Стандарт емес есептерді шығару

Мазмұны
Кіріспе.......................................................................................................................3
1 Стандарт емес есептерді
1.1 Стандарт емес есептерді шығаруда
1.2 Стандарт емес есептерді шығару
1.3 Стандарт емес есептерді құрастырудың кейбір мысалдары.........................13
2 Теңдеулер мен теңсіздіктерді және
2.1 Алгебра курсы бойынша бағдарламадан тыс есептер.....................................17
2.2 Математикалық логиканың элементтерін стандарт емес есептерді
2.3 Диофант теңдеулері............................................................................................33
2.4 Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің
емес тәсілдерін жоғары сыныптарда қолдану........................................................38
2.5 Стандарт емес есептерді шешудің толық квадраттық әдісі және
Қорытынды.............................................................................................................59
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі......................................................................60
Кіріспе
Қазіргі уақытта орта мектептердің негізгі міндеттерінің бірі – оқушылардың
Оқушылардың жоғары математикалық мәдениетін қалыптастырудың негізгі жолы –
Оқушылардың математикалық ой-өрісінің дамуы, олардың есеп шығара білуінен анық
Демек, оқушылардың математикаға деген ойлау қабілеттерін арттыру үшін ең
Кез келген жағдайда есептің шешімін болжау үшін есепке мұқият
Жұмыстың бірінші тарауында стандарт емес есептерді шығарудың жалпы
Жұмыстың екінші тарауында теңдеулер мен теңсіздіктер және олардың
Стандарт емес есептер оқушылардың ойлау қабілетін дамытады да, ойлауға
Стандарт емес есептер оқушылардың есепті үйреншікті жолмен шығара
Бұл дипломдық жұмыстың өзектілігі де осы міндеттерден келіп шығады.
1 Стандарт емес есептерді шығарудың
1.1 Стандарт емес есептерді
Мектеп математика курсы оқушыларының ойлау қабілеті мен жалпы білім
Математиканы оқытудың негізгі мақсаттары жалпы білім беру,тәрбиелік және практикалық
Педагогикалық энциклопедияда есептің негізгі сипатамасы былайша келтірілген: оқушыда белгілі
Демек, есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып, байытуға, оқушылардың
Математикалық есептерді шығара білуге үйрету және оған дағдыландыру –
Оқушылардың есепті шығара білуге үйрету процесі шығармашылық сипатта
Мектеп математика курсында «зерттеу» сөзімен байланысты, көптен
Оқушылардың зертеушілік қызмет элементтерінің қалыптасуын анықтауға жүргізген тәжірибелер мен
Стандарт емес есептерді шығаруға қажетті зерттеушілік қызметтің негізгі
есепті дара есептерге бөлу;
сырттай әр түрлі жүйелердің құрылымдық ұқсастықтарын анықтауды жеке-жеке қарастырайық.
1. Зерттеушілік қызмет барысында зерттеуші танымның түрлі ғылыми, эмпирикалық
Зерттеушілік қызмет процесіндегі талдаудың ғылыми зертеушілік әдіс ретінде қолдануының
Берілген А есебі дара А ,А
1-мысал. Ондық санау жүйесінде жазылған натурал санға төмендегі амалдар
1) соңына 4 санын қосып жазу;
2) санды 2-ге бөлу ( егер ол жұп сан
Осындай амалдарды бірнеше рет орындау арқылы 2 санынан 1976
Есепті шешу үшін нені табу керек екендігін анықтап алу
А .3952 санының алдындағы санды табу. Жоғарыдағы анықталғандағыдай,
А . 7904 санының алдындағы санды табу керек.
2 => 24 => 12 => 6 => 64
2 9 4
7 5 3
6 1 8
1 – сурет
1-суреттегідей етіп бір бағананың, немесе бір қатардың, диагональдың сандарының
Енді 3 (ә) мысалындағы сөздерді де осындай тақтаға бір
2. Зерттеушілік қызметтің негізгі қасиеттерінің бірі зерттелуге қажет объектінің
2 (а) – мысал. 3 және 5 литрлік ыдыстардың
2 (ә) –мысал. 22 теңгені 3 және 5
Бұл екі есеп сырттай әр түрлі болғанымен метематикалық құрылымдары
Төмендегідей мысалдар қарастырайық:
3 (а) – мысал. 1 –ден 9 –ға дейінгі
3 (ә) – мысал. «Сегіз», «ғалым», «мен», «сағым»,
Бұл екі есепті зерттеу барысында – қай уақытта бірінші
сан ғалым заман
ойын сағым ұзын
мен ғарышкер сегіз
2 – сурет
Сонымен, стандарт емес есептерді шығару барысында зерттеушілік қызметтің элементтерін
1.2 Стандарт емес есептерді шығару арқылы
Оқушылардың математикалық даму дәрежесі олардың есеп шығара білуінен анық
Кез келген қиын есепті шығару оқушыдан үлкен еңбекті, ерен
Оқушылардың математикалық қабілеттерін дамыту және математикаға ынтасын тәрбиелеуде әзіл
Оқушының меңгерген материалын шығармашылықпен ұғынуы және жаңа іс-
Аталған ойлау сапаларының қалыптасу оқушының шығармашылық тұлғасын дамытуға оқу
Мұндай материалдар сан алуан болғанымен, төмендегідей ортақ қасиеттері бар.
Қызықты есептердің шешу жолы белгісіз. Олардың шешіміне жету
Қызықты есептер оқушының пәнге қызығуына, белсенділігіне негіз болады Есептің
Қызықты есептер ойлау заңдылықтарын білуге негізделіп жасалады.
Міне, осындай есеп түрлерін жүйелі түрде қолдану аталған ойлау
Кез келген жағдайда есептің шешімін болжау үшін мұқият талдау
Бірнеше есеп қарастырып көрейік.
№ 1. АВСД дөңес төртбұрышының диагоналдары Е нүктесінде қиылысады.
Шешуі:
С
В
Е
М
А
Сызбасын қағазға түсіру арқылы біз есептің мәні ВСЕ үшбұрышының
№ 2. Бір куб берілген. Кубтың жақтарын 1 –
Оқушының әр түрлі варианттарды байқап, нәтиже шығара алмаған соң
Шешуі:
Кубтың әрбір жағында екі төбесі бар. Кубтың жақтарына жазылған
№ 3. ВАГОН
+
ВАГОН
СОСТАВ
Әріптерді сандармен ауыстыр. Бірдей әріптер бірдей сандарға әр түрлі
Мұндай есептер оқушыларды ерекше қызықтырады. Олар осы жолмен есеп
Шешуі:
Қосылғыштардың бес орынды, ал қосындының алты орынды жұп сан
85679
+
85679
171358
Қызықты есептер мектептегі оқу материалының меңгерілуін және ойлау процесінің
1.3 Стандарт емес есептерді құрастырудың кейбір мысалдары
Салдар. Табандары бірдей және биіктіктері бірдей үшбұрыштардың аудандары тең
С С С
үшбұрыштарының табаны а, биіктігі h.
h
А
1 – сурет
Салдар бойынша S =S
Енді осы салдардың ізімен стандарт емес есептер қарастырайық.
1-есеп.
2 – сурет
Берілгені : АВС тең бүйірлі АВ=АС.
S =10см
Табу керек: S =?
Шешуі: К мен N қоссақ (3 – суретті қара)
АКС үшбұрышының аудандары
(S =S =
Тең 4 үшбұрыштың қосындысына тең болады (салдар бойынша).
Яғни S =4,
S = =40см
Ал, АВС үшбұрышы тең бүйірлі болғандықтан,
оның
S = S
3 – сурет
2-есеп
Берілгені АВС кез келген үшбұрыш (4-сурет)
АВ қабырғасы тең 3 бөлікке, ал ВС қабырғасы
тең 4 бөлікке бөлінген.
S =150 см
Табу керек: S =?
Шешуі: Е нүктесімен В және С нүктелерін
қосайық (3-сурет). Сонда аудандары тең 4
4 – сурет
АВС үшбұрышының бөлігіне тең (салдар бойынша).
Демек, S = ;
S = =100
S = ; S
5 – сурет
3-есеп. Берілгені АВС үшбұрышы (6-сурет)
AN=10см
DC=4см
AL=LM=MK=KC
Табу керек: S =?
6 – сурет
Шешуі: (7 – сурет)
ADC- үшбұрышының ауданын тапсақ жеткілікті.Ал, ADC үшбұрыштың ауданы-аудандары тең
Демек, S = ; S =
4- есеп. Берілгені АВС кез келген үшбұрыш (8 –
АЕ=3 ВЕ
AF=FC
Табу керек:
8 – сурет
Шешуі: (9 – сурет) .АВ қабырғасы тең 4 бөлікке
9 – сурет
(Салдар бойынша) . Бірінің ауданын S десек, онда
Демек, болады.
5-есеп. Берілгені: АВС кез келген үшбұрышы (10-сурет) ВК=КС
Табу керек:
10 – сурет
Шешуі: ВК= КС тең болғандықтан АК-АВС үшбұрышы медианасы
Демек, болғандықтан болады.
Жоғарыда келтірілген стандарт емес есептер барлығында тек бір салдардың
2 Теңдеулер мен теңсіздіктер және олардың
2.1 Алгеба курсы бойынша бағдарламадан
Москва университетінің профессоры, белгілі математик С. Янковская (1896-1966) математикалық
Бұл арада С. Янковская қалыпты емес (стандарт емес) есептер
Қандай да бір есепті шығарғанда, оны талдау барысында, бұл
Төмендегі бірнеше мысалдар арқылы қалыпты емес ( стандарт емес)
1-мысал. Теңсіздіктерді шешіңіздер: 2+cos 2x< 3 cos x
Шешуі: Берілген теңсіздікті оң бөлігі ноль болатын теңсіздікпен ауыстырамыз.
Бұл тәсіл, яғни теңсіздікті түрлендіру арқылы, оның бір жақ
Мұндағы тригонометриялық функциялардың аргументтері бірдей болса, лнда теңсіздік ықшамдалар
2cos x – 3 cos x+10 ,теңдеу у=2 –
+ =2 тәуелділігінің графигі 3 – суреттегідей болады.
3 – сурет
2-тәсіл.
+ =2 (1) тәуелділігінің графигін, (2)
Бұл тәуелділіктің графигі 4 – суретте көрсетілген.
4 – сурет
Енді бұл графиктің ОХ және ОУ осіне қарағанда
5 – сурет
Ал (1) тәуелділіктің графигін салу үшін, графикті оңға ОХ
6 – сурет
Бұл екі тәсіл арқылы қалыпты емес(стандарт емес) есепті бұрынғы
Ал 2-тәсіл арқылы біз есептің шартын тиянақты түрде талдау
3-мысал.Теңдеулер жүйесін шешіңдер:
Бұл теңдеулер жүйесі түріне қарасақ, біздің шығарып жүрген жүйелеріміз
Есептің шартын тиянақты түрде талдай бастасақ 1 – теңдеудің
Ал 2 – теңдеуді талдау барысында 48 –ді 4
Енді 2 – ні log 16 –мен ауыстырсақ,
Логарифмдердің қасиетін пайдалана отырып алгебралық жүйеге келеміз.
=> =>
Жүйені қосу немесе алмастыру тәсілін қолдана отырып шешеміз
Стандарт емес есептер оқушылардың ойлау қабілетін дамытады да, ойлауға
Стандарт емес есептер оқушылардың үйреншікті жолмен шығара салуына мүмкіндік
1) ;
2) ;
3) бұл есептердің барлығы
Дәреженің қасиеттерін толық меңгерген оқушыларға бұл есептердің ешқандай қиындығы
Міне, бір сарынды есептер оқушылардың ойлау қабілеттерін шектейді, белгілі
Ол үшін бірінші тақырыбымыз – дәреженің қасиетеріне арналған
Стандарт емес есептер қалай құрастырылады?
2) Стандарт (үйреншікті) және стандарт емес есептердің бір-бірінен айырмашылығы
3) Стандарт емес есептердің оқушылардың математикалық ойлау
қабілеттері дамытуға тигізетін әсері бар ма?
Бұл сұраққа жауап беру үшін, біз әуелі (С.А.Теляковский,7-сынып алгебра
Егер болса, онда ?
Мұғалім, осы есепті шығарту алдында өзіне өзі сұрақ қоюы
Сөйтіп, мұғалім осы есеп арқылы оқушылардың ойлау қабілеттерін арттыруға
Берілгені: Егер болса, онда
а) б)
Есептің бес жауабы берілген, оның ішінде біреуі «шын».Оқушы «шын»
Мұғалім тағы да есептің шартын өзгертпей, ізденісін өзгерту арқылы
а)1/m б) m
Мұнда дәреженің қасиетін жақсы білген оқушы бірден «жауабы А»
Сонымен, мұғалім ізделіндіні таңдап алу арқылы ғана емес, есептің
Егер болса, онда
а) б) m
Мұнда мұғалім есептің «шын» жауабы нің орнына,
Бұл жағдайда кейбір оқушылар «шын жауабы жоқ» деп жауап
Жоғарыда біз, алгебра оқулығындағы дәреженің қасиетіне байланысты бір стандарт
Енді стандарт емес есептің төңірегінде бірнеше стандарт емес есептер
Мысалы:
Егер болса, онда ?
а) б)
Шешуі: Ізделінді дәрежесін
Жауабы: Д.
Немесе, шын жауабын өзгертетін болсақ, онда
а) б)
Мұнда «шын» жауабының орнында тұр. Осылайша,
Мысалы. Егер болса, онда
а)
Шешуі:
Жауабы: А.
Мұнда ізделінді
Шешуі: .Енді 2 – теңдіктің
Жауабы: С.
1) және
.
Осы жауаптардың ішінде біреуі дұрыс екені бізге белгілі. Есепті
Шешуі: десек, 5 –тің орнына
2) болса, онда ?
Шешуі: Мақсат, тек біреу мен
Демек, болады.
Жауабы : D.
3) болса, онда ?
а) 16 в) 24 с) 32
Шешуі: болады. Ал,
Яғни, - нің орнына қоятын болсақ, онда
Жауабы: С.
Есептерді әр түрлі етіп құрастыра білуге балады. Ол өзіміздің
Төмендегі есептерді қарастырайық:
Егер болса, онда ?
Шешуі: болады.
шығады.
Демек, шешімі болады.
Егер болса, онда
.
Бұл есепті ойлау қабілеті жоғары оқушы бірден есептейді де,
Шешуі: яғни, жауабы: С.
Оқушылардың ойлау қабітін дамыту бізге байланысты екені рас, ақиқат.
Егер болса, онда
Шешуі:
Жауабы: А.
Егер болса,онда
Шешуі: болады.
Енді соңғы теңдіктің екі жағын n дәрежемен шығаратын болсақ,
Егер және болса,
Шешуі: Енді теңдігіндегі 2-нің
Жауабы: А.
Сөйтіп, біз дәреженің қасиеттеріне байланысты стандерт емес есептерді құрастырдық.стандарт
. Негіздері де, дәреже көрсеткіштері де әр түрлі дәрежелер
Мысалы: 1: Егер болса, онда
.
Шешуі: =
Жауабы: С.
Мысалы: қасиет бойынша
Яғни, х=-1, у=4 болады.
Ал енді есептің шартын да, ізделіндіні де өзгеру арқылы
.
Шешуі: х=-1, у=4 болады. Ал, екіншіден ізделіндідегі х-пен у-тің
Оқушы А-ның астын сызады. Ал енді шын жауабын өзгерту
Мысалы: Егер болса, онда
Шешуі: 1 - қасиет бойынша .
Яғни,жауабы: B.
. Негіздері әр түрлі тең тақ көрсеткішті дәрежелер
Мысалы: 1)
.
Шешуі: - бойынша
Ал, егер ізделінді дәрежесі болса, онда
Мысалы: 1)
Шешуі:
Жауабы:А.
. Негіздері әр түрлі тең жұп көрсеткішіті дәрежелер
Мысалы: 1)
Шешуі.
Мысалы: 2)
Шешуі:
. болады, егер төмендегі үш шарт
Мысалы:
Шешуі:
Сонда, берілген есептің үш шешімі бар (х=5, х=3, х=1).
Міне, сөйтіп оқушыларға дәреженің қасиеттері туралы кең ұғым беруге
2.2 Математикалық логиканың элементтерін стандарт емес есептерді
Оқушылардың ой –өрісін, ойлау қабілетін дамытуда, пәнге деген қызығушылығын
Бұл пәнді енгізу оқушының байқау және салыстыру шеберлігін кеңейтуге
Логика екі даму кезеңнен тұрады.
1-ші кезең - ғалым және философ Аристотельдің (б.э.д.384-322 жылдары)
2-ші кезең - математикалық немесе символдық логиканың пайда
Математикалық логика жиындар теориясын, алгоритмдерді, рекурсивті функцияларды дамытуда, сол
Логика алгебрасының негізгі ұғымы айтылым. Айтылымдар алгебрасыныдағы негізгі амалдар:
Логикалық теңдеулер жүйесін құруға мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Абылай, Ержан және Думан математика олимпиадасына қатысты. Үш
1) Абылай екінші орын алды;
2) Ержан екінші орын алған жоқ;
3) Думан бірінші болған жоқ.
Олимпиада қорытындысын хабарлаған соң екі жюри мүшесі қателесіпті, ал
Шешуі: Математикалық логиканы қолданып шешейік.
Айтылымдарды белгілейік:
« Абылай екінші орын алды» - А ;
«Ержан екінші орын алған жоқ» - ;
« Думан бірінші орын болған жоқ» -
Есеп шарты бойынша екі жюри мүшесі қателескен, ал біреуінің
А
Екі рет теріске шығару заңы бойынша:
А Е D
Бірінші өрнек 0-ге тең яғни жалған, себебі Абылай
Сонымен Е =1.
Соңғы өрнек Абылайдың екінші, Думанның бірінші орынды алмағандығын, ал
2-мысал. Қызылорда қаласының әртүрлі мектептерінен үш оқушы демалуға лагерге
Перизат: «Мен № 4 мектепте оқимын, ал Ләззат №
Ләззат: «Мен № 3 мектепте оқимын, ал Перизат
Күләш: «Мен № 4 мектепте оқимын, ал Перизат
Қыздардың жауаптарындағы қарама-қайшылыққа таңданған тәрбиеші оларға қайсысы шын және
Шешуі: Бұл есепті графтар көмегімен де табуға болады. Логика
Айтылымдарды айнымалылар арқылы белгілейік:
Перизаттың айтылымдары: «Мен № 4 мектепте оқимын » -
«Ләззат № 8 мектепте оқиды» - L
Ләззаттың айтылымдары: «Мен № 3 мектепте оқимын» -L
«Перизат № 10мектепте оқиды» - P
Күләштің айтылымдары: «Мен № 4 мектепте оқимын» -
«Перизат № 8 мектепте оқиды» - P 7
Есеп шартында не P =1 не L
Осы сияқты талдап, қалған қыздардың айтылымдарына яормула құрамыз:
L
K
Егер осы үш айтылымғнан логикалықкөбейтінді жасасақ, онда ақиқат болады:
( P
Алдымен бірінші жақшаны екінші жақшаға көбейтіп, жалған өрнектерді алып
Бұл теңдеуді (1) теңдеудің үшінші жақшасымен көбейтеміз:
Жақшаларды бір-бірімен көбейтеміз, қарама-қайшылыққа келетін өрнектер жалған екендігін ескергенде,
=1.
Графиктік иллюстрациясын сызғанда оқушы байқайтыны:
Перизат № 10-шы, Ләззат № 8, Күләш №4 мектепте
Осындай есептерді шығару барысында оқушылар математика саласының бірі –
3-мысал. Арай, Берік, Гүлсім жерден құмыра тауып алды. Олардың
Арай: «Бұл ыдыс Сауранда, V ғасырда жасалынған».
Берік: «Бұл ыдыс Түркістанда, III ғасырда жасалынған».
Гүлсім: «Бұл ыдыс Сауранда емес, IV ғасырда жасалынған».
Тарих мұғалімі оқушыларға олардың әрқайсысының жауабының бір бөлігі дұрыс,
Шешуі: Белгілеулер енгіземіз.
С – ыдыс Сауранда, Т – ыдыс Түркістанда жасалынған.
Сонда С ,
,
.
Графикалық ағашты құрып, талдағанда келесі нәтижеге келеміз. Ыдыс V
Оқушы есептерді шығару барысында өзі ойланып, білімін жүйелі түрде
2.3 Диофант теңдеулері
Бір теңдеуде екі немесе үш белгісіз, яғни теңдеулердің санынан
Мысалы: бұл біз сызықты функция деп
Жыл санауымыздан III – ғасырында өмір сүрген грек математигі
1-теорема. диофанттық теңдеуінің бүтін шешімі болуы
2-теорема. диофанттық теңдеуінің бүтін
Енді бірнеше мысалдар қарастырайық:
1-мысал: бүтін шешімдерін тап.
Шешуі:
у- тің орнына бөлшек мәні бүтін санға тең болатындай
А)
Б)
Жауабы:
2-мысал: натурал шешімдерін тап.
Шешуі:
1)
2)
Жауабы:
3-мысал:
Бір товар 23 теңге тұрады. Сатып алушылар тек 3
Шешуі: теңгеліктер саны
теңгеліктер саны
Шарт бойынша теңдеу құрамыз:
х – натурал сан шығатындай натурал мән береміз.
у – ке у>0
Ол 3 – ке еселік болуы керек.
Он бір 3 теңгелік беріп, екі сол сияқты 5
Жауабы:
4-мысал:
бүтін оң шешімдерін тап.
Шешуі:
Жауабы:
5-мысал:
бүтін оң шешімін тап.
Шешуі:
бұлар қатар тұрған 2 сан.
х – ке мән береміз.
себебі санды 0 – ге бөлуге болмайды.
Жауабы:
6- мысал:
бүтін шешімдерін тап.
Шешуі: осы теңдеу бойынша жүйелер құрып
А)
Б)
В)
Г)
Жауаптары:
7-мысал:
бүтін оң шешімін тап.
Шешуі:
х– ке мән береміз және 8 – ге еселік
Жауабы:
8-мысал: теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі: Бұл есепті жоғарыда көрсетілген тәсілден, яғни ЕҮОБ
болу үшін бүтін болуы
Сонымен, ең кіші натурал шешімін
Жауабы: х=2 ; у=1
9-мысал:
бүтін шешімдерін табыңыздар.
Шешуі: формуласы бойынша
Жауабы: қанағаттандырмайды.
Яғни, х, у бір- біріне қарама- қарсы сандар.
Жауабы: (1;-1)
2.4 Теңдеулерді, теңсіздіктерді шешудің стандарт емес тәсілдерін
1-мысал: теңдеуін қанағаттандыратын
Шешуі: Теңдеуді түрлендірейік:
функцияға қатысты квадрат теңдеуді шешейік,
мұнда
Жауабы:
Сонымен, мұндағы тәсіл, квадрат үшмүшелікке келтіріп бір айнымалының екінші
2-мысал: теңдеуін шешу керек.
Шешуі: ке қатысты квадрат теңдеуді шешейік.
үшін
Жауабы:
3-мысал: теңдеулер жүйесін шешіңіз.
Шешуі: Бірінші теңдеу үшін D – тәсілін пайдаланып у
Берілген жүйеге көшсек:
Жауабы:
4-мысал: теңдеулер жүйесін шешіңіздер.
Шешуі: 1-ші теңдеуді х – ке қатысты квадрат теңдеуді
D- тәсілді пайдалансақ:
Жауабы:
5-мысал: теңдеуін шешу керек.
Шешуі:
D- тәсілі бойынша:
Жауабы: .
6 – мысал:
Теңсіздікті шешіңіздер:
Шешуі:
салыстырайық, ол үшін екеуін де екінші дәрежеге шығарып, ортақ
Сонымен,
Жауабы:
2.5 Стандарт емес есептерді шешудің толық квадраттық
Көптеген олимпиадалық қиын есептерде тек қана квадратты үшмүшенің түбірлерінің
Бірінші жалпы ортақ түрде кәдімгі есептердің бірін қарастырайық:
I.
теңсіздігінде а параметрінің барлық мәнін табу керек. Барлығына
орындалады.
Берілген есеп басқаша түрде былай болуы мүмкін:
(2) – шартынан артынша (1) теңсіздік жазылады. Осыдан
Көбейткіштер теориясының тілінде де дәл осылай айтамыз.
А белгісімен (1) теңсіздіктің көптеген шешімдерін белгілейміз, ал В
Сонда есепті келесі өрнекпен тұжырымдауға болады:
Осындай ұғынудан кейін есептер, оның шешімінің алгоритмі түсінікті болады.
1) сонда (1) теңсіздіктің сол бөлігі
аламыз.
Геометриялық талап етілген қосылулары келесі бейнамен
Алгебралық с және d нүктелері параболамен қарастырылатын түбірлер
2) сонда (1) – теңсіздік сызықтық болады:
Бұл жағдайда геометриялық интерпретация келесі суретте көрсетілген.
1 – сурет
Бұл шарт алгабра түрінде екі жүйенің жиынтығына байланысты:
3) сонда (1) теңсіздігі келтірулерден кейін
Тағы да бірінші қосылуынан геометриялық
3 – сурет
4 – сурет
5 –сурет
Алгебралық түрде: 3 – сурет – квадрат үшмүше d
сәйкес келеді.
Есептің толық жауабы 1); 2); 3) шарттардан жауаптардың байланысуымен
Енді түсінікті, яғни:
Логикалық айтылулармен квадратты теңсіздіктердің шешімінің өзара орналасу жайындағы есепті
Көптеген теориялардың тілінде логикалық айтылуларды көптеген теңсіздіктер шешімінің байлыныс
Көптеген шешімдердің – квадратты үшмүшелердің түбіллерінің мүмкін болатын өзара
Есептің нақты жауабында барлық қаралған шарттарға арасындағы жауаптардың байланысуын
Келесі есептердің шешілуі үшін тұжырымдалған алгоритмдарді қолданамыз:
II. теңсіздік кезіндегі а
орындалады.
Шешуі:
1) Егер А – (6) көптеген теңсіздіктердің шешімінде, В
2) коэффициент белгісінің барлық мүмкін болатын
2а)
1 – сурет
Бұл жағдайда көптеген А – ны интервал
2б) сонда (6) теңсіздігі
3 – сурет
5 – сурет
3 және 5 – ші суреттерде көптік
4 және 6 – шы суреттерде көптік
Алгебралық түрде бұл сәйкес келді:
2в) сонда (6) теңсіздігі
түрінде жазылады.
параболаның екі әртүрлі орналасу шарты болады
7 – сурет
7 – суретте , 8 – суретте
Бірінші жағдайда қосылуы
суреттерге сәйкес келеді.
III. Барлық кезінде орындалатын
Шешуі: А арқылы
Есеп шартына қосылуы сәйкес келеді. Барлық
1)
Геометрия түрінде:
1 – сурет
1 – сурет кезінде қосылуы, егер
2 – сурет кезінде және
Жауабы: 1) m>0
2) m=0, (1) теңсіздігі
Сонымен, қосылуы дұрыс емес.
Мысал 1. х, у саны қанағаттандыратын теңдеуге z мәнінен
Шешуі: z – тің ең үлкен мәнін табу
деп белгілейміз және осылай лайықты мүшелерді жинақтаймыз.
деп белгілейміз.
Соңғы теңдеудің сол бөлігі теріс емес, онда оң
Сонымен, қажет кезінде
Жауабы:
Мысал 2: x, y z сандары берілген,
2 – ші мысалды біз 1 – ші мысалға
мәні берілсін.
Бұл көрсетілулерді теңдеудегі z – ке қойып, мынаны аламыз:
деп белгілейміз.
- ті қоямыз.
Соңғы теңдеудің сол бөлігі үлкен немесе нольге тең болса,
теңдеуін де
мына теңдеуді аламыз.
Жауабы:
Мысал 3:
теңдеуін теңсіздікті қанағаттандыратын және де
Шешуі:
1) Мысалы квадратты үшмүше х – ке қатысты және
, сонда
Енді
теңдеуді
түрінде жазуға болады.
Сонымен, біз тек (х,у) бүтін сандарының жұптарын ғана іздейміз,
7 санының бүтін бөлгіші болып
2) теңдеуінде бүтін шешімдердің тең төрт
3) Екінші пунктегі (орыннан) бұл екі жұпты а қандай
4) Алынған көбейткішті а параметрінің
осінде кескіндейміз.
Сызбадан көрініп тұр, яғни
осыған есеп бүтін
алмайды: ға тек
(9;26) бүтін жұп барлық шартпен қанағаттандырады;
Жауабы:
Қорытынды
Математикадан өтілетін факультативтік сабақтарда оқушылардың қызығушылығын қалаптастыруға, еңбек дағдысын,
Математиканың мектеп курсындағы мәні оның көп қырлылығында, яғни негізгі
Есеп шығару – математиканы игерудің ең жоғары продуктивтік формасы
Бұл дипломдық жұмыста бағдарламадан тыс есептер, соның ішінде стандарт
Стандарт және стандарт емес есептердің бір – бірінен
Стандарт емес есептерді шешудегі негізгі туындаған мәселелер айқындалды;
Стандарт емеес есептерді шығару арқылы оқушылардың ойлау қабілетін дамыту
Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде стандарт емес әдістерін пайдалану жолдары
Диофант теңдеуін шешу және оқыту әдістемесі қарастырылды;
Стандарт емес есептерді шығарудың толық квадраттық әдісі қарастырылды.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
1
2 Д.Пойа. Математикалық таным . – Москва,
3
4 Г.А.Алдамұратова. Математика: Орта мектептің 5 – сыныбына
5 А.Е.Әбілқасымова, К.Д.Шойынбеков, М.И.Есенова, З.А.Жұмағұлова. – Алгебра және
6 В.Е.Серікбаева. Математиканың пәнаралық байланыстары :Оқу - әдістемелік
7 А.В. Брушлинский. Психология мышления и проблемное обучение.
8 В.В.Давыдов. Проблемы развивающего обучения: опыт теоретического и развивающего
9 И.Я.Лернер.Дидактические основы методов обученя – М.Педагогика.1981.
10 С.Л. Рубинштейн. О мышлении и путях
11 М.Мұсабеков., К.Қожабаев. Стандартты емес есептерді шығаруда зерттушілік қызмет
12 А.Аренова., Н.Дарханов. Стандарт емес есептерді шығару // Математика
13 Ә.Сағымбеков., Ә.Ниетбаев. Бір салдардың төңірегінде стандарт емес есептерді
14 Е.Жүнісов., С.Сейітова., Т.Ли. Стандарт емес есептер шығару //
15 Ә.Т.Сағымбаев., Б.Ә.Баулыбаев. Пән тақырыптарына жаңа ғылыми -
16 Теңдеулерді шешудің стандарт емес тәсілдері // Репетитор: мектеп
17 Ұ.Жанасбаева., Б.Жанасбаев. Математикалық логиканы стандартты емес есептерде қолдану
18 Ұ.Айдарова. Диофант теңдеулері // Алгорифм: физика –
19 З.Қиябаева . Теңдеудің бүтін шешімдерін табу
20 С.В.Кравцев, Ю.Н.Макаров, В.Ф.Максимов, М.И.Нараленков, В.Г.Чирский. Методы решения задач
21 А.Сарулова. Мектеп бітіруші талапкерлерге арналған есеп // Репетитор:
22 А.Бартенев. Нестандартные задачи по алгебре. –Москва: Просвещение, 1976.
23 В.И.Голубев. Решение сложных и нестандартных задач по математике.
24 А.Я.Канель-Белов, А.К.Ковальджи. Как решают нестандартные задачи. –
25 В.В.Кривоногов. Нестандартные задания по математике 5-11 классы. –
3
А
В
С
К
N
M
L
А
В
С
N
K
L
M
А
Е
В
С
F
K
x
у
У=2 –
у
х
У=2 –
х
у
-1
х
у
х
у
х
у
=2
А
С
В
N
D
L
K
10
А
В
F
K
E
D
C
А
С
В
N
D
F
M
L
С
3
4
С
4
С
Т
Т
Т
С
5
3
С
4
А
С
В
Е
F
А
В
С
Е
F
S
А
В
С
D
K
а
0
(9;26)
(15;38)
х
с
d
х
х
0
с
c
d
d
у
у
0
х
х
х
с
d
х
d
с
х
с
d
x
x
x
x
c
y
y
0
0
x
x
с
х
х
х
х
0
0