
7 7 6+7 6+7
5 + 6 5 + 6 4
6+7 4 + 5+
6+7
7 7 6+7 6+7
5 + 6 5 + 6 4
6+7 4 + 5+
6+7
17 – сурет. Жеті элементтен құрылған жүйенің симметриялық бірақ
Есептік нүктелерді тиімді етіп арнайы нөмірлеу нұсқасы
18 – ші сурет. Зерттеу облысын жеті элементке
(52)
Бұл мысалдардан аса маңызды мынадай қорытындылар шығады.
1 + 2 1 + 2 2
1 + 2 1 + 2 2
2 2 2 + 3 2+ 3
2 + 3 2 +3 3 3
2 2 2 +3 2 + 3
2 +3 2+ 3 3 3
1
1
1+ 6+ 7 1+ 6+
7 7 6 + 7 6+
1 1
1+ 6 +7 1 + 6+
7 7 6 + 7 6
1 + 2 1+ 2 2+
5 + 6 5 + 6
1 +2 1 + 2 2
5 + 6 5 +6
3 3
3+5 3+5 3+4+5 3+4+5
4 + 5 4 + 5 4
3 3
3 +5 3 + 5 3+
4 + 5 4 +5 4
7 7
7 7 7 7
7 7
7 7 7 7
6 + 7 6 + 7 5
6 + 7 4 + 5+
6 +7 4 4
6 + 7 6 + 7 5
6 + 7 4 + 5+
6 +7 4 4
4 4
4 4 4 4
4 4
4 4 4 4
19 – сурет. Симметриялы түрдегі жеті элементтен құрылған
27
®
+
®
0
©
®
©
®
©
©
0
©
®
©
®
+
®
+
®
+
+
+
®
+
®
+
®
+
®
®
®
0
0
+
+
+
®
+
®
+
®
+
®
®
®
0
0
+
+
+
+
+
+
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
0
0
0
0
©
3
=9;
= 10;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
®
2
=9;
= 10;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
+
1
=1;
= 2;
=9; (32)
= 10;
=3;
= 4.
©
3
®
2
+
1
5
3
2
1
4
3
2
1
0
x
y
i
1 2 3
1
=1;
= 2;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
2
=1;
= 2;
=7; (32)
= 8;
=5;
= 6.
2
2
1
4
31
21
1
1
2
(39)
1 2
2
2
4
3
1
2
=1;
= 2;
=7; (32)
= 8;
=5;
= 6.
1
(36)
1 2
1
1
=1;
= 2;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
1
31
21
1
2
1
4
31
21
1
0
x
y
0
e
fxk ,uk
fzk ,vk
fxj ,uj
fzj ,vj
fxi ,ui
fZi ,vi
k
j
x
y
0
Y
X
6
5
4
2
1
3
5
4
3
2
1
j
i
0
e
fxk ,uk
fzk ,vk
fxj ,uj
fzj ,vj
fxi ,ui
fZi ,vi
k
j
x
y
31
21
1
2
1
4
31
21
1
0
x
y
0
Y
X
6
5
4
2
1
3
5
4
3
2
1
j
I
II
V
III
IV
VI
VII
VIII
IX
F=10
10
9
8
7
6
5
4
1
x
y
3
2
©
®
+
©
®
©
©
+
+
+
®
+
®
©
®
©
®
+
©
®
+
©
®
©
©
+
+
+
®
+
®
©
®
©
®
©
©
©
©
0
0
0
0
©
©
©
©
©
©
0
0
0
0
©
©
©
®
©
®
©
©
0
0
©
®
©
®
+
+
1
2
4
5
1
2
3
3
1
+
2
®
3
©
©
3
=5;
= 6;
=9; (32)
= 10;
=7;
= 8.
®
2
=5;
= 6;
=7; (32)
= 8;
=3;
= 4.
+
1
=1;
= 2;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
1
2
4
5
1
2
3
3
6
7
8
5
6
7
4
3; 9;
4; 10;
9; 7;
10; 8;
5; 5;
6. 6.
4;
9;
10;
5;
6.
3
4
2
1
5
6
7
6
3
2
4
1
2
3
1
5
8
7
5
6
7
4
5; 7;
6; 8;
7; 3;
8; 4;
1; 1;
2. 2.
4;
9;
10;
5;
6.
3
4
2
1
5
6
7
1
=1;
= 2;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
1
1
1 2
(36)
1
=1;
= 2;
=7; (32)
= 8;
=5;
= 6.
2
1
3
4
2
2
1 2
(39)
2
1
1
21
31
4
1
2
2
=1;
= 2;
=7; (32)
= 8;
=5;
= 6.
2
=1;
= 2;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
1
y
x
0
1
2
3
4
1
2
3
5
2
®
1
+
3
©
=1;
= 2;
=9; (32)
= 10;
=3;
= 4.
1
+
=9;
= 10;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
2
®
=9;
= 10;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
3
©
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
®
+
®
+
®
+
®
+
®
+
®
+
®
+
®
+
®
®
®
®
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
®
©
®
©
©
©
®
©
+
®
©
+
®
©
®
©
©
©
®
©
+
®
©
+
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
®
+
®
+
®
+
®
+
®
©
®
©
®
©
®
©
®
©
®
©
®
©
®
©
©
©
©
©
®
+
®
+
®
+
®
+
1
2
4
5
1
2
3
3
1
+
2
®
3
©
=1;
= 2;
=5; (32)
= 6;
=3;
= 4.
1
+
=5;
= 6;
=7; (32)
= 8;
=3;
= 4.
2
®
=5;
= 6;
=9; (32)
= 10;
=7;
= 8.
3
©
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
1
2
4
5
1
2
3
3
6
7
8
5
6
7
4
3; 9;
4; 10;
9; 7;
10; 8;
5; 5;
6. 6.
4;
9;
10;
5;
6.
3
4
2
1
5
6
7
6
3
2
4
1
2
3
1
5
8
7
5
6
7
4
5; 7;
6; 8;
7; 3;
8; 4;
1; 1;
2. 2.
4;
9;
10;
5;
6.
3
4
2
1
5
6
7

Ұқсас жұмыстар

Шектелген элементтердің типтері

Ақырлы элементтер әдісінің негізгі концепциясы

Жалпы түрдегі алгебралық теңдеулер жүйесін шешу жолы

Электромеханикалық ұқсастық және оның тербелісті зерттеуге қолданылуы

Леонтьев – тарихы, теориясы, экономика моделі

Сызықтық кеңістік

ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІКТІҢ ТЕҢДЕУЛЕРІНІҢ КЕЙБІР БАСТАПҚЫ-ШЕКТІК ЕСЕПТЕРІН САНДЫҚ ӘДІСТЕРМЕН ШЕШУ

Жылуөткізгіштік теңдеуін нүктелік жылу көзін ескеріп шекті элементтер әдісімен шешу

Көлденең күш пен июші моменттер