Кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орыны

МАЗМҰНЫ
Кіріспе
1. Жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орыны
1.1. Нүктелердің геометриялық орыны туралы түсінік
1.2. Қарапайым геометриялық орындарға шолу
1.3. Геометриялық орынды іздеу
Кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орыны
2.1. Негізгі геометриялық орындар
2.2. Екінші ретті беттер нүктелердің геометриялық орыны ретінде
2.3. Цилиндрлік бет нүктелердің геометриялық орыны ретінде
2.4. Геометриялық орын әдісі
3. Аполлония шеңбері
4. Геометриялық орындарды аналитикалық геометрия әдістерімен іздеуге мысалдар
5. Геометриялық орын әдісімен салу есептерін шығару
Практикада қолданылуы
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі
Қосымша
КІРІСПЕ
Геометриялық орын түсінігі айтарлықтай әдістемелік және білім беру
Геометриялық орын әдістері қолданылатын есептерді шешуде кеңістікте алдымен
Нүктелердің геометриялық орыны — басқа әр түрлі
Нүктелердің геометриялық орыны деп бірнеше қасиеттерге ие
Жазықтықта тек нүктелердің геометриялық орыны деп қарастырсақ, ал
Сондықтан кеңістікте геометриялық орын дегеніміз — орны бір
Бұл жұмыста кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орнына көбірек тоқталамыз,
Курстық жұмыстың мақсаты: жазықтықта немесе кеңістікте болсын нүктелердің
Зерттеу объектісі негізінен нүктелер және олардың әртүрлі ортадағы
1.ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ НҮКТЕЛЕРДІҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ОРЫНЫ.
1.1. Нүктелердің геометриялық орыны туралы ұғым.
Геометриялық денелер әртүрлі тәсілмен берілуі мүмкін. Денелердің
Мысалы: Кез-келген АВ кесіндісін былай
1-сурет.
Егер дене тек қана осы денеге тиісті нүктелердің
Бұдан берілген қасиеттерге ие болатын
Біздің мысалда АВ кесіндісі l түзуіне параллель болатын
Геометриялық денелер геометрияға жаңадан көбінде тек осы геометриялық
Мысалға шеңбер — мектептегі геометрия курсында, эллипс, гипербала
Аналитикалық геометрияда сызықтардың теңдеулерін құруда оларды нүктелердің геометриялық
Нүктелердің геометриялық орыны тек қана сызық немесе бірнеше
Ф – дененің әр нүктесі бұл қасиеттерге ие.
Аталған қасиеттерге ие болатын әр нүкте Ф денеге
1.2. Қарапайым геометриялық орындарға шолу.
Жазықтықтағы өте қарапайым нүктелердің геометриялық орыны мектепте геометрия
1.О нүктесінен r қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орыны—
2. Берілген екі нүктеден де бірдей қашықтықта жататын
2-cурет. геометриялық орыны кейде берілген нүктелердің симметриалі
3. Берілген түзуден h қашықтықта орналасқан нүктелердің геометриялық
3-сурет. болатындай р түзуін жүргіземіз.
4. Екі параллель түзуден бірдей арақашықтықтағы нүктелердің геометриялық
Бұл геометриялық орыны салу үшін а және в
4-сурет. жүргіземіз. Осы кесіндінің ортасын тауып, сол нүктеден
5. Қиылысатын екі түзуден бірдей қашықтықтағы нүктелердің геометриялық
5-cурет. табылады(5-сурет).
1.3. Геометриялық орынды іздеу.
Қандайда бір қасиетке ие болатын нүктелердің геометриялық орыны
Нүктелердің геометриялық орынын табуға арналған тапсырмаларды шешу әдетте
Анализ жасаудың мақсаты — ізделінді нүктелердің геометриялық орыны
Анализ жасау әдетте чертежда берілген денені салады және
Дәлелдеу барысында екі өзара кері сөйлемдерді түсінеміз:
Зерттеу есепті шешу барысында мүмкін пайда болатын, осы
2. КЕҢІСТІКТЕГІ НҮКТЕЛЕРДІҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ОРЫНЫ.
2.1. Кеңістіктегі негізгі геометриялық орындар.
Қарапайым геометрия курсында және өмірде де кездесетін геометриялық
Енді осы айтылған кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орындарының біразын
I.О нүктесінен бірдей а қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
II.в түзуінен бірдей а қащықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
бағыттаушы шеңбердің радиусы – а, бұл
III. жазықтығынан бірдей қашықтықтағы (екі жағынан да)
IV.А және В нүктелерінен бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің
V.Екі түзуден бірдей арақашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орыны.
Екі түзу кеңістікте параллель орналасуы, қиылысуы немесе айқасуы
а) а және в түзулері қиылысады. қиылысатын екі
б) а және в түзулері параллель. Мұнда
береді(4-сурет).
в) а және в түзулері айқасады. Мұндай жағдайда
Бұл геометриялық орындардың қасиеттерін анықтау үшін былай талқылаймыз:
Енді а және в айқас түзулерін қиятын
Осылайша бірдей қашықтықта жататын шексіз көп түзулерді
VI.(, ( қиылысатын екі жазықтықтан бірдей қашықтықта жататын
VII. Үш нүктеден бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
а)Берілген А, В және С нүктелері бір түзудің
б) Берілген А, В,С нүктелері бір түзудің бойында
VIII. Үш түзуден бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
а) Үш түзу (бір α жазықтықта жататын) бір
8-сурет. геометриялық орны – қиылысу нүктесі
б) Үш түзу α жазықтықта қос-қостан қиылысады.Ізделінді геометриялық
9-сурет. және сыртқы бұрыштардың биссектрисалары
қиылысатын
нүктеден өтетін төрт түзу болады(k,l,m,n)(9-сурет).
в) Екі түзу параллель және үшіншісі сол екі
г) Бір α жазықтықта жататын үш өзара параллель
түзуде жататын ешқандай нүкте жоқ, яғни нүктелердің геометриялық
д) Үш түзу (а,в,с) Ѕ нүктеде қиылысады, бірақ
Мұндай жағдайда, әр түзуден бірдей қашықтықта жататын нүктелердің
Бұл геометриялық орынды салу үшін а және в
α және β жазықтықтары γ,σ және ε,ρ жазықтықтарымен
е) а,в,с үш түзуі әр түрлі жазықтықта өзара
Бұл үш жазықтықты алу үшін V,б - геометриялық
IX. Үш жазықтықтан бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
а) α,β,γ жазықтықтары бір нүктеде қиылысады. Бір нүктеде
б) α,β және γ жазықтықтары параллель түзулер арқылы
Параллель түзулер арқылы қиылысатын үш жазықтықтан бірдей қашықтықта
орналасқан нүктенің геометриялық орны – қиылысу түзулеріне параллель
в) Екі α және β жазықтықтары параллель, ал
Мұндай жағдайда ізделінді геметриялық орын – екі түзу.
14-сурет. болсын (VI, б –г.о.) (14-сурет).
Енді α1,γ2 және γ3 жазықтықтары а түзуі арқылы,
г) Үш жазықтық өзара параллель болады.
Мұндай жағдайда үш жазықтықтан біруақытта бірдей арақашықтықта ешқандай
д) Үш жазықтық бір түзу арқылы
Х. Берілген екі жақты бұрышқа жүргізілген түзулердің параллель
α және β жазықтықтары а түзуі арқылы қиылысатын
; m және n – берілген сан
Енді N1N2 – кез келген А1А2 –ге параллель
Енді N нүктесі γ жазықтығында жататынын дәлелдеу керек.
А1А2 және N1N2 арқылы өтетін және а түзуін
Бұрыштық N1N3N2-ның қабырғасын қиятын параллель кесінділерді берілген қатынаста
Салдар:
Екі жақты бұрыштың әрбіреуі қабырғасына дейінгі арақашықтықта жатқан
ХI. Берілген кесінді тікбұрышпен көрінетін нүктелердің геометриялық орны
Бұл геометриялық орын жазықтықтағы белгілі геометриялық орының табиғи
Егер берілген түзу қандай да бір түзуге тиісті
ХІІ. а) Берілген түзудегі S нүктесінен өтетін және
16-сурет. 17-сурет.
Дербес жағдайда:
(=0. геометриялық орын – берілген түзумен
беттесетін түзу болады.
