Лагранж интерполяциялық формуласы

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ
МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА ЖӘНЕ ТЕХНОЛОГИЯЛАР ФАКУЛЬТЕТІ
Математикалық үлгілеу және компьютерлік технологиялар құжырасы
КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
тақырыбы «ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ» МАТЕРИАЛДАРЫ НЕГІЗІНДЕ ЭЛЕКТРОНДЫҚ КУРС ҚҰРУ
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
1 ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ
1.1 Интерполяциялау есебінің қойылуы
1.2 Әртүрлі ретті ақырғы айырмалар
1.3 Айырмалар кестесі
1.4 Жалпыланған дәреже
1.5 Ньютонның интерполяциялық формулалары
1.5.1 Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы
1.5.2 Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы
1.5.3 Функцияның кестесін тығыздау
1.5.4 Ньютонның интерполяциялық формуласының қалдық мүшелері
1.6 Лагранж интерполяциялық формулалары
1.6.1 Лагранж интерполяциялық формуласы
1.6.2 Лагранж интерполяциялық формуласының ықшамдалған түрі
1.6.3 Лагранж формуласы бойынша есептеуді ұйымдастыру
1.6.4 Бірдей қашықтықта орналасқан түйіндер үшін Лагранж
интерполяциялық формуласы
1.6.5 Лагранж интерполяциялық формуласының қалдық мүшесін бағалау
1.7 Гаусс интерполяциялық формулалары
1.7.1 Гаусстың бірінші және екінші интерполяциялық формулалары
1.8 Стирлинг интерполяциялық формуласы
2 «ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ» ЭЛЕКТРОНДЫҚ КУРСЫН ҚҰРУ
2.1 Электрондық курстың құрылымы
2.2 HTML тілі және оның командаларын қолдану
2.3 FrontPage бағдарламалық жабдығы
2.4 «Функцияны интерполяциялау» курсының құрылымы
ҚОРЫТЫНДЫ
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
КІРІСПЕ
Күнделікті өмірде кездесетін көптеген ғылыми-техникалық есептерді шешу барысында
Әдетте, жуықтаушы функцияны интерполяциялаушы функция деп атайды. Соңғы
Курстық жұмыстың мақсаты: Ньютон, Лагранж, Гаустың бірінші және
Жоғарыдағы интерполяциялау формулаларының қорытылу жолдарын қарастырып, аталған тақырыпқа
Курыстық жұмыстың өзектілігі: жұмыстың нәтижелерін «Сандық әдістер» пәнінен
Курстық жұмыс теориялық, электрондық курс құру бөлімдерінен, кіріспеден,
Теориялық бөлімінде «Функцияны интерполяциялау» формулаларына толықтай талдау жасалып,
Курстық жұмыс нәтижелерін «Сандық әдістер» пәнінен информатика, қолданбалы
1 ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ
1.1 Интерполяциялау есебінің қойылуы
Бізге функция [a,b] аралығында кесте түрінде берілген. [a,b]
Белгілі бір класқа жататын, интерполяциялау түйіндерінде қабылдайтын мәндері,
- функциясының түрін анықтау керек.
- интерполяциялаушы функция деп аталады. Геометриялық тұрғыдан қарастырсақ,
Егер функциясын -ші
Сонымен функцияны интерполяциялау есебі төмендегідей түрде қойылады:
Дәрежесі -нен артық емес, интерполяциялау түйіндерінде
-ші дәрежелі полиномының түрін анықтау
Сурет 1.1
1.2 Әртүрлі ретті ақырғы айырмалар
функциясы берілген.
арқылы функцияның аргументінің өсімшесін белгілейік (қадам).
Онда:
Осы сияқты жоғарғы ретті ақырғы айрмаларын анықтауға болады:
Мысалы:
Мысал қарастырайық: функциясы үшін ақырғы
3-ші ретті ақырғы айырманың тұрақты екені көрініп тұр.
Егер -ші
формуласымен анықталады. Мұндағы
Шындығында да:
Ньютон биномының формуласын қолданып, -тің
, мұндағы
Дәл осындай жолмен -тің
мұндағы
Осылайшы қарастыра отырып:
екендігіне көз жеткіземіз.
егер
Мұндағы символын
Мұндағы - тұрақты және
1)
2) с –
3) (оператор теоремасынан белгілі).
1.3 Айырмалар кестесі
Практикада функциясы көбінесе кесте түрінде
Мұндағы нүктелері бір-бірінен бірдей қашықтықта
.
-ақырғы айырмаларды төмендегі қатынастардың көмегімен анықтауға болады:
Сонымен ақырғы айырмасын анықтау үшін
Алдымызға төмендегідей есеп қояйық:
кестелік мәндерін ғана пайдаланып, есептейтіндей
(2)-нің бірінші теңдеуінен:
Ньютон биномының формуласын қолданып, . Енді
.
Немесе
(4)
Мысалы:
т.с.с.
Сонымен -ші ретті ақырғы айырманы есептеу
Ақырғы айрмаларды есептеу үшін горизонталь және диагоналдық
Практикада көбінесе диагоналдық кестелер қолданылады:
1.4 Жалпыланған дәреже
Анықтама. санының -ші
Мұндағы -кезкелген белгіленген тұрақты сан.
.
Ал болғанда, кәдімгі дәрежемен сәйкес
, .
Жалпыланған дәреженің бірінші ақырғы айырмасын қарастырайық:
Сол сияқты:
Мұндағы . =0,
1.5 Ньютонның интерполяциялық формулалары
1.5.1 Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы
функциясы аралығында кесте түрінде берілген.
const.
Интерполяциялаушы полиномды төмендегідей түрде іздейміз:
(1) полиномы төмендегідей екі шартты қанағаттандыруы қажет:
1) (1) -дің дәрежесі n-нен артық емес болу
2) (1) полиномының интерполяциялау түйіндерінде қабылдайтын мәндері кесте
және ,
Жалпыланған дәреженің анықтамасын пайдаланып, (1)-ді төмендегідей түрде жазайық:
.
Сонымен, полиномының түрін анықтау үшін
а) -ді анықтау үшін (3)-те
в) анықтау үшін
Мұнда десек, онда
.
с) коэффициентін анықтау үшін,
мұнда десек, онда:
Осы үрдісті әрі қарай жалғастыра отырып, (3) полиномының
,
Табылған коэффициенттердің мәндерін (3)-ке қойсақ:
Немесе жалпыланған дәрежені ашып жазсақ:
(5), (6) Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласы деп аталады.
(5) немесе (6) полиномға қойылған (2) шартты қанағаттандырады:
1) Жақшаларды ашып жазсақ, полиномның дәрежесі n-нен артық
2) . Енді
Сонымен,
Практикада есептеуді жеңілдету үшін, Ньютонның (5), (6) түріндегі
(7) формуласында болғанда сызықтық
Сонымен, Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы кез-келген
1.5.2 Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы
функциясы аралығында кесте түрінде берілген.
Функцияның интерполяциялау нүктелерінен өзге нүктелердегі мәнін жуықтап есептеу
, -
Интерполяциялаушы полиномды төмендегідей түрде іздейміз:
Жалпыланған дәреженің анықтамасын пайдаланып:
(1) немесе (2) полиномдары төмендегідей екі шартты қанағаттандыруы
1) Полиномның дәрежесі n-нен артық емес.
2) Интерполяциялау түйіндерінде полиномның қабылдайтын мәндері функцияның кестелік
және , .
Полиномының түрін анықтау үшін a0 ,a1
а) a0 коэффициентін анықтау үшін (2)-де
в) a1 коэффициентін анықтау үшін
мұнда болсын, онда:
с) а2 коэффициентін анықтау үшін полиномның
Мұнда болсын, онда:
Осы үрдісті әрі қарай жалғастыра отырып,
,
(3) формула бойынша анықталған коэффициенттерінің
,
немесе
(4), (5) формулаларын Ньютонның екінші интерполяциялау формуласы
Сонымен, нүктесі
(4), (5) формулаларын практикада қолдану үшін
енгізіп, ықшам түрге келтіруге болады:
1.5.3 Функцияның кестесін тығыздау
Практикада, кесте түрінде берілген функцияның қасиеті туралы толығырақ
Бұл операцияны функцияның кестесін тығыздау немесе субтабуляциялау деп
Есептеу жұмыстарын жүргізуді жеңілдету үшін Горнер сызбасы қолданылады.
.
Мұнда ақырғы айырмалар кестесі құрылады. Ақырғы айырмалардың мәндері
Практикада функцияның кестесін тығыздау үшін көп жағдайда интерполяциялық
Мысал: функциясы
n x Sinx ∆yi ∆2yi ∆3yi
0 0,15 0,14944 0,00494 0 -0,0001
1 0,155 0,15438 0,00493 -0,0001 -0,0001
2 0,16 0,15932 0,00493 0 0
3 0,165 0,16425 0,00493 0 0
4 0,17 0,16918 0,00493 0 -0,0001
5 0,175 0,17411 0,00493 -0,0001
6 0,18 0,17903 0,00492
7
Бұл кестеде тұрақты деп қарастыруға
Есептеуді Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы бойынша жүргізейік:
ретінде деп алайық .
Есептеуді төмендегі блок-сызба бойынша ұйымдастыруға болады, мұндағы:
жаңа аралық , Н1 – жаңа қадам, хО
Сурет 1.2 Субтабуляциялау блок - сызбасы
Нәтижесіндетиже кесте:
x y
0,155 0,15932
0,156 0,15932
0,157 0,15931
0,158 0,15929
0,159 0,15926
0,16 0,15922
0,161 0,15917
0,162 0,15911
0,163 0,15904
0,164 0,15896
0,165 0,15887
1.5.4 Ньютонның интерполяциялық формуласының қалдық мүшелері
Ньютонның формуласын қарастырған кезде интерполяциялау түйіндері бір-бірінен бірдей
Лагранждың қалдық мүшесінің формуласында:
екенін ескерсек, онда:
(1) формуласын аламыз. Мұндағы
Сонымен Ньютонның І-ші интерполяциялық формуласының қалдық мүшесі (1)
Дәл осылай Ньютонның ІІ-ші интерполяциялық формуласының қалдық мүшесін
(2)
Жіберілген қатенің шамасына тигізетін ықпалы
Сондықтан, нүктесі екі тораптық нүктенің
Ньютонның интерполяциялық формуласын құру кезінде нольге жуық
және функциясы үзіліссіз екендігін ескеріп,
алуға болады, мұндағы , яғни
Сонымен, Ньютонның бірінші формуласының қалдық мүшесі:
,
Ньютонның екінші формуласының қалдық мүшесі:
,
1.6 Лагранж интерполяциялық формулалары
1.6.1 Лагранж интерполяциялық формуласы
Біз бұған дейін интерполяциялау түйіндерінің ара қашықтықтары
Бізге функциясы кесте түрінде берілген
,
Дәрежесі n-нен артық емес және интерполяциялау түйіндерінде қабылдайтын
Сурет 1.3
Алдымен төмендегідей есепті қарастырайық:
(1) болатындай полиномының
Ізделініп отырған полиномы n нүктесінде
(2)
Сі тұрақты коэффициент.
(2)-де , =1.
Сі –дің мәнін (2)-ге қойып:
,
Интерполяциялау қадамы тұрақты болмаған жағдайда функцияның мәнін жуықтап
,
Бұл полином төмендегідей шарттарды қанағаттандырады:
полиномның дәрежесі n-нен артық емес.
,
(5) Лагранждың интерполяциялау формуласы деп аталады.
Мысалы: Функция кесте түрінде берілген. Функция мәнін жуықтап
x 1 3 4
y 5 2 12
n=2
1.6.2 Лагранж интерполяциялық формуласының ықшамдалған түрі
Практикада Лагранж интерполяциялық формуласын қолдану үшін төмендегідей белгілеу
,
(1)-ді х бойынша дифференциалдасақ,
,
(2)-де , онда:
,
(1) мен (3)-ті (5) формулаға қойсақ:
,
(4) түріндегі Лагранж интерполяциялық формуласы практикада функцияның мәнін
Сурет 1.4 Лагранж интерполяциялық формуласының блок – сызбасы
1.6.3 Лагранж интерполяциялық формуласы бойынша есептеуді ұйымдастыру
Лагранж интерполяциялау формуласымен функцияның мәнін жуықтап есептеуді жеңілдету
,
- Лагранж коэффициенттері деп аталады.
Сонымен Лагранж интерполяциялық формуласы:
(2)
Мұндағы ,
Лагранж коэффициенттерінің формасы (3) бүтін сызықтық ауыстыру
Шындығында да ,
(3`)
Мұндағы
Енді Лагранж коэффициенттерін есептеу сызбасын қарастырайық. Коэффициенттерді есептеу
(4)
Бірінші жатық жолының элементтерінің көбейтіндісін P0 , екінші
Сонымен, ,
Ал,
,
Егер интерполяциялау тораптары бір-бірінен бірдей қашықтықта орналасса, онда
,
мұндағы
Есептеуді жеңілдету үшін төмендегі сызбаны қолданамыз:
i xi-xj ( j≠ I )
Pi yi yi/pi
0 x-x0 x0-x1 x0-x2 … x0-xi … x0-xn
1 x1-x0 x-x1 x1-x2 … x1-xi … x1-xn
… … … … … … … …
i xi-x0 xi-x1 xi-x2 … x-xi … xi-xn
… … … … … … … …
n xn-x0 xn-x1 xn-x2 … xn-xi … x-xn
Пn+1(x)
∑yi/Pi
1.6.4 Бірдей қашықтықта орналасқан түйіндер үшін Лагранж интерполяциялық
кесіндісі нүктелері арқылы тең
Бірдей қашықтықта орналасқан түйіндер үшін Логранж интерполяциялық формуласын
(1)
; ;
;
Немесе
(3)
(4)
(3), (3), (4)-ті (1)-ге қойсақ:
(5)
1.6.5 Лагранж интерполяциялық формуласының қалдық мүшесін бағалау
Интерполяциялау тораптарында функцияның қабылдайтын мәндері ,
(1)
функциясы аралығында
Мұндағы тұрақты коэффициент.
функциясы аралығында «
(2)-дегі k –коэффициентін функциясы
Анықтық үшін функциясы
мұндағы
(3)
Сонымен, k –ның мұндай мәнінде функциясы
кесіндінің ұштарында функциясы нольге айналады.
Осы кесінділердің әрқайсысына математикалық анализден белгілі Ролль теоремасын
Ұштарында болатындай жаңа кесінділер
табылады.
Табылған жаңа кесінділерге Роль теоремасын қолдансақ, онда
Сонымен ұштарында функциясы нольге айналатын
-барлық саны «n-1»
Осы үрдісті әрі қарай жалғастыра отырып, ең ақырында
(4)
Енді формуласына қайтадан оралайық.
Мұндағы =0, себебі
Сонымен,
Енді -деп алайық, онда
(5)
(5) пен (3) теңдіктерінің оң жақтарын салыстыра отырып:
кесіндісінің кез-келген нүктесі болғандықтан, соғңы тұжырымды төмендегідей түрде
,
,
(7)
(7)- Лагранж интерполяциялық формуласының қалдық мүшесін анықтайды.
1.7 Гаусс интерполяциялық формулалары
1.7.1 Гаусстың бірінші және екінші интерполяциялық формулалары
Бізге функциясы кесте түрінде берілген:
; ,
Алдымен Гаусстың интерполяциялық формуласын қорытып шығарайық. Аралықтың
, мұнда
Бізге , болатындай,
Соңғы шарттан барлық i және k мәндері үшін
екені шығады. Полиномды мына түрде іздейміз:
(2)
Жалпыланған дәрежені енгізе отырып,
(3)
аламыз.
Ньютонның интерполяциялық формуласын қорыту үшін пайдаланатын әдісті коэффициенттерді
айнымалысын енгізе отырып және (3) формуласына сәйкес ауыстырулар
(4)
немесе қысқаша түрде
(4′ )
Мұнда және
Гаусстың бірінші интерполяциялық формуласы жоғарғы центрлік айырымдар
Сол сияқты төменгі центлік айырымдардан тұратын
Гаусстың екінші интерполяциялық формуласы мына түрде болады:
(5)
немесе қысқаша түрде
(5′ )
мұнда .
Гаусстың екінші интерполяциялық формуласында төменгі центрлік айырымдар қолданылады.
Центрік айырымдар кестесі
1.8 Стирлинг интерполяциялық формуласы
Гаусстың бірінші және екінші интерполяциялық формулаларының орта арифметикалық
мұндағы .
, екенін оңай көруге
Ақырғы айырымдарды есептеу үшін центрлік айырымдар кестесі қолданылады.
2 «ФУНКЦИЯНЫ ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ» КУРС ҚҰРУ
2.1 Электрондық курстың құрылымы
Электрондық курс - бұл компьютер арқылы оқу курсынын
Электрондық курс көбінесе екі бөлімнен қүралады:
1) презентациялық бөлімі;
2) оқу құралының негізгі ақпаратынан құралған тапсырма бөлімі.
Электрондық курс төмендегідей қасиеттермен сипатталуы қажет:
интерактивтік қасиет — қайтымдылық шарты;
тез арада керекті ақпаратты табу мүмкіншілігі;
түсіндірмелерге көп рет, жылдам қатынау мүмкіншілігі;
мәтінді экранға шығарып қана қоймай, оны түсіндіріп көрсетуге,
модельдеуге және т.б.
кез-келген қолданушының тез арада белгілі бір бөлімге қатысты
керекті оқу ақпаратын, мысалы, интернет арқылы жаңарту, өңдеу
қасиеттері жатады.
Әрбір оқулық бір жағынан автономды болу керек, екінші
Оқулық келесідей бөлімдерден тұруы қажет: сыртқы қабы, титулдық
Оқулықтың келесідей басқару элементтері болуы қажет: оқулықтың кез-келген
Электрондық курстың қатардағы беттің құрылымы келесідей: курстың мазмұны;
2.2 НТМL тілі және оның командаларын қолдану
НТМL тілінің бастапқы мәтінде белгілейтін командалары тэг (tag)
НТМL құжатын жасауда кез-келген қарапайым мәтіндік редакторды қолдануға,
1) НТМL құжатының кез-келгені ... тэгтері арасында орналасады.
2) құжаттың тақырыбы ... тэгтерінің
ортасында тұрады. Әдетте, бұл бөлікте ... тэгтерімен шектелетін
3) жазылатын мәтін құжат тұлғасы деп аталатын ...
тегтерінің ортасына жазылады.
Осы айтылған төрт тэг НТМL құжатының кез-келгенінде болуы
Гипермәтін - қосымша элементтерді басқару мақсатында ішіне арнаулы
Логикалық стильдер , , тэгтері сияқты сөздерді
1) ағылшынның emphasis – акцнет сөзінен шыққан, яғни
2) ағылшынның strong emphasis – күшті акцент дегені,
3) бағдарлама мәтінін көрсету үшін қолданылатын стиль түрі:
4) ағылшынның sample – мысал, үлгі деген сөзі,
5) ағылшынның keyboard – пернетақта
Пернелердің енгізілген сөз тіркестерін көрсету мақсатында қолданылады:
6) ағылшынның variable – айнымалы сөзі, бағдаламадағы айнымалы
НТМL-да мәтіннің бір фрагментінен екіншісіне ауысу