Шектеусіз үздіксіз бөлшектің лайықты бөлшектері
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ
МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА ЖӘНЕ ТЕХНОЛОГИЯЛАР ФАКУЛЬТЕТІ
Математика кафедрасы
ДИПЛОМ ЖҰМЫСЫ
Тақырыбы: ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕРДІҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
1 ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕР
1.1 Шектеусіз үздіксіз бөлшекке жіктеу
1.2 Шектеусіз үздіксіз бөлшектің лайықты бөлшектері
1.3 Лайықты бөлшектердің қасиеттері
1.4 Квадрат иррационалдық және периодты үздіксіз бөлшектер
2 ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕРДІ ҚОЛДАНЫП
ЕСЕПТЕРДІ (ТЕҢДЕУЛЕРДІ) ШЕШУ
2.1 Анықталмаған (бірінші дәрежелі) теңдеулер, оларды шешу
2.2 Квадрат теңдеулер және оларды шешу
2.3 Пелль теңдеулері. Пелль теңдеулерін шешу
ҚОРЫТЫНДЫ
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
КІРІСПЕ
Сандар теориясы курсында үздіксіз бөлшектер теориясының маңызы зор. Басқа
Үздіксіз бөлшектердің таза практикалық қолданылуымен қатар теориялық маңызы да
Үздіксіз бөлшектер жайлы біраз деректерге тоқталатын болсам, үздіксіз
Сонымен қатар сандар теориясы пәнінің дамуында ұлы француз математигі
Э. Галуа теоремасының дәлелдеуі 1828 жылы жарыққа шықты. Сонымен
Жұмысымның мақсаты: үздіксіз бөлшектер, соның ішінде шектеусіз үздіксіз бөлшектердің
көрсету.
Диплом жұмысым мазмұн, кіріспе, екі тарау, қорытынды және әдебиеттер
Екінші тарауда шектеусіз үздіксіз бөлшектердің практикалық маңызын, яғни қолданылу
Диплом жұмысымның көлемі 78 бет.
1 ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕР
1.1 Шектеусіз үздіксіз бөлшекке жіктеу
Үздіксіз бөлшектер кез келген заттық санды кез келген алдын
(1)
түріндегі өрнекті үздіксіз бөлшек дейді. Мұндағы
Теорема. Кез келген рационал санды шектеулі, ал иррационал санды
Дәлелдеуі. Шынында да, айталық рационал сан
0< < ,
екенін табамыз. Мұндағы саны
(2) теңдікті
(3)
түрінде қайта жазып, -ні -ге
< ,
мұндағы саны -ден аспайтын
(4) –ден мәнін тауып, (3) –ге
(5)
Енді -ді -ге бөлеміз:
< ,
мұндағы Бұдан -нің мәнін
тауып, (5)-ге қойсақ, мынау шығады:
(6)
Тағыда -ді -ге бөлеміз:
<
-нің мәнін (6) –ға қойып,
(7)
аламыз.
Бұдан әрі қатынасын тауып,
<
жоғарыдағы сияқты, (7)-ге қоямыз және осы процесті соза береміз.
теңдіктері мен > > >
Олай болса, рационал санын көрсететін үздіксіз
Айталық енді, - иррационал сан болсын.
< < .
Мұнда иррационал сан болады, әйтпесе
Айталық -нің бүтін бөлігі
мұнда < <
Дәл осы сияқты, егерде -нің бүтін бөлігі
< < .
Жоғарыдағыдай, төмендегі теңдіктерді табамыз:
< < ,
< < ,
. . . . .
Мұндағы иррационал сандар
иррационал сан болғандықтан, сандардың бүтін бөлігін табу процесі шектеулі
(8), (9), (10) және (11) теңдіктерінен біртіндеп,
табамыз.
Сөйтіп, үшін шектеусіз үздіксіз бөлшек аламыз
иррационал санын үздіксіз бөлшекке жіктеуге мысалдар қарастырайық.
Мысал 1. -дің жіктелуін табайық.
Шешуі. болсын. -дің бүтін
> ,
> ,
> .
Егер осы қадамда тоқтайтын болсақ, санын
Екінші жағынан үшін жазылған формуладан
Ендеше санының үздіксіз бөлшекке жіктелуі
түрінде болады.
Мысал 2. - ті үздіксіз бөлшек
Шешуі. -тің бүтін бөлігі
Ары қарай үздіксіз бөлшекке жіктеудегі толымсыз
түрінде болады.
Мысал 3. жіктелуін табайық.
Шешуі.
Көріп отырғанымыздай толымсыз бөлінділері қайталанып отыр.
береді.
санының үздіксіз бөлшекке жіктелуін қарастырайық.
Теорема.
Дәлелдеуі. -ті
қатардың қосындысы ретінде анықтайық.
Бұл қатар -тің кез келген мәнінде беттеседі;
(12)
теңдігінің орындалатынын тексеру оңай.
Шынында да (12) теңдігінің сол жағындағы -ның
тең, ал (12) теңдігінің сол жағындағысы
тең, ендеше (12) дұрыс.
-ді арқылы белгілейік. Дербес жағдайда
,
,
болса, онда
.
болғанда (12) теңдігінен
(13)
аламыз.
оң болғандықтан (13) теңдігінен барлық үшін
. . . . . . . . .
-дің үздіксіз бөлшекке жіктелуін береді:
(14)
Теорема.
