Ляпунов теоремасы
Мазмұны
Кіріспе...............................................................................................................
І – тарау.
Қажетті анықтамалармен жалпы тұжырымдар.
§1 Функцияның сипаттаушы сандары............................................................
§2 Сипаттаушы көрсеткіштердің негізгі қасиеттері.....................................
§3 Сызықтың біртектес жүйе шешімдерінің сипаттаушы
көрсеткіштері... ...............................................................................................
ІІ- тарау
Дұрыс және келтірімді жүйелер.
§1 Дұрыс жүйелер............................................................................................
§2 Үшбұрышты жүйелердің дұрыстығы.. Ляпунов теоремасы..................
Мысалдар....................................................................................................
Әдебиеттер.....................................................................................................
Кіріспе
Дифференциялдық теңдеу шешімінің сипатын анықтау үшін өзінің бірінші
Жұмыста біртекті сызықты дифференциялдық теңдеулер жүйесінің негізгі кластарының
Мұнда үшбұрышты жүйелер үшін негізгі теоремалардың бірі Ляпунов
І-ТАРАУ: Қажетті анықтамалармен жалпы тұжырымдар
§1 Функцияның сипаттаушы сандары
Ляпуновтың анықтамасы. Егер кез – келген мейлінше
(1)
Қанағаттандыратын болса, онда оны функциясының сипаттаушы
Бұл анықтамадан кез – келген функцияның сипаттаушы көрсеткіші
Перронның анықтамасы. Мына теңдік
(2)
арқылы анықталатын саны (не таңбасы)
Ляпунов пен Перрон анықтамаларының өзара пара – пар
(3)
орындалатыны шығады. Ал екінші теңдік тізбегінің
(4)
теңсіздігі орындалады.
(3) және (4) теңсіздіктері логорифмдеу арқылы
теңсіздіктерін аламыз. Бұл екі теңсіздік (2) формуланың дұрыстығын
теңсіздіктері, яғни (2) орындалады.
(2) формула сипаттаушы көрсеткішті есептеу үшін өте ыңғайлы.
ЕСКЕРТУЛЕР.
Жоғарыда айтылғандардың, үшін
орындалғанда болатыны,
орындалғанда, болатыны шығады. Демек,
Функциясы кез-келген көрсеткіштікфункциясына қарағанда
Егерде функцияның сипаттаушы көрсеткіш нольге тең болатын болса,
АНЫҚТАМА. Үзіліссіз вектор функциясының (матрица
және де ол норманың қай түрі
алынып тұрғанына байланысты болмайды, себебі ол
АНЫҚТАМА. Саны ақырлы функциялар жиынтығының сипаттаушы көрсеткіші деп
Әлбетте, егер вектор – функцияны компоненттерінің жиынтығы
§2 Сипаттаушы көрсеткіштердің негізгі қасиеттері
1-Теорема. Саны ақырлы функциялар қосындысының сипаттаушы
іргелі жүйені де нақты деп есептеуге болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ: Формула түрінде жазғанда, теореманың 1- ші
(1)
белгілеу енгізейік:
онда үшін
Бұдан (1) теңсіздіктің шығатыны айқын. Енді теореманың екінші
Еркін санын теңсіздігін қанағаттандыратындай етіп алайық. Онда
теңдігі орындалады. Сондықтан мына ақиқат теңсіздікті
пайдалана отырып,
теңдігін аламыз. Олай болса, бұл теңсіздік
теңдігін береді.
Ескертулер.
1.Жасанды түрде қарағанда теорема кейбір функциялар ақырсыз (
се ) көрсеткішке ие болғанда да орындала
2. Егер қосылғыштардың саны ақырсыз болатын болса, онда
2- Теорема. Саны ақырлы функциялар көбейтіндісінің сипаттаушы көрсеткіші
(2)
Дәлелдеуі. Әлбетте, мына тұжырым
яғни, орындалады.
Ескертулер. Егер көбейткіш функцияларының арасында
Салдар. 1. Коэффициенттері шенелген ақырлы сызыұтық тіркестің енетін
шынында да,
екенін ескере отырып, 1,2 теоремар негізінде
Егерде сызықтық тіркестің коэффициенттері тұрақты болып, ал функциялардың
3-Теорема. функциясымен оның кері функциясы көрсеткіштерінің
Дәлелдеуі. Егер
болса, онда мына теңдікке
сүйеніп,
теңдігін аламыз, яғни анықталмаған ақырлы шек
1-Анықтама. Егер үшін ақырлы шек
бар болса, онда функциясының көрсеткішін
4 теорема. Егер функция f(t) дәл көрсеткішке ие
( (3)
Дәлелдеуі.
е –теорема негізінде
болады. Екінші жағынан 3- теореманы ескере отырып,
теңсіздігін аламыз. Ол (4) теңсіздікпен қосылып, (3) теңдікті
Енді көрсеткіштік функция қарастырайық. Оның интегралы (алғашқы
Егер болса, Ал
Егер де болса, онда
түрінде алатын болса, болар еді, теңдік
Сондықтан Ляпунов интегралдың мынандай ұғымын енгізген.
2- Анықтама. функциясының интегралы деп мына
§3 Сызықтың біртектес жүйе шешімдерінің сипаттаушы көрсеткіштері
Сызықтық біртектес
(1)
дифференциялдың жүйесін қарастырайық. Мұнда ал нақты
1-ТЕОРЕМА. Егер (1) жүйенің коэффициент матрицасы
Дәлелдеуі. (1) жүйенің кез келген
орындалады. Әлбетте, шешімін мына түрде
жазуға болады. Бұдан норма бойынша бағалау арқылы
Гронулл леммасына сүйеніп
теңдігі алынады. Ал бұдан саны
яғни теңсіздіктері шығады. Мұндағы
;
Ескерту. Жүйененің коэффициенттерінің шенелген болуы шешуші шарт. Ол
Лемма. Әр түрлі (бір – біріне тең емес)
Дәлелдеуі. аралығында анықталған
§2 – дәлелденген 1-2 теореманың салдарына сүйеніп,
теңдігін аламыз. Бұл шартқа қайшы. Кері жору қате,
3-Теорема. Жүйенің ерекше көрсеткіші
(2)
саны табылады.
Дәлелдеуі. деп алсақ,
теңдігі алынады. Бұдан немесе
теңсіздігі алынады. Ал болғанда,
орындалады. Демек, немесе
(4)
теңсіздігі орындалады.
Ал мына кезде
теңсіздігі орындалады. Егер деп, ал
кеңістігінде сызықтық біртектес
(1)
жүйесін қарастырайық.оның спектрі өсу бағытында орналасқан
жүйесінің сипаттаушы көрсеткіштерінің қосындысы деп аталады. Оның төменгі
(2)
сипаттаушы көрсеткіштері болатын өзара сызықтық
сондықтан жиынтығы
1 – Лемма. Кеңістігінің өлшемі
(3)
Дәлелдеуі. Шынында да, анықтама бойынша, сипаттаушы көрсеткіші
енді кеңістігінің
шартын қанағаттандыратын базисы болсын. Бұл базис міндетті түрде
тепе – теңдігін қарастыратын болсақ, онда оны мына
қайта жазып, шешімдерінің сызықтық тәуелсіздігі
теңдіктерін алар едік. Бұдан
(5)
(4), (5) теңсіздіктерін (2) теңдік алынады.
1-Салдар. Мына теңсіздіктер орындалады:
2-Салдар. Кез келген іргелі жүйесіне енетін,
(6)
теңсіздігі орындалады.
Шынында да, сипаттаушы көрсеткіштері -
1-Анықтама. Кез келген іргелі
егер матрицасы нақты болса,онда әрбір
2-Анықтама. Шешімдердің қалыпты іргелі жүйесінің көрсеткіштері (1) дифференциалдық
ІІ – ТАРАУ.
§1 Дұрыс жүйелер
Коэффициент – матрицасы үзілліссіз және шенелген сызықтық нақты
(1)
қарастырайық. Оның ( яғни қандай да бір қалыпты
болсын, nj - сипаттаушы көрсеткіш
Мынандай белгілеулер
енгізейік. Әрқашан да теңсіздігі
Анықтама. Сипаттаушы көрсеткіштердің қосындысы коэффициент матрица ізінің орта
болатын сызықтық нақты (1) жүйенідұрыс жүйе деп атайды.
Егер комплекс мәнді матрица болса,онда
жазылады. Дұрыс жүйелер коэффициенттері тұрақты жүйенің кейбір қасиеттеріне
Лемма. Сызықтық дифференциалдық (1) жүйенің дұрыс болуы үшін
бар болып, ол шектің жүйе көрсеткіштерінің қосындысына тең
Дәлелдеу қажеттілігі. (1) жүйе дұрыс болсын. Онда
Жеткіліктілігі көрініп тұр.
Ескерту. Жүйенің дұрыстығы үшін теңдігінің
Теорема. Коэффициенттері тұрақты кез келген сызықтық біртекті жүйе
(21)
дұрыс болып табылады.
Дәлелдеуі. Коэффициенттері тұрақты (21) жүйенің сипаттаушы көрсеткіштері
Демек, жүйенің сипаттаушы көрсеткіштерінің қосындысы
Екінші жағынан Виет теоремасы бойынша
Демек,
§2 Үшбұрышты жүйелердің дұрыстығы.
Ляпунов теоремасы.
Коэффициенттері айнымалы жалпы түрдегі сызықтық жүйелер үшін олардың
Коэффициенттері үзіліссіз, шенелген сызықтық төменгі үшбұрышты
(1)
жүйесін қарастырайық.
Ляпунов теоремасы. (1) жүйе дұрыс болу үшін оның
(2)
ие болуы қажетті де жеткілікті.
Дәлелдеу қажеттілігі. (1) жүйе дұрыс болсын. Белгілеулер енгізейік:
сызықтық төменгі үшбұрышты (1) жүйені бірнші теңдеуден бастап,
Егер десе, онда
мына түйіндес жүйе
үшін қалыпты іргелі матрица болады және
(1) және (2) жүйе шешімдерінің сипаттаушы көрсеткіштерін
бұдан (1) жүйе дұрыс болғандықтан, Перронтеоремасы бойынша
теңдіктері алынады. Ал шешімнің құрамына
болатыны, яғни теорема шартының қажеттілігі шығады.
Жеткіліктілігі. (2) шарт орындалсын.
Мынадай функцияларжүйесін қарастырайық:
Интегралдың төменгі шегін осылайша таңдап алу Ляпунов енгізген
Егер десе, онда
Мұндағы меншіксіз интегралдарды айырма
түрінде қарастыруға болатындықтан, жүйесі
матрицасы табылып,
болады. Математикалық индуикцияны пайдалана отырып, (5) жүйеден
болғанда,
ал, (2)шарт орындалғанда, болғандықтан, Ляпунов
Сондықтан жүйе қалыпты, ал
Салдар. Егер сызықтың төменгі үшбұрышты (1) жүйе дұрыс
Сызықтың біртекті жүйе қарастырайық:
оның іргелі матрицасы болсын. Элементтері, жалпы алғанда комплекс
Мысалдар
Мысал 1. көбейтінді
кез келген арқылы үшін
кез келген арқылы үшін
Мысал 2. өрнегі
Мысал 3. және
Егер функцияның сипаттаушы көрсеткіш
Мысал 4
1) нөлден өзгеше кез келген тұрақтының сипаттаушы
2) Коэффициенттері тұрақты көпмүшеліктің сипаттаушы көрсеткіш нөлге
3) егер болса, онда
4)
Ляпуновтың анықтамасы бойынша сесптесек,
кезде шенелген.
Мысал 5. функциясын беретін
Әрбір қосылғыштың сипаттаушы көрсеткіші нөлге тең
Мысал 6.
яғни болсын. Онда
жалпы, егер және
Мысал 7. Коэффициентерінің арасында шенелмегендері бар жүйе
қарастырайық. Оның мынадай базисы бар.
Демек,
яғни барлық шешімнің көрсеткіші ақырлы емес.
Мысал 8. Коэффициенттері тұрақты
жүйенің спектрі А матрицасының меншікті мәндерінің бір –
Шынында да, теңдеуінің нақты бөліктері
түрінде болады. мұндағы - компоненттері
Мысал 9. Бір теңдеу
Коэффициенттері аралығында үзіліссіз және шенелген
(1)
мұнда қосынды элементерінен кез келген ретте құралған
(2)
екінші жағынан Остроградский – Лиувилл формуласынан
мына теңсіздік алынады:
демек, (2) формуладан теңсіздігі алынады. Оны
Сондықтан
сонымен коэффициенттері үзіліссіз және шенелген сызықтық біртектес жүйенің
Егер, комплекс матрица болса, онда
Мысал 10. Жүйе
берілсін. Оның базисы іргелі шешімдер жүйесі мынандай:
әрбір шешімнің сипаттаушы көрсеткіші 1-ге тең. Олардың қосындысы
Демек, Коши матрицасы
жүйенің үлкен көрсеткіші деп аталады. Үлкен көрсеткіш үшін
көрініп тұр. Коэффициенттері тұрақты жүйенің үлкен көрсеткіші
мына формуламен
анықталатын сан жүйенің ерекше көрсеткіші деп аталады. Әлбетте,
Мысал 11. Жүйе
қарастырайық. Оның шешімдерінің мынадай қалыпты жүйесі бар:
Оның көрсеткішінің қосындысы екіге тең: . Коэффициент
Әдебиеттер.
1. Ляпунов.А.М Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ,
2. Малкин И. Г Теория устойчивости движения, Наука,
3. Петровский И.Г Лекции по теории обыкновенных
диференциальных уравнений. Издательство МГУ, М. 1984
4. Демидович Б.П. Лекции по
М., 1967
5. Сүлейменов Ж. С. Дифференциалдық теңдеулер, «Білім» Алматы
6. Коддингтон Э.А., Левисон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, М., 1958
7. Понтрягин Л.С обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, М.,
1983
8. Степанов В.В Курс дифференциальных уравнений,физматиз, М.,
26
f
X
x
1
F(t)
Ляпунов теоремасы
Периодты дифференциалдық жүйенің периодты шешімінің түрі
Сызықты дифференциялдық теңдеулер жүйесінің негізгі кластарының біреуін құрайтын дұрыс жүйелер
Ляпунов тұрақтылығы жайлы ақпарат
Үлкен сандар заңы
MATLAB бағдарламасы.Simulink пакеті. Ляпунов функциясына жалпы анықтама.
Ляпунов тұрақтылығы
Ықтималдық тығыздығы ұғымы. Шектік теоремалар туралы ұғым
Хаос генераторлары
N-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері