Дифференциалдық теңдеулер жүйесі

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Қ. И. Сатпаев атындағы қазақ ұлттық
техникалық университеті
техникалық кибернетика кафедрасы
КУРСТЫҚ ЖОБАҒА
түсініктеме парағы
тақырыбы: Дифференциалдық теңдеулер жүйесі
Жетекші
___________________________
ғылыми дәрежесі мен атағы
Мұртазина Ә.У.
5.05.2004 жыл
Нормабақылаушы
Аты-жөні: –––––––––––––––––––
5.05.2004 жыл
Студент
Мамандығы 370140
Тобы ИВТ-02-2қ
Алматы 2004
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 2
1 Есептің қойылымы 4
2. НЕГІЗГІ БӨЛІМ 6
2.1 Сандық әдістің түрлері 6
2.2 Коши есебін шығару 10
3 MatLab функциялары 13
4 MatLab көмегімен есептеулерді орындау 15
1. Реттерін төмендетуге болатын теңдеулер 15
2. Тұрақты коэффициенттері арқылы берілген сызықты біртекті
Теориялық анықтама 21
ҚОРЫТЫНДЫ 25
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 26
КІРІСПЕ
Көптеген процестердің математикалық түрі, ізделінетін белгісіз шама цифр
Дифференциалдық теңдеулер математикалық анализ жүргізуде үлкен роль атқарады.
Жұмыстың мақсаты: дифференциалдық теңдеулер жүесін тереңірек зертттеу, MatLab
Қойылған проблеманың актуальдығы: қазіргі кезде техниканың дамуына байланысты
Қазіргі уақытта дифференциалдық теңдеулер техника ғылымдарынң барлық дерлік
1 Есептің қойылымы
Көптеген процесстердің математикалық түрі, ізделінетін белгісіз шама цифр
Мысалы, бір радиоактивті элементтің массасы m болсын. Бұл
M(t) массасының Δt уақыт арасында өзгеруі m(t)Δt туындысына
M(t + Δt) – m(t) = -βm(t)Δt
Мұндағы теңдеудің оң жағындаға минус таңбасы m(t) массасының
Δt( 0 ұмтылған кезде келесідей теңдеуге келеміз:
(1.2)
Бұл теңдік t уақытының әрбір мәніне m функциясының
2. Қайсібір қоршаған ортада бөлінумен көбиетін біржасушала организмдер
N(t+ Δt) – N(t) = βN (t)Δt
Теңдіктің екі жағын да Δt бөліп, шектік өткізу
(1.3)
3. Кез келген массасы М-ге тең болатын дене
V=
Δt нөлге ұмтылдырып:
V(t)=
Аламыз. Яғни, дененің нүктедегі жылдамдығы функияның уақыт бойынша
Есебімнің қойылымы: Эйлер әдісімен Коши есебін шығару
2. НЕГІЗГІ БӨЛІМ
2.1 Сандық әдістің түрлері
Айнымалыларды ажырылатын теңдеулерді шешу.
Бірінші тектес дифференциалдық теңдеу келесі түрде берілген кезде
(2.1)
Айнымалылары ажырылатын теңдеудің жалпы шешімін табу керек. (2.1)
Соңғы теңдіктің екі жағын да интегралдап, түрлендірсек:
(2.2)
(2.2) теңдеуінің туындылары жоқ, бірақ бірнеше қасиеттері бар.
өрнегі де үлкен роль атқарады. Бұл (2.1)
Айнымалылары ажырылатын теңдеулерді шешудің тағы да бір жолын
бірінші ретті теңдеуді келесі түрде жазуға болады:
M(x,y)dx +N(x,y)dy=0
Жазылудың мұндай түрі ыңғайлырақ болып келеді: белгісіз функцияны
M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy=0
Шынымен де, теңдеудің екі жағын да N1(x) M2(y),
және (2.4) теңдеуінің жалпы интегралын аламыз:
Сонымен, айнымалылары ажырылатын теңдеулердің жалпы интегралын табу, екі
Біртеті емес тұрақты коэффиценті бар сызықтық дифференциал теңдеулерді
(2.5)
түрдегі тұрақты коэффиценті бар біртектіемес сызықтық дифференциал теңдеуді
(2.6)
Т е о р е м а
1 теореманы біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін құру
1 теорема бойынша:
(2.7)
теңдеуі біртекті емес теңдеудің шешімі болып табылады. Бірақ,
Т е о р е м а
Бұл теорема біртекті емес теңдеулерді шешудің әмбебап түрі
М ы с а л ы
1.
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
у=5 тұрақтысы бастапқы біртекті емес теңдеудің жергілікті шешімі
Енді біртекті теңдеудің жалпы шешімін табайық. Оның түрі
2 теорема бойынша бастапқы теңдеудің жалпы шешімі келесі
Табылған шешімнің дұрыстығын дифференциалдау арқылы табуға болады.
(2.5) біртекті емес теңдеудің 2 жергілікті шешімі бар
Т е о р е м а
Жалпы жағдайда біртекті емес теңдеудің шешімін табу қиын,
а) Р(х) – белгілі бір келесі көпмүше P(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm.
шешімін:
y(x)=ax3+bx2+cx+d
түрінде табамыз. Мұндағы a, b, c, d -
(6ax+2b)+2(3ax2+2bx+c)+2(ax3+bx2+cx+d)=x3+x.
Бұдан шығатыны:
Ізделініп отырған қорытқы шешімнің түрі:
б) P(x)=(b0xm+b1xm-1+…+bm)eax алайық. Шешімін m дәрежесін eax дәрежеге
шешімін
y(x)=(ax2+bx+c)ex
түрде іздейміз.
ескере отырып, коэффицентті берілген теңдеуден анықтаймыз:
(ax2+bx+c)ex+(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=(x2+1)ex
ex-ке қысқартқаннан кейін және х-тің бірдей дәрежелерін теңестіргеннен
аламыз. Ізделінетін жергілікті шешім келесі түрде болады:
2.2 Коши есебін шығару
Дифференциалды теңдеулердің тек кейбіреулерінің шешімін белгілі элементер функция
оның функциясы арқылы табылатын шешімі жоқ. Сондықтан да
Дифференциалдық теңдеуді а н а л и т
С а н д ы қ ә
Соған қарамастан да, сандық әдіс аналитикалық-жобалама әдісіне қарағанда
Ең алғашында, бірінші ретті дифференциал теңдеулер үшін Коши
берілсін. х0 нүктесіндегі y=f(x) функциясынан туынды алу анықтамасы
Бұдан мынандай қорытындыға келуге болады:
(2.8)
ақырлы Δх кезінде. Аланған (2.8) теңдігі Эйлер
х осіне, х=0 ден бастап, бір бірінен τ
Коши есебін жобалап тек торлардың түйіндерінде шығару мүмкін.
(2.8) теңдігіне байланысты туындысын келесі түрде беруге болады:
Мұнда ∆х-тің ролін τ атқарады. Онды бастапқы теңдеуді
Мұннан у(х1) табылады:
(2.9)
Бастапқы шарттан (х0)=y0 белгілі болғандықтан, онды шешімін х1
Жалпы жағдайда:
(2.10)
Осы формула бойынша тордың кез келген нүктесінің шешімін
Есепті шығару:
Эйлер әдісімен Коши есебін шығару:
Бұл есепті шығару үшін мен τ=0.1 деп алдым.
Қолданылатын әдістің формуласы келесі түрге ауысады:
Есепті шығару барысында келесі нәтижеге келдім:
y(x1)=y(0.1)=1.1*1+0=1.1;
y(x2)=y(0.2)=1.1*1.1+0.1*0.1=1.21+0.01=1.22;
y(x3)=y(0.3)=1.1*1.22+0.1*0.2=1.342+0.02=1.362
3 MatLab функциялары
Динамикадығы көптеген жүелер мен құрылғылар, сонымен қатар басқа
шектік шарттарымен y(t0 tend, p)=b, мұндағы t0 tend
Төменде осы дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған сандық әдістер
Қарапайым дифференциал теңдеулердің шешушісі
Қарапайым дифференциал теңдеулерді шешу үшін Mat Lab-та әртүрлі
Ескерту
Бұл жерде solver (шығарушы) аталуы КДТ-ді шығарудың сандық
Шешушілер дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешудің келесі әдістерін жүзеге
ode45 – 4, 5 ретті Рунг-Куттың бір қадымды
ode23 – 2, 4 ретті Рунг-Куттың бір қадымды
ode113 – айнымал ретті Адамс-Башворт-Мултон көп қадымдық әдіс.
ode23tb – шешім басында пайдаланатын Рунг-Кутт нақты емес
Шешімнің салыстырмалы түрде нақты еместігіне қарамастан, бұл әдіс
ode15s – сандық дифференциалдау формулаларын пайдаланатын айнымалды ретті
ode23s – 2-ші ретті Розенброк модификацияланған формулаларын пайдаланатын
ode23t – интерполяциясы бар трапеция әдісі. Бұл әдіс,
pdepe – жергілікті туындыдағы эллипстік және параболдық дифференциалдық
Барлық әдістер y’ = F(t, y) түрінде берілген
Дтфференциалдық теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылатын функцияларда келесі
F - ODE-файлдың аты, яғни вектор-баған қайтаратын t
tspan - [to tfіnal] интегралдау интервалын анықтайтын вектор;
y0 - бастапқы шарттардың векторы;
optіons - odeset функциясы арқылы құрылатын аргумент;
p1, p2 - F функциясына берілетін параметрлер;
T, Y - әр жол Т вектор-бағанында қайтарылған
Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылатын функцияларды қарастырайық
[T, Y] = solver(‘F’, tspan, y0) y0 бастапқы
[T, Y] = solver(‘F’, tspan, y0, optіons) optіons
[T, Y] = solver(‘F’, tspan, y0, optіons, p1,
КДТ жүйесін шешкіштер n теңдеулерді шешуге мүмкіндік береді.
m-файлды құру. Жүйеге тәуелді болмастан ол мына түрге
functіon dy = solverDE(t, y)
dy = zeros(n, 1);
dy(1) = f1 (t, y(1), y(2), -, y(n));
dy(2) = f2 (t, y(1), y(2), -, y(n));
dy(n) = fn (t, y(1), y(2), -, y(n));
Шешімі және графигі:
>> [T, Y] = solver(‘solverDE’, [t0 tfіnal], [y10
>> plot(T, Y)
4 MatLab көмегімен есептеулерді орындау
(жоғарғы реттегі дифференциалдық теңдеулер)
1. Реттерін төмендетуге болатын теңдеулер
Теориялық анықтама
(1.1) түрінде берілген теңдеулер n - ретті
, (1.2) түрінде берілген теңдеу, ізделініп отырған
қойылымы ( - ең төменгі туынды),
Мысал 1.1
теңдеуін есептеңіз.
Шешілуі (аналитикалық).
Теңдеудің сол жағында ізделініп отырған функцияның үшінші ретті
,болғандықтан , ,
, болғандықтан, соңғы теңдеуді былай жазуға болады:
, ,
немесе
.
Тағы да интегралдау арқылы, берілген теңдеудің жалпы шешімін
.
MATLAB жүйесіндегі шешімі.
(MATLAB командаларының синтаксисі төменде келтіріледі.)
1) Теңдеуді аналитикалық жолмен шешейік
>> dsolve('D3y=t*2')
ans =
1/12*t^4+1/2*C1*t^2+C2*t+C3.
2) Теңдеуді сандық түрде шешіп, графигін тұрғызайық.
Бұл үшін, Коши есебін (яғни, бастапқы шарттарын беру
Теңдеудің шарттары берілген m.- файл құрамыз:
Интегралдау интервалын, бастапқы шарттарын береміз де, есепті шешеміз.
>> tspan=[0 20];
>> y0=[1 1 1];
>> [t,y]=ode45('ex11',tspan,y0);
>> plot(t,y)
Мысал 1.2
теңдеуін шешу.
Теңдеуді аналитикалық жолмен шешеміз.
Бұл (1.2) түрінде берілген теңдеу, ,
ең төменгі туындысын жаңа белгісіз
Бұдан . Осылайша, берілген теңдеу
Бұдан аламыз, мұнда бірінші бөлік
үш рет интегралдау арқылы:
;
;
;
немесе
,
мұнда
, .
MATLAB жүйесіндегі шешімі.
1) Теңдеуді аналитикалық жолмен шешейік.
>> dsolve('D4y*t+D3y=0')
ans =
C1+C2*t+C3*t^2+C4*t^2*log(t)
2) Теңдеуді сандық түрде шешіп, графигін тұрғызайық.
Бұл үшін, Коши есебін (яғни, бастапқы шарттарын беру
Теңдеудің шарттары берілген m.- файл құрамыз:
Программаның «циклданбауың үшін және 0-ге бөлінбеуі үшін есептің
Интегралдау интервалын, бастапқы шарттарын береміз де, есепті шешеміз.
>> y0=[1 1 1 1];
>> tspan=[0 20];
>> [T,Y]=ode45('ex12',tspan,y0);
>> plot(T,Y(:,1))
Мысал 1.3
теңдеуін шешу.
Теңдеуді аналитикалық жолмен шешеміз.
Бұл (1.5) түрінде берілген теңдеу.
болсын, онда , сондықтан теңдеу келесі
, .
Айнымалыларды бөлу( ) және интегралдау арқылы келесі
, .
, онда болғандықтан,
мұнда
; ;
. (А)
(!) Ескерту. Егерде болса, яғни
MATLAB жүйесіндегі шешімі.
1) Теңдеуді аналитикалық жолмен шешеміз.
>> dsolve('D4y=2*D3y')
ans =
C1+C2*t+C3*t^2+C4*exp(2*t)
2) Теңдеуді сандық түрде шешіп, графигін тұрғызайық.
Бұл ұшін, Коши есебін (яғни, бастапқы шарттарын беру
Теңдеудің шарттары берілген m.- файл құрамыз:
>> y0=[1 1 1 1];
>> tspan=[0 20];
>> [T,Y]=ode45('ex13',tspan,y0);
>> plot(T,Y(:,1))
2. Тұрақты коэффициенттері арқылы берілген сызықты біртекті
Теориялық анықтама
, (2.1) түрінде берілген дифференциялдық теңдеу,
тұрақты коэффициентті - ші ретті біртекті
(2.2), - оның сызықтық
Егер характеристикалық теңдеудің әртүрлі нақты
(2.4)
және де (2.1) теңдеуінің шешімінің жалпы түрі
Егер (2.3) теңдеуі нақты бірдей
. (2.6)
Мысал 2.1
теңдеуін шеш.
Шешімі (аналитикалық).
Берілген тұрақты коэффициентті теңдеу үшін характеристикалық теңдеу құрамыз
.
Оң жағын түрлендіру арқылы келесі теңдеуді аламыз:
,
бұл жерден
шығады.
(2.5) формуласына сәйкес жалпы теңдеу аламыз
.
MATLAB жүйесіндегі шешімі.
Аналитикалық:
>> dsolve('D3y-2*D2y-Dy+2*y=0')
ans =
C1*exp(t)+C2*exp(2*t)+C3*exp(-t)
Сандық:
>> y0=[1 1 1 ];
>> tspan=[0 20];
>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);
>> plot(T,Y)
Мысал 2. 2
теңдеуін шеш.
Шешімі.
Түбірдің біреуін сынау әдісі арқылы
,
болғандықтан,
теңдеу келесі түрге айналады
,
бүл жерлен . Осылайша, характеристикалық теңдеу
(2.6) және (2.2) формулаларына сәйкес жалпы теңдеуді аламыз
MATLAB жүйесіндегі шешімі.
>> dsolve('D3y-7*D2y+15*Dy-9*y=0')
ans =
C1*exp(t)+C2*exp(3*t)+C3*exp(3*t)*t
>> y0=[2 0.5 0];
>> tspan=[0 10];
>> [T,Y]=ode45('ex22',tspan,y0);
>> plot(T,Y(:,1))
ҚОРЫТЫНДЫ
Курстық жоба «Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу» деп аталады.
MatLab принципиалдық жаңа программа пакеті. MatLab-ты көптеген батыс
Курстық жобаны орындау барысында MatLab пакетінің көптеген функцияларынан
Есептеулер жүргізу барысында қателіктердің түрлері: дөңгелектеу қателігі және
Қорыта келгенде, MatLab пакетін пайдалану математикалық анализдегі алға
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
А.У. Жолдасбеков, А.Т. Лукьянов. Прикладная математика и программирование
А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державцев, И.Е. Юруть.
Курс лекции Айдос Е.Ж.
Бугоров Я.С., Никольский С.М. «Дифференциальное и интегральное исчисление.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
басы
Tspan=[0 20]
Y0=[1 1 1]
Ode45(‘ex11’,tspan,y0)
[t,y]=ode45
Plot(x,y)
басы

Ұқсас жұмыстар

Жеке туындылардағы дифференциал теңдеулерді шешу жайлы

Жәй дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін екі нүктелі импульсті түрткілі шеттік есептің шешімін табудың алгоритмін құру

Функцияларды енгізу терезесі

Коэффициенттері тұрақты және айнымалы - ретті сызықты дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуға операциялық есептеулерді қолдану

Операциялық есептеуді дифференциалдық теңдеулерді шешуге қолдану

«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»

Сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Сызықты жай дифференциалдық теңдеулер

Зерттеу процессі кезіндегі экспериментті жоспарлау әдістері