Түйіндес оператор
Мазмұны
I. Кіріспе
II. Негізгі бөлім
1. Унитар кеңістік
2. Оператор, унитар оператор
3. Сызықты түйіндес оператор
4.Өзіне-өзі түйіндес оператор
5. Полярлы жіктелу
III. Қорытынды
Осыған дейінгі қарастырылған
Біз негізгі математикалық
Сызықты комплексты кеңестік
1) (х,у) = ( )
2) (
3) (x + y, z)=(x,z)+(y,z)
4) (x,x)>0 егер x
шарттары орындалса .
Келесі кезекте оператрға
Математикалық анализдің негізін
Ал функционалды тәуелділікті
Х бос емес
y = A(x)
Оны А операторы
Х жиыны А операторының
Келешекте біз тек
А(
кез келген u
үшін (2) теңсіздік орындалса.
Мысал 1. С
L:c
D (L) = {u(x)
Ол мынадай формуламен
Lu(x) = - u (x)
Берілген оператордың барлық
Мысал 2. Үздіксіз функциалар
А оператордың анықталу
Айталық u онда
А(u
және А оператор
А(
Сондықтан
А(
шарты
болғанда ғана орындалады. Бұл
фонрмуламен берілген, яғни біртекті
Унитар оператор.
Дұрыс оператор U унитарлы
U U = U
Теорема: U дұрыс оператор
Дәлелдеу. Егер айталық U
1 = (x,y) = (x,u
Енді U дұрыс
X =
Енді
есептейміз.
Кез – келген вектор
Теорема: U оператор унитар
Дәлелі . Айталық U –
(х,у) = (x,u
Енді қандайда бір
(х(U
Себебі х, у
U
теңдік орындалмайды. Сондықтан U
яғыни U оператор
Сандар. Кез – келген унитарлы
Сандар. Егер сызықтық оператор
Шынында да, егер
Х =
Онда;
(х,у) =
U – сызықтық оператор
Ux =
Сондықтан
(Ux, Uy) =
Нәтежиеде (1) теңдік
Айта, кететін жайт, біз
(х,у) =
Түйіндес оператор .
Кеңестіктегі сызықтық
Айталық екі унитар
(Ах,у) = (x,A*y)
Теорема: кез – келген
Дәлелі: Х кеңестігінде
Х =
Егер А* оператор
А*у =
А*у =
Бірақ бұл, егер
Енді (3) теңдікті
(Ах,у) = (A
(x,A*y)=
Теорема дәлелденді.
А* түйіндес оператор А
(А*)* = A
(A+B)*=A*+B*
(
(AB)*=B*+A*
(A*)
Мұндағы
(у,(А*)*х) = (А*у,х) = (
Теңдіктің сол жағы
Айталық А оператор
е векторлар
(у,Ае
А оператор азғындалмаған,
Кез – келген х,
Au = x , A*v
орындалса нәтежиеде
(х,(А
Табамыз. Кез – келген
у кез –келген
(А
Егер А оператор х
(А*Ах,х) = (Ax, Ax)
(AA*y,y) = (A*y,A*y)
Сондықтан х кеңестігінде
А*А = G
G және Ғ
жүйесіне ие. Бұл жүйе
Шынында да егер
А*Ах
Барлық к = 1,2,…….m
(Ах
Егер к
Сондықтан Ах
А*А оператордың меншікті
АхАх
АА*(Ах
Сонымен А*А оператордың
Әрине кері тұжырым
А*А және АА*
мынадай тұжырым жасауға
Қалған
А*А және АА*
Оператор А*А және
А нормалаған соң
Ах
Бұл теңдіктерді А*
А*у
Х,У кеңестіктеріндегі А,А* операторларымен
Егер х,у кеңестіктер әртүрлі
А
Егер х,у кеңестіктер
Унитар мәнін көрсететін
Айталық сызықтық оператор
А = Н Н
Бұл жөнінде Н
А* = Н Н
Бірақ онда
Н =
Алынған формулалар (1) жіктелуді
Н Н -
А оператордың дұрыстығын Н
Айталық
Ах болсын, бар
Енді х кеңестігінде
Ux
(6),(7) өрнектерден келесі
А = FU
Мұндағы Ғ теріс
ортонормаланған жүйеге өткізеді. Ескере
АА* = F
Яғыни Ғ АА*
Жалпы (7) жіктелуді
U = F
Негізгі А оператордың
А*А = U*F* FU = F*U*UF=F
Соңғы өрнек (9) бен
Айталық А оператор
(7) өрнектің екіншісін ескере
F теңдеуін
(FU)y
Болады, барлық k
(FU)y
Алынған соңғы теңдіктер
Қолданылған әдебиеттер
1. В.В. Воеводин.
2. М.А.
3. А.Г. Курош. “Курс высшей алгебры”
4. В.А. Ильин. “Математический анализ”
Түйіндес оператор
Сызықтық кеңістікке түйіндес кеңістік
Түйіндес операторлар
Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар
Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін көрсету
n-өлшемді векторлық кеңістк
Оператор, унитар оператор
Гиперболалық түрдегі оператордың бір класының симметриялы болатындығы туралы мәселені зерттеу
Физикалық шамалардың операторлары
Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы