Сызықтық емес Урысон интегралдық операторының кейбір қасиеттері




Мазмұны
Lp кеңістігі және сызықтық операторлар . . .
Сызықтық емес Урысон интегралдық
операторының кейбір қасиеттері . . . . .
Урысон операторының бір классының
үзіліссіздік критерийлері . . . . . .
Әдебиет . . . . . . . .
Lp кеңістігі және сызықтық операторлар
1-анықтама. f(x) өлшемді функциясы жоғарғыдай біз функциялардың шектелуін
.
Мұндай функциялар жиыны Lp арқылы белгілеу қабылданған (немесе
1-теорема. f(x) функциясы, р>1 дәрежелі қосындыланатын яғни
Расында да егер E=[a, b], A=E( ), B=E-A
2-теорема. Lp-ға кіретін екі функцияның қосындысы да осы класқа
Шынында да, f(x) және g(x) Lp-ға кіреді делік.
E=[a, b], A=E , B=E-A десек, онда
,
бұдан
екендігі шығады.
Осылайша біз шекті интегралданатынына көз
Мұндағы k – шекті тұрақтылық.
р>1 болсын. саны р-ға
болаиыны себепті q-ға түйіндес көрсеткіш р бар, демек бұл
3-теорема. Егер , ал ,
(1)
теңсіздігі дұрыс.
Дәлелдеуі: 01 болғанда былай болады:
(10)
Lp- дағы g(x) – функциясының кез келген орнын
Гëлдер теңсіздігін пайдалана отырып орташа жинақталу жүйелілігінің (сол шекке)
Егер p=1 болса, түйіндес көрсеткіш болмайды. Мұндай жағдайда
Қорытындылай келе талдауда кеңістігінде қолданылатын (мұндағы
нақты санының Lp кеңістігінде жиынның барлық жүйелілігін x=(x1, x2,
саны элементінің нормасы деп
Норма енді әдеттегі қасиетке ие.
І. және
ІІ. және дербес жағдайда
ІІІ. .
Алғашқы екі қасиет айқын, ал үшінші (9) – дан
Е және Е1 – екі сызықтық топологиялық кеңістік болсын.
Сызықтық операторда Е Е1 деп
y= Ax,
шартты қанағаттандыратын
айтады.
DA жиынтығы А –
А операторы нүктесінде үзіліссіз болады,
Е және Е1 нормалданған кеңістік болғанда мына анықтама келесіге
бұдан шығатыны
жиыны Ах=0 үшін А сызықтық операторын ядросы деп аталады,
Бұл тараудың басында келтірілген сызықтық функционал ұғымы ол сызықтық
Сызықтық емес Урысон интегралдық
G және F – ақырғы өлшемді кеңістікте екі өлшемді
(1)
Урысон операторы дейді.
1-теорема. R(t,s,u) және R1(t,s,u) функциясы Каратеодори шарттын
(t G, s F, -∞0 δ=
.
{un(s)}n≥0 L∞ болсын және
(15)
(15) үшін ε>0 n0=n0(ε). Мынадай
(16)
барлық n>n0-де.
Келесі
.
(14) және (16) теңсіздігінен шығады
, n>n0
1)=>2) орынды екендігін көрсетеді.
K үзіліссіз болсын, K операторы компакт екенін дәлелдейік.
үйір функциясын қарастырайық. Т( ) тізбегі {K(t,cn)} болсын.
.
Сонымен, Т( ) үйір функциясы Lq-де компакт. Сондықтан
1) М=M( ) саны және
.
2) Кез келген ε>0 әсері δ=δ(ℓ,ε)>0
.
3) Кез келген ε>0 әсері N=N(ℓ,ε)>0
(19)
барлық |c|


Ұқсас жұмыстар

Сызықтық емес Урысон интегралдық операторының кейбір қасиеттері
ФУНКЦИОНАЛДЫ ТАЛДАУДАҒЫ СЫЗЫҚТЫ ОПЕРАТОРЛАР ТЕОРИЯСЫ
Интегралдық кластарды кластарға бөлу
Дербес туындылы сызықтық дифференциалдық теңдеулерді зерттеу
Интегралдық теңдеулер
Сызықты кеңістіктер
Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар
Түйіндес түрлендірулер
Штурм-Лиувиллдің шекаралық есебі
Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін көрсету