(15)
яғни санының үздіксіз бөлшекке жіктелуіндегі
және түрінде жазылады.
Дәлелдеуі. (15) жіктелуінің оң жағының лайықты бөлшектерін
орындалатынын дәлелдейік.
(15) үздіксіз бөлшегінің элементтерінің мәніне көңіл аудара отырып
жаза аламыз, одан
табамыз.
Осыған ұқсас қатынасты үшін де аламыз,
(16)
(17)
бойынша индукциямен дәлелдейік.
(14) және (15)-ден есептейміз, ендеше (17)
(17) қатынасы -нен кіші болатын барлық
онда (16) теңдігін қолдана отырып
аламыз.
Толық математикалық индукция принципіне байланысты (17) теңдігі барлық
теңдігі де дәл солай дәлелденеді.
және шамаларының қатынасының шегін қарастыра отырып
,
яғни
.
(15) үздіксіз бөлшегінің оң бөлігі беттесетіндіктен, және біз
1.2 Шектеусіз үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері
Шектеулі немесе шектеусіз үздіксіз бөлшек берілсін:
.
Бұл үздіксіз бөлшектің алғашқы толымсыз бөліндісінен
.
Дербес жағдайда, болса,
Шектеулі үздіксіз бөлшектің саны шектеулі лайықты бөлшегі, ал шектеусіз
үздіксіз бөлшектің саны шектеусіз лайықты бөлшегі болатыны түсінікті. (1)
(1) үздіксіз бөлшектің –ден бастап барлық келесі
үздіксіз бөлшегін толық бөлінді деп атайды.
(1) үздіксіз бөлшекті толық бөлінді арқылы
мұндағы
.
Егерде шектеулі үздіксіз бөлшек болса, онда
мен -ның мәндерін кесте бойынша да есептеуге
Кесте 1.1 Лайықты бөлшектерді есептеу
1.3 Лайықты бөлшектердің қасиеттері
Лайықты бөлшектердің қасиеттеріне тоқталайық.
Тетелес үш лайықты бөлшектің алымдары
(1)
қатысы арқылы байланысады.
Дәлелдеуі. Айталық, шектеулі немесе шектеусіз үздіксіз
бөлшек берілсін. Егер болса,
.
болғандықтан, Сөйтіп, болғанда
(2)
Енді (1) қатыстың үшін орынды екендігін
бөлшекті алып, қосындысын
,
үздіксіз бөлшекке келеміз. Бұл бөлшек үшін жоруымыз бойынша төмендегі
Мұндағы -тың орнына оның мәні
қосындыны қойып,
табамыз, немесе (2) теңдікті алсақ,
,
шығады.
Егерде мен кез
немесе
(3)
қатысы орынды.
Дәлелдеуі. Шынында да, мен
.
Айталық,
.
Онда -ге (1) қатыстан
немесе (4)-ге сүйенсек:
екенін табамыз. (3) қатыстың біріншісі екіншісін -ге
Лайықты бөлшектер – қысқармайтын бөлшектер.
Дәлелдеуі. Шынында, айталық мен
.
Бұл қатыстан лайықты бөлшегінің алымы
Барлық сандары үшін
немесе
(5)
қатысы орынды.
Дәлелдеу үшін өрнегіне
қояйық. Сонда
Бұдан (4)-ге сүйенсек:
.
Мұны -ге мүшелеп бөлсек, (5) қатыстың екіншісін
Дәлеледенген (5) қатыстан жұп және тақ реті лайықты бөлшектердің
>
немесе
>
шығады. Мұнда дей отырып, индексі жұп
бөлшектердің үдеме тізбек құрастыратынын байқаймыз:
< < < <
Егерде - тақ сан болса,
< ,
< .
Мұндағы -ге мәндер
> > >
Егерде (3)-дегі десек,
> ,
яғни
>
шығады. Сөйтіп, қандай болса да, тақ ретті лайықты бөлшек
> > >
(6), (7) және (8) теңсіздіктерден әрбір тақ ретті лайықты
Сөйтіп, > >
Жұп ретті лайықты бөлшектер үдеме, ал тақ ретті лайықты
кеміме тізбек құрастырады. Әрбір тақ ретті лайықты бөлшек кез
Дәлелдеуі. Ең алдымен жұп ретті лайықты бөлшектер үдеме, ал
лайықты бөлшектер кеміме тізбек құрастыратынын дәлелдейік. -
байланысты
,
сондықтан жұп болғанда >
Ендеше тетелес екі мен
Үздіксіз бөлшек өзінің кез келген тақ ретті лайықты бөлшегінен
Дәлелдеуі. Айталық
үздіксіз бөлшегі берілсін. Толық бөліндіні арқылы
.
Сонда -ні нөмірлі лайықты
Демек - қасиет бойынша
(9)
Мұндағы
(9)-дан лайықты бөлшегін шегеріп,
екенін табамыз, немесе (3)-ге сүйенсек
(10)
шығады.
Егер –жұп сан болса,
>
аламыз, ал -тақ болса, ,
<
(11) мен (12) теңсіздіктері
> , ,
<
теңсіздігіне келеміз. Бұл теңсіздік бізді қажетті қорытындыға әкеледі.
Үздіксіз бөлшектің мәні әрқашанда кез келген тетелес екі лайықты
бөлшектің арасында болып, алдыңғысынан қарағанда келесісіне жақын жатады.
Дәлелдеуі. Теорема бойынша үздіксіз бөлшегі
бөлшектерінің аралығында жатады, сондықтан да
< .
Бірақ
> , <
болғандықтан, соңғы теңсіздік
<
түріне келеді.
Кез келген бүтін саны үшін
<
теңсіздігі орындалады.
Дәлелдеуі. лайықты бөлшегінің алымы мен бөлімі
,
(15) теңсіздікке қарағанда модулы
(16)
лайықты бөлшектердің тізбегі жинақты болса,
(17)
шектеусіз үздіксіз бөлшегі жинақты үздіксіз бөлшек деп аталады.
Жоғарыда дәлелденген үздіксіз бөлшектің қасиеттеріне сүйене отырып, натурал мәнді
Шынында, (17) тізбектің бір ғана шекке ұмтылатындығын көрсетейік.
Ол үшін тізбектің жинақтылығы туралы Коши критерийін пайдаланайық.
Бұл критерий төмендегідей.
тізбегінің жинақты болуы, демек, шектеулі және бір ғана шекке
<
теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
(16) тізбек үшін (18) теңсіздіктің орындалатынын-орындалмайтынын тексерейік:
Бұдан
(19)
Бірақ, бұл арада
<
Олай болса (19) теңсіздіктен мынаны табамыз:
< < .
Егерде берілсе, -нің мәні
< , >
теңсіздігінен анықталады.
Қандай да шектеулі берілсе де, бөлімі
Осымен, (16) тізбектің, олай болса (17) шектеулі үздіксіз
теңдігінің заңдылығы көрсетілді.
Әрбір үшін
болады.
Дәлелдеуі. Шынында, болғандықтан,
.
Дәл осы сияқты:
Егер жұп сан болса, онда
. Бұл теореманың дұрыстығын дәлелдейді.
Әрбір үшін
< <
теңсіздіктері орындалады.
Дәлелдеуі. Егер болса, онда біреуі жұп,
< .
Егер болса, онда
Енді -ның лайықты бөлшегі
>
.
үшін > болады, сондықтан
> > .
Егер де - ең соңғы лайықты
> .
(Лагранж теоремасы). Тетелес екі мен
Дәлелдеуі. Айталық, бөлшегі
айырмаларының таңбалары бірдей болатындығы түсінікті және
>
болады. - қасиет бойынша
Осыдан
> ,
>
шығады. Алайда
>
немесе
>
болғандықтан, соңғы теңсіздіктің екі жақ бөлігін де
> >
табамыз. Бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігі оң және бүтін
(Вален теоремасы). Тетелес екі лайықты бөлшектерінің
болмағанда біреуі
<
теңдігін қанағаттандырады.
Мұндағы саны бөлшектерінің
Дәлелдеуі. Шынында, айталық
теңсіздіктері қатар орындалсын.
Онда
теңсіздігінен
алған болар едік, яғни
,
бұл болғанда орындалмайды.
(Лежандр теоремасы). қысқармайтын бөлшегінің
<
теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Шынында, айталық бөлшегі
үздіксіз бөлшегінің
лайықты бөлшегі болсын,
өрнегі –нің толық бөліндісі. Онда, бұрыннан
екендігі белгілі.
Бұдан
< .
Өйткені
> .
Осымен, (22) теңсіздіктің қажеттілігі дәлелденді. (22) теңсіздіктің жеткіліктілігін дәлелдеу
>
орындалатынын алдын ала ескерте кетейік. Өйткені, ескерсек
>
теңсіздігіне келеміз, немесе
> .
Бұл соңғы теңсіздік орындалуы үшін, >
<
шығады. Бұл теңсіздік тек қана >
Ал бұл -дің -ның үздіксіз
-нің -ға лайықты бөлшек екендігін көрсетеді.
Лежандр теоремасының орындалуының жеткілікті шартын көрсететін
<
теңсіздігі
<
теңсіздігі іске асса ғана орындалады, өйткені
>
аламыз.
-ның үздіксіз бөлшекке жіктелуі
болсын. > болғандықтан
ұзындығын арқылы белгілеген кейбір үздіксіз бөлшекті
- қасиетке байланысты
аламыз және осыған (25) өрнегіндегі -ның мәнін
Лайықты бөлшектердің кейбір қасиеттеріне мысалдар келтірейік:
Мысал 1. және
Дәлелдеуі. айырманың белгісі –нің жұптығына
> .
Ескерту. Бұл теңсіздік үшін төменгі шекараны
бізге таныс < теңсіздігін толықтырады.
Мысал 2. Егер санының
<
немесе
<
теңсіздіктерінің тым болмағанда біреуінің орындалатынын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі. Ұйғарымның дұрыстығы
шығады. Алдыңғы қасиетте көрсеткеніміздей
<
екендігі шығады.
Үздіксіз бөлшектер теориясында лайықты бөлшектермен қатар аралық бөлшектердің де
және – кез келген теріс емес бүтін
айырмасы
тең. Бұл теңдіктің -ның жұп немесе тақтығынан
(26)
бөлшектері жұп болғанда үдеме, ал
мен бөлшектерінің медиантасы деп
Лемма. Егер болса, онда әрқашан да
теңсіздіктері ( > ) орындалады.
Дәлелдеуі. Шынында да, жоруымыз бойынша , онда
Бұдан қажетті қорытындымыз шығады. (26) тізбектің әрбір аралық бөлшегі
Ескерту. Үздіксіз бөлшектің шамасы осы бөлшек арқылы түзілген кез
Бұл ескерту және
Енді біз келесі медиантаның -ның басқа жағында
керек, бірақ келесі медианта болады
нақты санына рационал бөлшек арқылы жуықтау мүмкіндігінің заңдылығын Дирихле
Теорема (Дирихле теоремасы). Кез келген және
<
орындалатындай рационал бөлшегі табылады.
Дәлелдеуі. -ның үздіксіз бөлшекке жіктелгендегі лайықты бөлшегін
< <
тізбегі шектеулі немесе шектеусіз болуы мүмкін, бірақ
Теореманың шартын қанағаттандыратын бөлшегі ретінде
1) бөлшектің ең соңғы бөлімі емес,
Онда үшін лайықты бөлшектің
< және
аламыз.
2) - -ның жіктелуіндегі
< ,
аламыз.
Мысал 1. -ға дейінгі дәлдіктегі
Шешуі. Бұл есепті шешу үшін, ең алдымен, Дирихле теоремасына
-ті үздіксіз бөлшекке жіктесек
,
яғни .
Лайықты бөлшектерін табайық.
Кесте 1.2 Лайықты бөлшектер табу
-нан кіші болатын ең үлкен бөлім -ке
< .
Мысал 2. -ға дейінгі дәлдіктегі
Шешуі. Ең алдымен -ті үздіксіз бөлшекке жіктей
табамыз. Лайықты бөлшектер кестесінен
Кесте 1.3 Лайықты бөлшектер табу
ең үлкен бөлім , ол
< .1.4 Квадрат иррационалдық және периодты үздіксіз бөлшектер
Рационал сандар бүтін коэффициентті түріндегі бірінші
Бүтін коэффициентті квадрат теңдеудің түбірлері болып табылатын иррационалдықтар иррационал
саны квадраттық иррационалдық деп аталады, егер
(1)
теңдеуінің иррационал түбірі болса. Мұндағы .
(1) теңдеуіндегі коэффициенттерін өзара жай
(1) теңдеуінің түбірлері және
екінші түбірін -мен
Квадрат иррационалдықтың анықтамасында ең алдымен бүтін коэффициентті квадрат теңдеулер
шектеусіз үздіксіз бөлшегінің белгілі толымсыз бөлінділер
Егер периодтың басы үздіксіз бөлшектің бірінші толымсыз бөліндісімен сәйкес
Таза периодты үздіксіз бөлшек
түрінде жазылады,
ал аралас периодты үздіксіз бөлшек
түрінде жазылады.
тізбегінің периодының ұзындығын
үздіксіз бөлшегінің периодының ұзындығы деп те атаймыз.
Егер -ның жіктелуінде элементтерінен
түрінде жазамыз, көбінесе таза периодты жіктелу кезінде, яғни
түрінде жазамыз.
Теорема.
(2)
үздіксіз бөлшегі периодының ұзындығы болатын периодты
Дәлелдеуі.
(3)
(4)
1) Егер (2)-нің оң бөлігі периодының ұзындығы
2) Егер болғанда ,
(2) үздіксіз бөлшегі таза периодты болады, сонда және тек
Периодты үздіксіз бөлшектердің шамаларын қарастыра отырып, біз
нақты сандардың кейбір бөлігін аламыз. Мұндай сандар жиыны квадрат
Ең алғаш 1770 жылы Лагранж осындай бір қорытындыға келген.
Кез келген периодты үздіксіз бөлшектің шамасы квадрат иррационалдық болатыны
Лагранж теоремасын дәлелдемес бұрын оған көмекші теоремаға тоқтала кетейік.
Теорема. Егер квадрат иррационалдығы
, -бүтін
түрінде берілсе, онда -дағы сияқты дискриминанты бар
Дәлелдеуі. квадрат теңдеуінің түбірі
немесе
аламыз, яғни дискриминанты
тең болатын және бүтін коэффициентті
квадрат теңдеуінің түбірін көрсетеді.
квадрат теңдеуіндегі -ді
отырып, дискриминанты және -ның
коэффициентті квадрат теңдеуінің түбірін
Осы үрдісті жалғастыра отырып, дискриминанты дискриминантына
Теорема. Кез келген периодты үздіксіз бөлшектің шамасы квадрат иррационалдықты
Дәлелдеуі. периодты үздіксіз бөлшегін білдірсін, яғни
осыдан барып
(5)
Ортақ бөлімге келтіргеннен кейін (5) теңдігі
бүтін коэффициентті квадрат теңдеуге келеді, мұндағы .
Ең алдымен қатынасынан
< < ...
тізбегіндегі бөлшектің кез келген екі тетелес бөлімінің өзара жай
Екі қысқармайтын бөлшектер теңдігінен
шығады, ал бұл болғанда (6) тізбегінде
-ның үздіксіз бөлшекке жіктелуі шектеусіз болғандықтан -ның
иррационалдығы шығады.
Таза периодты үздіксіз бөлшектің мәнін
табу үшін болғандағы
немесе
формуласын қолданған қолайлы.
Мысал 1. . Түбірі
Шешуі. Берілген жағдайда . -ке
Кесте 1.4 Лайықты бөлшектер табу
болғанда (5) теңдігі
түріне келеді.
квадрат теңдеуін шешсек, түбірі болады. Іздеп
Аралас периодты үздіксіз бөлшектің мәнін
табу үшін ең алдымен таза периодты бөлшек
-тің мәнін тауып, одан кейін
қатынасынан –ны тауып аламыз.
Мысал 2.
үздіксіз бөлшегінің мәнін табыңыз.
Шешуі. .
Ең алдымен -ті арқылы
үздіксіз бөлшегін көрсетеді. Бұл жерден екеніне
Квадрат теңдеуді шешетін болсақ . Кестені
Кесте 1.5 Лайықты бөлшектер табу
Лайықты бөлшектердің қасиетіндегі формула бойынша
табамыз. Ендеше .
Теорема (Лагранж теоремасы). Егер нақты сан квадрат иррационалдық болса
Айталық, - таза периодты бөлшек болсын
үздіксіз бөлшегінің толық бөліндісін арқылы белгілесек,
.
Бірақ болғандықтан ,
(2)
Егер
болса, онда (2)-ден
табылады, немесе ортақ бөлімнен құтқара отырып,
квадрат теңдеуін табамыз. - мұның түбірі.
Егер аралас периодты болып,
мұндағы
таза периодты бөлшек. Егер
болса, онда
(3)
(3) теңдіктің біріншісінен мәнін
тауып алып, екіншісіне қойсақ, бойынша
квадрат теңдеуі шығады.
Мұндағы
Теореманың бірінші жартысы дәлелденді. Енді жеткіліктілігін дәлелдейік.
Айталық - бүтін рационал коэффициентті
(4)
квадрат теңдеуінің түбірі болсын. -ны үздіксіз бөлшекке
,
,
(5)
мұндағы
-ның (5)-дегі мәнін (4)-ге қоя отырып,
табамыз, немесе
(6)
Мұндағы - бүтін рационал сандар:
(7)
теңдеулері бойынша анықталады. Бұдан екендігін көру
(8)
теңдігінің орынды екенін тексеру оңай. Сонымен,
< < <
теңсіздігін қанағаттандыратындай етіп табуға болады.
Шынында, - қасиетке сүйенсек,
< , <
мен аралығында жататын санды
< < ;
(9)
екенін табамыз.
(7) теңдіктің біріншісіне (9)-дағы -дің мәнін қойсақ,
Бірақ бұл арада және
<
Дәл осы сияқты, теңдігінен
<
Олай болса, (6) теңдеудің коэффициенттері мен
Түбірлері саны шектелмеген
толық бөлінділері болып келген (6) квадрат теңдеудің саны шектеулі
Олай болса, міндетті түрде бүтін екі
,
болса, онда теңдігінен
. . . . . . . . .
Сонымен, периоды болып
.
Біз бұрын квадрат иррационалдықтың периодты жіктелуіне мысалдар қарастырдық. Кез
Лагранж теоремасы сол арқылы бізге элементтердің периодтық тізбегін табуға
Мысал. үздіксіз бөлшекке жіктейік.
Шешуі. . Біртіндеп
табамыз. Мұнда .
Ендеше
.
Мысал 2. үздіксіз бөлшегіне жіктелетін нақты
- аралас периодты бөлшек
яғни мұндағы
- таза периодты үздіксіз бөлшек.
Төртінші толымсыз бөліндісі 3-тен басталған өрнек те дәл сондай
деп жаза аламыз. Осыдан барып -ке қатысты
.
, .
- оң шешімі.
-ны табамыз.
.
Осыған ұқсас есепті тағы да басқа жолмен шығаруға болады.
Мысал 3.
Лайықты бөлшектер кестесін құрайық.
Кесте 1.6 Лайықты бөлшектер табу
- оң шешімі.
Ізделінді болатын.
Теорема (Галуа теоремасы). Егер квадрат теңдеудің бір түбірі таза
Бұл теореманы ең алғаш рет 1828 жылы Галуа дәлелдеген,
Дәлелдеуі. Шынында, айталық түбірлердің біреуі
болсын. Онда
.
Бұдан біртіндеп
екенін табамыз. Ал бұл теңдеудің іздеп отырған екінші түбірінің
береді.
Бөлшектің периодындағы толымсыз бөлінділердің саны көп, сол сияқты
Сонымен, -нің периодын керісінше алмастырып қоюдан
Егер > болса, онда
< <
Керісінше, егер < <
периодты үздіксіз бөлшек болып, мен
Галуа теоремасына кері сөйлем де орынды. Атап айтқанда, егер
Түйіндесі саны , > ,
демек, - келтірілген және таза периодты бөлшекке
Егер, таза периодты үздіксіз бөлшегінің
(11)
(мұндағы және бүтін
Шынында,
> <
<
бойынша, (11) теңдеудің бір түбірі интервалында,
Теорема. - квадрат емес сан, ал
түрінде болады.
Дәлелдеуі. Егер > болса, онда
және онда
2 ШЕКТЕУСІЗ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕРДІ ҚОЛДАНЫП ЕСЕПТЕРДІ
(ТЕҢДЕУЛЕРДІ) ШЕШУ
2.1 Анықталмаған (бірінші дәрежелі) теңдеулер, оларды шешу
Үздіксіз бөлшектер теориясының
түріндегі қарапайым анықталмаған теңдеулерін шешуде қолданылуын көрсетейік.
Бұл теңдеулер анықталмаған теңдеулер болғандықтан, олардың сансыз көп шешімдері
Алдымен бірінші дәрежелі
(1)
теңдеуінің бүтін санды шешімдерін қарастырайық. Мұндағы
болатындығы белгілі. Мұның екі жақ бөлігін де
.
Бұдан іздеп отырған шешіміміздің
екендігі көрінеді. Сөйтіп, төмендегі қажетті қорытындыға келеміз.
Теорема. Егер болса, (1) анықталмаған теңдеудің
Дәлелдеуі. Егер (1) теңдеудің ең кемінде бір бүтін шешімі
сансыз көп бүтін шешімдері болатындығын көрсету оңай. Айталық,
пен қалған шешімдердің бірі десек,
немесе
(2)
болады.
мен өзара жай сандар болғандықтан,
мұндағы - кез келген бүтін сан.
Теорема. Егер мен
(3)
(мұндағы )
формулаларынан анықталады.
-нің еріктілігіне байланысты, (3) формуланы тағы да мынадай түрде
Табылған (3) формула, (1) теңдеудің барлық бүтін шешімдерін табу
Үздіксіз бөлшектің қасиеттері (1) анықталмаған теңдеудің қарапайым бір дербес
Айталық,
-нің үздіксіз бөлшекке жіктелуі болсын.
бөлшегінің өзі нөмірлі
болады. Теңдіктің екі жақ бөлігін де -ге
екенін ескерсек,
болатынын табамыз.
Егер соңғы теңдікті (1) мен салыстырсақ, (1)-нің ізделініп отырған
(4)
Ал олай болса (1) теңдеудің шешімдерінің жалпы түрі
(5)
болады.
Мұндағы
Дербес шешім -ні тапқан кезде,
Мысал 1. теңдеуінің барлық бүтін шешімдерін
Шешуі.
Мұнда
-тің үздіксіз бөлшекке жіктелуі:
Лайықты бөлшектерді табайық.
Кесте 2.1 Лайықты бөлшектер табу
Демек,
(4)ге сүйеніп, берілген теңдеудің дербес шешімін тапсақ:
болады.
Ал (5) бойынша жалпы шешімдерін аламыз:
немесе -ні арқылы белгілесек,
болады. Мұндағы , сол сияқты
Мысал 2. теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудің барлық
Шешуі. Берілген теңдеуде
. -ті үздіксіз бөлшекке жіктейік. Оның
түрінде болады.
Лайықты бөлшектердің мәнін біртіндеп табайық:
Ендеше,
Алдыңғы (4) теңдеуге сүйеніп, берілген теңдеудің дербес шешімін тапсақ:
болады.
Ал (5) бойынша жалпы шешімдерін табамыз:
Мысал 3. . Бүтін шешімдерін анықтайық.
Шешуі.
Лайықты бөлшектердің мәнін біртіндеп табатын болсақ:
Бұдан,
(4)-ге сүйеніп, теңдеудің дербес дербес шешімін табамыз:
болады.
(5) теңдеу бойынша жалпы шешімдерін аламыз:
немесе -ні арқылы белгілесек,
болады. Мұндағы , сол сияқты
Мысал 4. бірінші дәрежелі теңдеуінің жалпы
Шешуі. Мұнда
екені анық көрініп тұр.
-тің үздіксіз бөлшекке жіктелуі
түрінде болады.
Лайықты бөлшектердің мәнін табайық:
Демек,
(4)-ге сүйеніп, берілген теңдеудің дербес шешімін тапсақ:
болады.
Ал (5) бойынша жалпы шешімдерін аламыз:
Мысал 5. теңдеуінің барлық бүтін шешімін
Шешуі. Мұнда
-тің үздіксіз бөлшекке жіктейміз. Оның жіктелуі
болады.
Лайықты бөлшектердің мәнін біртіндеп табайық:
Демек,
(4) теңдеуге сүйеніп, берілген теңдеудің дербес шешімін тапсақ:
болады.
Ал (5) бойынша жалпы шешімдерін аламыз:
немесе -ні арқылы белгілесек,
болады. Мұндағы , сол сияқты
2.1 Квадрат теңдеулер және оларды шешу
Біз бұрыннан білетін қарапайым квадрат теңдеулерді үздіксіз бөлшектердің көмегімен
Мысал 1. квадрат теңдеуінің оң түбірін
Шешуі. Теңдеудің түбірлері , оң түбірін аламыз.
болады. Ықшамдағаннан кейін берілген теңдеу
түріне келеді. Теңдеудің оң түбірі . Түбір
екенін табамыз. пен
түрінде болады.
Мысал 2. теңдеуінің оң түбірін үздіксіз
Шешуі. Теңдеудің оң түбірі болады. Түбір
екенін табамыз. Оң түбірі . Теңдеудің бұл
болады. Түбірі . Ендеше бұл түбір
квадрат теңдеуге келеді. Пайда болған теңдеу бірінші теңдеумен бірдей
.
Мысал 2. квадрат теңдеуін қарастырайық.