(=900. геометриялық орын – берілген түзудегі нүктеден өтетін
б) Берілген S нүктеден өтетін және берілген α
Дербес жағдайда:
(=0. геометриялық орын – берілген жазықтыққа параллель және
(=900. геометриялық орын – берілген жазықтыққа перпендикуляр болатын
ХIII. а) Берілген жазықтық пен осы жазықтыққа перпендикуляр
Салдар. ( жазықтық пен осы жазықтыққа перпендикуляр а
қимасы нақты бұрышпен берілген, төбесі (
жазықтықпен а түзуінің қиылысу нүктесі, а түзуі осі
б) Әр нүктеден жазықтықта жатқан берілген нүктеге дейінгі
Берілген А нүктесі ( жазықтықта жатсын және М
( мен ( жазықтықының қиылысу болып табылатын
болғандықтан, ( жазықтығының әр нүктесінен А нүктесіне дейінгі
а және МА түзулері арасындағы бұрышты ψ деп
а түзуі арқылы тағы да (2,(3,..., жазықтықтарын жүргізуге
Осы (,(1,(2,..., жазықтықтардан алынған түзулерді ізделінді нүктенің геометриялық
Осыған орай ізделінді геометриялық орны төбесі А нүктеде
ХІV. Берілген сфераның тең хордаларының орталарының геометриялық орны
Бұл геометриялық орын сонымен қатар мына геометриялық орындардың
Берілген сферада тең хордаларды берілген қатынаста бөлетін нүктенің
Радиусы – R сфераны радиусы – r шеңбермен
XV. Берілген сфера ( бұрышпен көрінетін нүктелердің геометриялық
Сфераға тиісті емес нүктеден, оған көптеген жанамалар жүргізуге
20-сурет.
көрінетін бұрышы деп атаймыз.
Егер ( - берілген бұрыш, R – сфераның
Осы жерден келесі қорытындыны шығаруға болады: берілген радиусы
Жазықтықта берілген шеңбер ( бұрышпен көрінетін нүктелердің геометриялық
ХVІ. Әр нүктесінен берілген екі А және В
Бізге бұл геометриялық орынның формасы белгісіз болсын дейік.
АВ кесіндісі арқылы қандай да бір ( жазықтығын
АК2+ВК2=а2
АL║ВК және ВL║АК болатындай жүргізіп, АКВL параллелограммын аламыз
АВ және а ұзындықтары тұрақты болғандықтан, КL да,
АВ түзуі арқылы тағы да γ,δ,.., жазықтықтар жүргізіп,
Сондықтан, АВ түзуі арқылы өтетін жазықтықтар осы геометриялық
Ізделінді сфераның радиусын келесідей үлгіде салуға болады. а
21-сурет.
болатындай доғалар саламыз, С нүктесі осы доғалардың қиылысу
ХVІІ. Берілген А және В нүктесіне дейінгі арақашықтықтардың
23-сурет.
нүктесі арқылы өтетін, АВ түзуіне перпендикуляр және
қанағаттандыратын жазықтық болып табылады(23-сурет):
АС2-ВС2=а2
ХVIII. Берілген A және B нүктесінен арақашықтығы
AM:BM=m:n
және мұндағы m>n болсын (24-сурет).
АВ-дан С нүктесін мына қатынас орындалатындай табамыз:AC:CB=m:n. Бұл
AC:CB=АМ:МВ пропорциясынан МС – AMB үшбұрышының биссектрисасы, осыдан
AF:BF=AM:LM=AM:MB=m:n
Сондықтан, F нүктесі салумен оңай табылатын тұрақты нүкте.
Содан соң АВ-ның жалғасымен F нүктесі арқылы қиылысқанша
(CMF=900 болғандықтан, М нүктесі диаметрі CF түзуі болатын
А және В нүктесінен α жазықтықтың кез
Екінші ретті беттер нүктенің геометриялық орыны ретінде.
Кеңістікке геометриялық орындар туралы айтқанда, ІІ-ретті беттерді нүктенің
Екінші ретті беттер аналитикалық геометрияда кең түрде оқытылады.
Бұл беттер мыналар: шар, эллипсоид, бірқуысты және екіқуысты
Берілген нүктеге дейінгі және берілген түзуге дейінгі арақашықтық
Осыған ұқсас ІІ-ретті беттерге де анықтама беруге болады.
Кеңістіктен қандай да бір Ғ нүктесін және осы
Ғ нүктесіне дейінгі арақашықтардың берілген α жазықтыққа дейінгі
Дәлелдеу үшін Ғ нүктесі арқылы α жазықтығына перпендикуляр
Жоғарыда айтылған бұл қисық е