Иррационалды теңсіздіктер
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
1 СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІҢ
1.1 Теңдеу мен теңсіздік жайлы ұғымның қысқаша тарихы
1.2 Стандартты емес есеп пен стандартты есеп арасындағы айырым
2 СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Жалпы стандартты емес есептерді шығару әдістемесі
2.2 Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісін іздеу
3. ТЕҢДЕУ МЕН ТЕҢСІЗДІКТІҢ СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТҮРІН ШЕШУ
3.1 Параметрі бар стандартты емес теңдеу ман теңсіздіктерді графикалық
3.2 Стандартты емес күрделі иррационалды теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
3.3 Стандартты емес теңдеулерді геометриялық және векторлық тілге аудару
ҚОРЫТЫНДЫ
ӘДЕБИЕТ ТІЗІМІ
КІРІСПЕ
Оқушыларға қиыншылықтарды әдеттегідей мектеп оқулықтары мен басқа да оқу
Стандартты еместерге шығарудың дәстүрлі алгоритмі келмейтін теңдеулер мен теңсіздіктер
Мысалы, егер , функциаларының
Сонымен қандай есептер стандартты емес деп аталады екен? “Стандартты
Алайда, “стандартты емес” ұғымы салыстырмалы ұғым екенін ескеру керек.
Бұл “стандартты емес” есептер әртүрлі болуы мүмкін. Кейбірі сырттай
Осы тақырыптағы курстық жұмысты жазбас бұрын алға қойылған мақсат:
Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздік ұғымының анықтамасын жүйелеу;
Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудың әдістемесімен толық танысу;
Теңдеу мен теңсіздіктің стандартты емес түрін шығарудағы ең тиімді
Зерттеу жұмысының міндеттері:
Теңдеу мен теңсіздік ұғымының шығу мен даму тарихына қысқаша
Стандартты емес және стандартты есеп, сондай-ақ теңдеулер мен теңсіздіктер
Осы классификация бойынша жіктелген есептердің мектепте оқыту әдістемесіне тоқталу;
Оқушылар бойынан стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін
Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу алгоритімін құрудың ең
Мысал ретінде күрделі иррационалды, парметрлі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің
Курстық жұмыс тақырыбының өзектілігі:
Бұл жұмыстың тақырыбы мектеп курсында көбінесе тек факультатив сабақтарда
Пәні: Математиканы оқыту әдістемесі.
Зерттеу объектісі: Математикалық стандарты емес теңдеулер мен теңсіздіктер ұғымы.
Болжамы: Жұмысты жазу барысында пайдаланған әдебиеттерден байқалғаны- осы тақырыпқа
1 СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІҢ
1.1 Теңдеулер мен теңсіздіктер жайлы ұғымның қысқаша тарихы
4000 жылдай бұрыңғы уақыттың өзінде-ақ вавилондықтар мен мысырлықтар жер
Теңдеулер арқылы шығарылатын есептер ең ежелгі көптеген текстерде кездеседі.
Ахмес папирусындағы бір есеп және оны шешу мысалы мынадай:
1-есеп. “Мөлшер мен оның, төрттен бір бөлігін бірге алғанда
Бұл есепті қазіргіше шығарғанда
х +1/4х=15 тендеуі құрылады.
Мұны шешкенде табатынымыз: х= 12.
Ахмес папирусында есеп шешуі былай басталады: “4-тен бастап сана;
Шешудің бұл мысырлық методы мәнісі жағынан болжау методы болып
Бұл метод орта ғасырларда Азия мен Европада кеңінен қолданылған
Теңдеулер құруға берілген есептердің ең ежелгі алғашқыларына, сірә, ежелгі
Мәскеулік папирустағы есептердің біреуі мынау.
2 - е с е п. “Сан және оның
Бұл есепті шешуге арналған теңдеуді қазіргіше жазғанда
нандай болады:
х+1/2х=9.
Ежелгі гректердің “геометриялық алгебрасында” теңдеулерді шешу мәселесі олардың оң
Грек математикасындағы біздіп, заманымыздың I-II ғасырларында басталған бетбұрыс, жана
Диофант біздің заманымыздың 250 жылдары Александрияда өмір сүрген. Тек
Диофанттың 13 кітаптан түратын, “Арифметика” деп аталатын көлемді еңбегінің
Диофант “Арифметикасының” баяндау стилінің ежелгі грек математиктерінің канондарынан сапалы
Диофант теңдеулерінде белгісіз сан (аритмос) S сан коэффиценті болғанда
а) Hv(s(((v ((0((s( бізше x+8x-(5x2+1)=теңдеуін белгілейді.
б) Hv((v ((((((0(( бізше x3+13x2+5x+2 көпмүшесін білдіреді.
Диофанттың “Арифметикасында” осындай символикамен белгіленген анықталған, анықталмаған теңдеулерге келтірілетін
Анықталған теңдеуге арналған есептер сызықтық, квадрат, тек бір дербес
а және Ь өзара жай сандар болып келген жағдайда
ax3+bxy+cy2+ax+by+f=0
теңдеуін жалпы түрде шешу проблемасы қарастырады. Диофант теңдеулері қазіргі
Орта ғасырлар заманында алгебра, алгебралық символика бойынша жинақталған мағұлматтар,
Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы арқылы шешетін
Ал қазіргі заманда теңдеу мен теңсіздіктің классификациясы жасалып, стандартты
1.2 Стандартты емес есеп пен стандартты есеп арасындағы айырым
Берілген есеп түріндегі есепті шешу алгоритмі бойынша мектеп курсындағы
Стандартты емес есептер. Бұларды шешу үшін мектеп курсында нақты
Неліктен мектеп оқушылары көп жағдайда есепті дұрыс шығарып, таныс
Мұғалімдердің жұмыс тәжірибесінің талдауы онда оқытудың бірнеше әдісін әр
Алғашқы әдісте оқушылар шығару керек деп есептелетін барлық есептер
Есептің осындай әрбір типі үшін мұғалім бірнеше, мысал арқылы
Бұл барлық есептер стандартты есептер класын құрады. Бұнда тек
Мәселе - мектепте оқытылатын есепті шығару алгоритмі оқу құралдарында,
Қысқартылған алгоритмдер математика курсында әртүрлі берілуі мүмкін: ауызша ережелер,
Қысқартылған алгоритмдерді қадамдап жіктеу бағдарламасын қалай ашуға болатынын көрсететін
Ауызша ереже. Осындай ереженің мысалы ретінде туынды дәрежесіне көтеру
Осы ереже негізінде осындай алынған алгоритмді құруға болады.
1 қадам – туындының барлық көбейткіштерін анықтау.
2 қадам - әр көбейткіштің берілген дәрежесін табу.
3 қадам – 2-ші қадам нәтижесін көбейту.
Формула. Мектепте төменде көрсетілген түрде берілетін квадрат теңдеу түбірінің
теңдеуінің түбірлерін (егер және
формуласы арқылы табуға болады.
Бұл формуланы (қысқартылған алгоритм) осындай қадамдап жіктеу бағдарламасына ашу
1 қадам - шартын тексереміз. Егер ол
2 қадам -
3 қадам - шартын тексереміз. Егер
4 қадам – түбір мәнін формуласы
2 және 4 – қадамдар күрделі және оларды қарапайым
3. Тепе-теңдік. Мысал ретінде теңдігін алайық.
1 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін табу
2 қадам – екі мүшеліктің екінші мүшесін табу
3 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін квадратқа шығару
4 қадам - екі мүшеліктің екінші мүшесін квадратқа шығару
5 қадам - екі мүшеліктің бірінші, екінші мүшелерінің туындысын
табу
6 қадам - бесінші қадамның нәтижесін екіеселеу
7 қадам – үшінші, төртінші және алтыншы қадам нәтижелерін
Оқушыларға екімүшеліктің айырмасы үшін тепе-теңдік беру қажет емес екенін
Мысал келтірейік:
Теорема. Көптеген теоремалар негізінде кез-келген өлшемдерді табу үшін ереже
Мысалы: осылайша Пифогор теоремасы бойынша егер катет ұзындығы немесе
Анықтама. Кейде кейбір есептерді шешу ережесінің негізі ретінде сәйкес
1 қадам - әрбір теңсіздік айнымалы үшін
2 қадам – алынған санды аралықтардың ортақ бөлігін табу.
2 СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Жалпы стандартты емес есептерді шығару әдістемесі
Оқушылардың математикалық даму дәрежесі олардың есеп шығара білуінен анық
Кез келген қиын есепті шығару оқушыдан үлкен еңбекті, ерен
Оқушылардың математикалық қабілеттерін дамыту және математикаға ынтасын тәрбиелеуде әзіл-есептер
Оқушының меңгерген материалын шығармашылықпен ұғынуы және жаңа іс-әрекет тәсілдерінің
Аталған ойлау сапаларының қалыптасуы оқушының шығармашылық тұлғасын
1) Қызықты есептердін шешу
2) қызықты есептер оқушының пәнге қызығуына, белсенділігіне
3) қызықты есептер ойлау заңдылықтарын білуге негізделіп жасалады.
Міне, осындай есеп түрлерін жүйелі түрде қолдану аталған ойлау
Кез келген жағдайда есептің шешімін болжау үшін мұқият талдау
Бірнеше есеп қарастырып көрейік.
№ 1. АВСД дөңес төртбұрышының диагоналдары Е нүктесінде қиылысады.
Шешуі:
Сызбасын қағазға түсіру арқылы біз есептің мәні ВСЕ үшбұрышының
№ 2. Бір куб берілген. Кубтың жақтарын 1-ден 12-ге
Оқушылар әр түрлі варианттарды байқап көріп, нәтиже шығара алмаған
Шешуі:
Кубтың әрбір жағында екі төбесі бар. Кубтың жақтарына жазылған
№3.
+ВАГОН
ВАГОН
СОСТАВ
Әріптерді сандармен ауыстыр. Бірдей әріптер бірдей сандарға әр түрлі
Мұндай есептер оқушыларды ерекше қызықтырады. Олар осы жолмен есеп
Шешуі:
Қосылғыштардың бес орынды, ал қосындының алты орынды жұп сан
+85679
85679
171358
Қызықты есептер мектептегі оқу материалының меңгерілуін және ойлау процесінің
Москва университетінің профессоры, белгілі математик С. Янковская (1896- 1966)
Бұл арада С. Янковская стандартты емес есептер туралы, яғни
Қандай да бір есепті шығарғанда, оны талдау барысында, бұл
Төмендегі бірнеше мысал арқылы стандартты емес есептерді шығаруды бұрынғы
1-мысал. Теңсіздікті
Шешуі: Берілген теңсіздікті оң бөлігі ноль болатын теңсіздікпен ауыстырамыз.
Бұл тәсіл, яғни теңсіздікті түрлендіру арқылы, оның бір жақ
Мұндағы тригонометриялық функциялардың аргументтері бірдей болса, онда теңсіздік ықшамдалар
2-мысал. Төмендегі теңдеуінің графигін салыңыздар.
1-тәсіл. Берілген тендеудің графигін салуды, бұрыннан бізге таныс теңдеудің
Тәуелділік тендеуін өзімізге таныс түрде жазайық: .
Егер біз теңдеуінің графигін сала
Ал бұл теңдеудің графигін теңдеуінің графигін
Абсолют шаманың анықтамасын пайдалана отырып, есепті ( ;0)
онда
онда
1-сурет
Осы теңдеудің графигін ОХ — бойымен оңға бір бірлікке
2-сурет
Енді теңдеуінің графигін салып көрейік. Егер
Және егер у>0, теңдеу түріне, ал
тәуелділігінің графигі 3-суреттегідей болады.
3 -сурет
2-тәсіл.
(1) тәуелділігінің графигін, (2) тәуелділігінің графигін
Бұл тәуелділіктің графигі 4-суретте көрсетілген.
4-сурет
Енді бұл графиктің ОХ және ОУ осіне қарағанда симметриялы
5-сурет
Ал (1) тәуелділіктің графигін салу үшін, графикті оңға ОХ
6-сурет.
Біз екі тәсіл арқылы стандартты емес есепті бұрынғы шығарылған
Ал 2-тәсіл арқылы біз есептің шартын тиянақты түрде талдау
3-мысал. Тендеулер жүйесін шешіңдер:
Бұл теңдеулер жүйесі түріне карасақ біздің шығарып жүрген жүйелеріміз
Есептің шартын тиянақты түрде талдай бастасақ 1-теңдеудің сол жағы
Ал 2-тендеуді талдау барысында 48-ді теңдіктің негізі 4 болғандығы
Енді 2-ні -мен ауыстырсақ, онда тендеулер жүйесі
Логарифмдердің касиетін пайдалана отырып алгебралық жүйеге келеміз.
Жүйені косу немесе алмастыру тәсілін колдана отырып шешеміз х=42,
2.2 Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісін іздеу
Оқушылардың математикалық қабілетін қалыптастыру және дамыту туралы көп
Бұл жұмыста оқушылардың ой қызметтеріне азық бола алатын, одардың
Стандарт емес теңдеулердің іздеу барысында, оларды мейлінше қарапайым (стандарт)
Сонымен біз стандартты (алгоритмдік) есептерді шешу үшін мыналар керек
Осындан шығатыны, оқушылар барлық өтілген ережелерді - қысқартылған
Осының барлығын оқушыларға үйретпесе (әсіресе әлсіздерге) олар өз беттерінше
Сондай-ақ келесі жаттығулар пайдалы:
Қайсыбір теорема дәлелденгеннен кейін оқушылар алдында осындай мәселе тудыруға
Тепе-теңдікті дәлелдеп, осы тождествоны оңнан солға қарай оқып “осы
Қайсібір формула шыққаннан кейін (арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысының формуласы)
Оқушыларға есеп шығаруды үйрететін алғашқы әдісті пайдалана отырып, олардың
Екінші әдіс оқушыларға былайша айтқанда дамытатын, демек стандартты емес
Оқытудың осындай әдісін ұстанған авторлар мен әдіскерлер оқушылардың табиғи
Біріншіден, есепті шығара білу, стандартты емес есептерді шығару әдістерін
Екіншіден, негізгі мақсат ол оқушылардың ұсынылған есептерді тек шығаруы
Оқытудың үшінші әдісін біз кішкене кейінірек қолдана бастадық, қолдануымыздың
Бірақ бұл әдіс те үлкен нәтиже бере қойған жоқ,
Бірақ, эвристикалық сызба-кестелерді кезінен қолдану идеясы өзінен өзі пайымды
Оқушылардың стандартты емес есептерді өз бетінше шеше алмаудың себептері.
Осы себептерді ұғу үшін, оқушыны жиһаз жасауға немесе көйлек
Ал есеп шығару – ол жиһаз немесе басқа бір
Есеп шығару үрдісінің жалпы эвристикалық сызба-кестесімен танысу әрине пайдалы,
Сонымен оқушыларды стандартты емес есептер шығаруға үйрету үшін келесілер
Оқушыларға есеп теориясының элементарлы білім беру. Бұл білім жеке
Оқушылар бойынан күрделі есеп шығару үрдісіне кіретін элементарлы жеке
Бұған оқушылардың жаттығулардың ерекше жүйесін орындау көмегімен қол жеткізіледі.
Оқушыларды мектептегі математикалық есептердің негізгі эвристикалық әдістермен таныстыру, олардың
Оқушыларға қиыншылықтарды әдеттегідей мектеп оқулықтары мен басқа да оқу
Стандартты еместерге шығарудың дәстүрлі алгоритмі келмейтін теңдеулер мен теңсіздіктер
Мысалы, егер , функциаларының
Сонымен қандай есептер стандартты емес деп аталады екен? “Стандартты
Алайда, “стандартты емес” ұғымы салыстырмалы ұғым екенін ескеру керек.
Бұл “стандартты емес” есептер әртүрлі болуы мүмкін. Кейбірі сырттай
Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктердің шешудің әдісін іздеудің мынадай
1) Теңдеу немесе теңсіздікті алғаннан кейін, оның анализін мұқиат
2) Шарттарды, талаптарды немесе есеп облысын мүшелеу жолымен
3) Егер теңдеу не теңсіздікті шешілетін ұсақ бөлшектерге
4) Егер теңдеу немесе теңсіздік нашар анықталған, онда анықталмаған
3. ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІҢ СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТҮРІН ШЕШУ ЖОЛДАРЫ
3.1 Параметрі бар стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді графикалық
Көптеген физикалық үрдістер мен геометриялық заңдылықтарды зерттеу параметрі бар
Берілген жұмысты дайындау барысында мен бұл тақырыпты тереңдеп зерттеу,
Негізгі анықтамалар
((a, b, c, …, (, x)=((a, b, c, …,
Теңдеуін қарастырайық. Мұндағы a, b, c, …, (, x
а = а0, b = b0, c = c0,
айнымалы мәндерінің кез келген жүйесі a, b, c, …,
Есеп шығару барысында тұрақты болып саналатын a, b, c,
Параметрі бар есепті шығару – бұл параметрдің қандай мәндерінде
Параметрі бар екі теңдеулер тең дәрежелі деп аталады, егер:
а) егер олар параметрлердің бірдей мәндерінде мәнді болса;
б) бірінші теңдеудің әрбір шешімі екіншінің шешімі болған кезде
Шешу алгоритмі.
1. Теңдеудің анықталу облысын табамыз.
2. Анықтаманы х-тен функция деп білдірейік
3. хОа координаттар жүйесінде берілген теңдеудің анықталу облысына кіретін
с((-(;+() болатын а=с түзуінің а=((х) функциясының графигімен қиылысқан нүктелерін
4. Жауапты тіркейміз
Мысалдар:
1. теңдеуі әртүрлі үш түбірге ие
Шешуі: түріндегі теңдеуді көшіріп,
хОу координаттар жүйесінде функцияның графигін құрайық.
функциясының графигі -ге тең Ох осіне көлбеу
Жауабы: .
5. теңдеуін шешу.
Шешуі:
, теңдігін пайдаланған соң, берілген теіңдеуді
түрінде жазайық.
Бұл теңдеулер жүйесіне сәйкес теңдеуін
.
түрінде жазайық.
Соңғы теңдеуді геометриялық ұғымдарды пайдалана шешкен дұрыс.
және функциясының графиктерін құрайық. Осыдан
Егер , онда болғанда
болғанда графиктер абсциссасы болатын бір нүктеде
Енді а-ның қандай мәндерінде (*) теңдеуінің табылған шешімдері
шарттарын қанағаттандырады.
болсын, онда . Жүйе
түріне келеді.
Оның шешімі х( (1;5) аралығы болады.
жағдайын қарастырайық.
түріне келеді.
Бұл жүйені шешіп, а( (-1;7) табамыз. Бірақ
Жауабы:
егер а( (-(;3), онда шешімі жоқ;
егер а=3, онда х( [3;5);
егер a( (3;7), онда ;
егер a( [7;((), онда шешімі жоқ.
Параметрлік теңсіздіктер
Негізгі анықтамалар
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …,
Теңсіздігі, мұндағы a, b, c, …, ( –
а = а0, b = b0, c = c0,
Егер ((a, b, c, …, (, x) және
Шынымен-ақ егер ((a, b, c, …, (, x)
(1) –теңсіздігінің барлық жеке шешімдерінің жиынтығы бұл теңсіздіктің ортақ
(1) теңсіздігін шешу – парамертлердің қай мәндерінде ортақ шешім
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …,
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …,
Екі теңсіздігі параметрлер мүмкін мәндер жүйесінің бір көпмүшелігіне бірдей
Шешу алгоритімі .
Берілген теңсіздіктің анықтау облысын табамыз.
Теңсіздікті теңдеуге айналдырамыз.
a-ны x-тен функция деп белгілейміз.
хОа координаттар жүйесінде берілген теңсіздіктің анықталу облысына кіретін х-тің
Берілген теңсіздікті қанағаттандыратын көптеген нүктелер табамыз.
Параметірдің шешіміне әсерін зерттейміз.
Графиктер қиылысатын нүктелердің абциссаларын табамыз.
а=соnst түзуін беріп, оны -( тен
7. Жауабын тіркейміз.
Мысалдар:
1. а параметірінің барлық мүмкін мәндері үшін
теңсіздігін шешу.
Шешуі:
теңдеулер жүйесімен анықталған а параметірінің анықталу облысында берілген теңсіздіктер
теңсіздіктер жүйесіне тең.
Егер онда бастапқы теңсіздіктің шешімі
Жауабы: , .
2. IIараметірінің мәндеріне қарай аралығындағы
Шешуі:
хОу координаттар жүйесіндегі функцияның графигін саламыз.
болғанда теңсіздіктің шешімі жоқ.
болғанда үшін болатын
Жауабы: Теңсіздіктің шешімі болатын
3.2 Стандартты емес күрделі иррационалды теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
Иррационалды теңдеулер деп айнымалысы түбір астында тұрған теңдеуді айтады.
Стандартты түрдегі иррационал теңдеулерді келесі ережені пайдалана отырып шешуге
Бірақ стандартты емес иррационалды теңдеудің шешімін табу біршама күрделірек.
теңдеуін шешу.
Шешуі:
екі жақты да кубтаймыз
екі жақты да квадраттаймыз
= t болсын,
t 2– 11t + 10 = 0,
Қайта ауыстыру жасаймыз:
= 10,
x = -түбір
Жауабы: 1.
1 = 1
Ирроционалды лагорифмдік теңдеулер:
а) lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg
Шешуі:
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg ,
lg(3 = lg ,
ОДЗ ескергенде, берілген теңдеу:
жүйесіне тең.
Жауабы: 32,75
б) теңдеуін шешу
Шешуі:
Жауабы: -13/5; – 2; 3.
Иррационалды теңсіздіктер. Теңсіздік иррационалды деп аталады, егер оның белгісізі
түріндегі иррационалды теңсіздік
теңсіздіктер жүйесіне тең.
түріндегі иррационалды теңсіздік:
және
екі теңсіздіктер жүйесінің қосындысына тең.
Стандартты емес иррационалды теңсіздіктерді шешу:
а) теңсіздігін шешу.
Шешуі:
Берілген теңсіздік
теңсіздіктер жүйесіне тең.
Жауабы: .
б) теңсіздігін шешу
Шешуі:
Берілген теңсіздік
теңсіздіктер жүйесіне тең
Функцияның нөлдері:
Жауабы: .
Иррационалды теңсіздіктерді көбейту мен бөлу негізіндегі белгілер ережесі көмегімен
а) теңсіздігін шешу
Шешуі:
және бөлу кезінде белгілер ережесін ескергенде берілген теңсіздік
теңдеулер жүйесіне тең.
Функцияның нөлдері:
Жауабы:
б) (2x – 5) теңсіздігін шешу.
Шешуі:.
(2x – 5)
және бөлу кезіндегі белгілер ережесін ескергенде берілген теңсіздіктер
Функцияның нөлдері:
Жауабы:
Иррационал теңсіздіктерді топтау әдісімен шығару
теңсіздігін шешу
Шешуі:
,
екі қосылғыштардан топтастырайық
ортақ еселікті жақша сыртына шығарайық
> 0 екенін ескере отырып және көбейту кезіндегі белгілер
теңсіздіктер жүйесіне тең
Функцияның нөлдері:
Жауабы: ( 0; 1 )
Иррационалдық екі белгісі бар иррационалды теңсіздіктер.
теңсіздігін шешу
Шешуі:
Берілген теңсіздік теңсіздіктер жүйесіне тең:
Функцияның нөлдері:
Жауабы:
Ауыстыру арқылы иррационал теңсіздіктерді шешу:
теңсіздігін шешу
Шешуі:
= t, болсын сонда =
Функцияның нөлдері:
Қайта ауыстыру жасайық:
теңсіздіктің екі жағын квадраттаймыз.
Жауабы:
3.3 Стандартты емес теңдеулерді геометриялық және векторлық тілге аудару
Сондықтан кейбір жағдайда стандартты емес теңдеулерді дәстүрлі әдістердің бірін
1) теңдеуді геометриялық тілге аудару керек, бұдан әрі
2) теңдеуді векторлық тілге аудару керек, одан әрі алынған
Олай болса жоғарыда стандарт емес теңдеулерді шешуге катысты 1)
Біздің пікірімізше, оқушыларды теңдеулерді дәстүрлі емес әдістер – геометриялық
Төменде нақты мысалдарды қарастыру арқылы стандарт емес теңдеулерді геометриялық
1 Есеп
теңдеуін шешіңдер, мұндағы 0°
Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқыту әдістемесі
Ирроционал теңдеулер мен теңсіздіктер, олардың жүйелерін оқыту əдістемесі
Стандартты емес теңсіздіктерді шешуге оқыту әдістемесі
Орта мектепте алгебралык тендеулер мен тенсіздіктер такырыптарын окыту әдістемесі
ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДЕ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ АЛМАСТЫРУЛАРДЫ ҚОЛДАНУ
Сүт өнімі туралы мәлімет
Мектеп математика курсындағы теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесі
Дифференциалды оқыту кезінде математикалық есептерді шешуге оқыту әдістемесі
Рационализм және иррационализм арасындағы философиялық айтыстың мәні мен мағынасы
Математика тарихын оқыту –білімді ізгілендіру тəсілі педагогика мамандықтары бойынша студенттегре арналған оқу құралы