Бұл теңдеудің оң түбірі болады және
түріне келеді. Теңдеудің түбірін табамыз: , түбір
теңдеуін аламыз. Оның түбірі . Ол
түрінде болады. Теңдеуді шешсек түбірі болады,
аламыз. Бұл теңдеу бастапқы берілген теңдеумен сәйкес келеді, яғни
түрінде болады.
Мысал 3. түбірінің жіктелуін табайық.
Шешуі. Бұл теңдеудің түбірі
теңдеуіне келеді. Бұл теңдеудің түбірі
теңдеуі шығады. . пен
Сонда берілген теңдеудің түбірінің жіктелуі
түрінде болады.
Мысал 4. теңдеуінің оң түбірін үздіксіз
Шешуі. Есептің шарты бойынша теңдеудің оң түбірін аламыз
болады. Теңдеу
түріне келеді. Оның түбірі , ол
болады. Квадрат теңдеуді шешу арқылы оның
теңдеуін аламыз. Пайда болған теңдеу бойынша
түрінде болады.
Мысал 5. . Түбірлерінің бірі төмендегідей үздіксіз
Шешуі. - таза периодты бөлшек.
,
яғни . Лайықты бөлшектер кестесін құрайық.
Кесте 2.2 Лайықты бөлшектер табу
2.3 Пелль теңдеулері. Пелль теңдеулерін шешу
Келесі үздіксіз бөлшектер теориясының
Пелль теңдеулерін шешуде қолданылуын қарастырайық.
(1)
Ферма бұл теңдеудің бүтін санды шешімін қарастыра отырып, мүмкін
Бұл есепті Архимед Эратосфенге ұсынған деп тұжырымдайды; осы сұрақты
Теңдеудің ең кіші шешімінде
Кейіннен Пелль теңдеуін шешудің бірінші жүйелі әдісін 1657 жылы
теңдеуін шешуді ұсынды. Браункер бұл шешімдерді өз әдісімен бір
теңдеуін көбінесе Пелль теңдеуі деп атайды, өйткені Эйлер еңбектерінде
түріндегі жеке теңдеулер Браункер, Ферма және Лагранждың еңбектеріне дейін
Алдын ала бір санның квадратына тең
болғандықтан, сызықты теңдеулер жүйесіне жіктеледі:
немесе
бірінші жүйенің, ал екінші жүйенің шешімі
Пелль теңдеуін шешкен кезде оның оң бүтін шешімі
> және >
түрінде қайта жазсақ,
(2)
болады. Жоруымыз бойынша > ,
> > >
шығады. Бұларды ескерсек, (2) қатыс
< <
түріне келеді. Лайықты бөлшектің қасиетіне сүйенсек,
Сонымен қатар, > -нен
Енді қандай тақ ретті лайықты бөлшектер Пелль теңдеуінің шешімдерін
Айталық - (1) теңдеуінің шешімін анықтайтын
, .
Егер толық бөліндісін арқылы белгілесек,
болады. Бұдан тақ деп жорамалдап отырып
.
(1) теңдеудің шешімі лайықты бөлшегі арқылы
(4)
болады. Мұндағы бүтін сан.
(4)-ге мәнін қойсақ,
.
Сонымен, лайықты бөлшегі (1) теңдеудің шешімін
> , <
Онда
> , >
теңсіздіктерін мүшелеп көбейткеннен кейін
>
шығады, яғни
> .
Сондықтан
> .
Сонымен, - бүтін оң сан.
Егер енді –ның (5)-дегі мәнін
қойсақ, үшін периоды -ге
(6)
Сөйтіп, біз мынадай қорытындыға келдік:
Егер - тақ сан болса, онда
лайықты бөлшегі (1) теңдеудің іздеп отырған шешімін анықтайды.
Сонымен қатар бұл шешім – ең кіші оң шешім
лайықты бөлшегі арқылы беріледі. Қорыта айтқанда,
(7)
лайықты бөлшектерімен анықталады, ал - жұп
(8)
лайықты бөлшектерімен анықталады.
–нің үздіксіз бөлшекке жіктелуінің периоды
толымсыз бөліндісінен тұратындықтан, жасалған қорытындыны былай да айтуға болады:
Егер жіктелуінің периоды
–нің түрі болса ғана,
Шынында, жіктелуінің дұрыстығын тексеру қиын емес.
Бұл жағдайда бөлшегінің тақ ретті лайықты
Пелль теңдеуінің ең кіші оң шешімдері берілетін таблицалардың зор
Тағы бір теңдеуді қарастырайық:
(9)
Сонда:
< пен >
бұдан:
< .
> болғанда лайықты бөлшектің -
Егер жұп индексті лайықты бөлшек болса
> , >
Демек,
> .
Онда (10) теңсіздіктен
< <
екенін табамыз.
Лайықты бөлшектің - қасиеті бойынша
Осының алдындағы айтылғандай
жіктелуін аламыз, әрине (9) теңдеудің ең кіші оң шешімін
лайықты бөлшегінің индексі міндетті түрде жұп
Егер –нің үздіксіз бөлшегінің периоды
бөлшектерімен анықталады.
Мысал 1. Пелль теңдеуінің ең кіші
Шешуі.
-ді үздіксіз бөлшекке жіктесек,
болады. периоды толымсыз
Мысал 2. теңдеуін қанағаттандыратын
Шешуі. -ді үздіксіз бөлшекке жіктей отырып,
екенін табамыз.
Мұнда период цифрларының санын көрсететін сан
Мысал 3. теңдеуін қанағаттандыратын
Шешуі. Мұнда болғандықтан,
.
лайықты бөлшегі ең кіші оң шешімін береді. Демек ізделініп
Мысал 4. теңдеуінің екінші шешімін табайық.
Шешуі. -ні үздіксіз бөлшекке жіктесек,
екенін табамыз. периоды
теңдігінен
табамыз. Ендеше
Мысал 5. теңдеуінің екінші шешімін анықтайық.
Шешуі. -тің үздіксіз бөлшекке жіктелуі
период цифрларының санын көрсететін сан – тақ, сондықтан берілген
Екінші шешімін табатын болсақ
шығады. Осыдан
Мысал 6. теңдеуі берілген. Осы теңдеудің
Шешуі. -ді үздіксіз бөлшекке жіктейтін болсақ,
периоды толымсыз бөлінділерден тұрады,
Қарастырылған теңдеудің теңдеудің ең кіші шешімі
Ендеше
Мысал 7. теңдеуін қарастырайық. Теңдеудің екінші
-ті үздіксіз бөлшекке жіктей отырып,
екенін табамыз. Мұнда период цифрларының санын
Теңдеудің екінші шешімін табатын болсақ
Үшіншісін
табамыз.
Үздіксіз бөлшектер теориясын тағы да қосымша мысалдар қарастырайық.
Мысал 1. -нің үздіксіз бөлшекке жіктелуіндегі алғашқы
Шешуі. < < болғандағы
Ықшамдағаннан кейін теңдеу
түріне келеді. -дің мәні қай аралықты жатқанын
.
үшін жазылған теңдеудің сол жағын -тің дәрежесі
аламыз. Содан кейін теңдеу
түріне келеді.
Бұл теңдеуден -нің <
болады. Одан
< < ,
табамыз. үшін теңдеу
түрінде жазылады, бұл теңдеуден
< < ,
алатын болсақ, үшін теңдеудің түрі
болады. Одан < <
.
Мысал 2. санын үздіксіз бөлшекке жіктеп,
Шешуі. . Бүтін бөлігін айырайық:
,
,
,
,
,
аламыз.
Біз алдық, ендеше -ден
.
Лайықты бөлшектер кестесін құрайық.
Кесте 2.3 Лайықты бөлшектер табу
Бізге > орындалатындай
Мысал 3. санын үздіксіз бөлшекке жіктеп,
Шешуі. ;
;
;
;
Кесте 2.4 Лайықты бөлшектер табу
болады, өйткені > .
ҚОРЫТЫНДЫ
Диплом жұмысым шектеусіз үздіксіз бөлшектердің сандар теориясындағы маңызын ашып
Оларды түріндегі анықтылмаған теңдеулер шешуде қолдану
Үздіксіз бөлшектерді тағы да басқа күрделі анықталмаған теңдеулерді, яғни
Сонымен қатар үздіксіз бөлшектер өзімізге бұрыннан белгілі квадрат теңдеулердің
Ал лайықты бөлшектерге тоқталатын болсақ, лайықты бөлшектер иррационал санға
Диплом жұмысымда лайықты бөлшектердің бірнеше қасиеттерін толық қарастырып, олардың
Қорытындылай келгенде, үздіксіз бөлшектер, соның ішінде шектеусіз үздіксіз бөлшектердің
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. Бухштаб А.А. Теория чисел : учеб. пособие для
факультетов / А.А. Бухштаб. – 2-е изд., испр. М.:
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел : учеб. для
Виноградов. – 8-е изд. испр. М.: Наука, 1972. –
3. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия : в 5 т.
М.: Советская энциклопедия, 1985. – Т. 3. – 1184
4. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Ввведение в теорию чисел
пер. с англ. Б.З. Мороза под ред. Ю.В. Линника.
5. Кочева А.А. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел,
пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов / А.А.
Просвещение, 1984. – 41 с.
6. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел :
спец. пед. ин-тов / Г.А. Кудреватов. – М.: Просвещение,
7. Куликов Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории
студентов физ.-мат. спец. пед. институтов / Л.Я. Куликов, А.И.
А.А. Фомин. - М.: Просвещение, 1993. – 288 с.
8. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел, ч. 1.
мат. фак-тов пед. ин-тов / Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев.
– 383 с.
9. Михелович Ш.Х. Теория чисел : учеб. пособие для
тов пед. ин-тов / Ш.Х. Михелович. – М.: Высшая
10. Прохоров Ю.В. Математика. Большой энциклопедический словарь / Ю.В.
Прохоров. – 3-е изд. – М.: Большая Российская энциклопедия,
мат-ких спец. пед. ин-тов / Л.Б. Шнеперман. – Минск:
1982. – 223 с.
12. Хинчин А.Я. Цепные дроби / А.Я. Хинчин –
Наука, 1978. – 112 с.
81
Шектеусіз үздіксіз бөлшектің лайықты бөлшектері
Шектеусіз үздіксіз бөлшектердің қолданылуы
Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау
Бөлшек ұғымы
Теріс санды теріс санға бөлу
Жай бөлшектің ондық жуықтауы
Нақты сандар және олардың қасиеттері
Нақты сандар және олардың қасиеттері. Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану
Функцияның нүктедегі шегі
Геометриялық құрылым мәселесі және оның физикалық теориясы