Мазмұны
Кіріспе:..............................3
І тарау. Евклид кеңістігінің элементтері ..........3
Скаляр көбейтінді анықталған сызықты кеңістік ..............4
Евклид кеңістігінің анықтамасы......................5
Евклид кеңістігінің нормасы
Евклид кеңістігінің мысалдары........................8
Гильберт кеңістігі .........................10
Вектордың ұзындығы, екі вектор арасындағы бұрыш......11
Ортогонал векторлар.....................12
Базис............................15
Бессель теңсіздігі...........................16
Гильбер кеңістіктерінің изоморфизм…………………………………19
Қорытынды ....................23
Пайдаланған әдебиеттер ..................24 Кіріспе.
Александрия мектебінде ғылым мен өнер, мейлінше құрметтеліп, аса үлкен
Энгельстің айтуы бойынша: «ғылымның шын мәнінде даралануы алғаш рет
Александриялық ұлы математиктердің көш бастаушысы, алғашқы қарлығашы Евклид еді.
Евклидтің өмірі туралы мағлұматтар жоқтың қасы. Ол туралы ел
Евклид математика; физика, астрономия, музыка ғылымдары бойынша көптеген еңбектер
Евклидті, бір жағынан, Александрия математикалық мектебінің бастаушысы десек, екінші
Евклидтің «Бастамалары» екі мың жылдан аса уақыт дүние жүзі
Евклидтің «Бастамалары» 15 кітаптан тұрады. Оның 13 кітабын Евклидтің
Скаляр көбейтiндi анықталған сызықтық кеңiстiк.
Анықтама. Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі деп осы векторлардың модульдері
.
0
В
1-мысал. және векторларының арасындағы
2-мысал. теңдігін қанағаттандыратын векторлары
Алдымен скалярлық көбейтіндісін қарастырайық
= .
Есептің шарты бойынша , сондықтан бұл көбейтінді
Кез-келген және векторлары
(1.1)
теңдігімен анықталады.
Анықтама. Егер Е - сызықтық кеңістiгiнде кез келген
1. (симметриялық қасиетi);
(аддитивтiк қасиетi);
(комплекс кеңiстiк жағдайында ) (біртектiлiк қасиетi);
және тек қана
Скаляр көбейтiндi анықталған сызықтық кеңiстiк, әдетте, Евклид кеңiстігi деп
Егер анықтама бойынша скаляр көбейтiндiнiң мәндерi нақты (комплекс) сандар
2- және 3- аксиомалар бiрiнші аргументке қатысты болса да,
(2)
Осыған ұқсас, 3-аксиомадагы λ санын екiншi аргументтің қасынан көбейтiндiнiң
(3)
кеңiстiгiнде (1) теңдiгiмен анықталған скаляр көбейтінді үшін 1 —
Евклид кеңiстiгiнде скаляр көбейтiндi арқылы элементiнiң
(4)
теңдiгiмен анықтауға болады.
Анықтама. Егер әрбір үшін нақты сан
1) және тек болғанда
2) кез-келген саны үшін
3) кез-келген үшін
онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.
Дәлелдеуі; болса, онда барлық
Норманың бiрiншi аксиомасы скаляр көбейтiндiнің төртiншi аксиомасынан тiкелей шығатыны
Енді (4) теңдiгiмен анықталған норма үшбұрыш теңсiздігін қанағаттандыратынын дәлелдейiк.
(5)
Скаляр көбейтiндiнiң 4-аксиомасы бойынша элементтiң скаляр квадраты терiс емес
(6)
Осы теңсiздiктiң екi жағынан квадрат түбiр алып, мына түрде
(7)
Соңғы теңсiздiктен скаляр көбейтiндiнiң абсолют шамасы көбейткiш векторлардың нормаларының
Ендi үшбұрыш теңсiздiгiнiң дәлелiне оралайық. (5) тендiгiнде λ=1 болғанда,
осыдан (7) теңсiздiгiн қолданып, келесi теңсiздiктi аламыз
(8)
Екi жағынан квадрат түбiр алса, (8) теңсiздiгiнен үшбұрыш теңсіздiгi
Осымен (4) теңдiгi арқылы норма анықталатыны дәлелдендi. Бұл норманы
Евклид кеңiстiгiнде табиғи норма анықталғандықтан онда
Евклид кеңiстiгiнiң мысалдары.
1. . Бұл кеңiстiкте скаляр көбейтiндi (1)
2. . Бұл кеңістікте кез-келген екі элемент
(9)
теңдігімен анықтайық. Қатарлар үшін Коши теңсіздігінен бұл (9)
(10)
((12)) теңдiгiмен анықталған нормамен үйлесiмдi. Ал бұл норма арқылы
Ендi толық емес Евклид кеңiстiгiнiң бiр мысалын келтiрейiк.
3. . сызықтық
және у(t) үзiлiссiз функцияларының скаляр көбейтiндісiн
(11)
теңдiгiмен анықтайық. Бұл анықтама скаляр көбейтiндінiң аксиомаларына сай екенiн
(12)
екендігі (11) теңдігінен айқын. Бұл норма бойынша
(13)
кеңістігінде функцияларының тізбегін қарастырайық. Егер тізбек
Демек, функциялары
Анықтама. Өлшемi ақырсыз, толық Евклид кеңiстiгi Гильберт кеңiстiгi деп
Мұнан әрi бiз бұл кеңiстiктi Н әрiпiмен белгiлеймiз және
1) Н — скаляр көбейтiндi анықталған сызықтық кеңiстiк, яғни
2) Н — скаляр көбейтiндi арқылы анықталған нормаға сәйкес
З) Н — өлшемi ақырсыз кеңiстiк;
4) Н — сепарабель кеңiстiк.
Жоғарыда келтiрiлген Евклид кеңiстiктерiнiң мысалдарынан тек
Бұл кеңiстiк Евклид кеңстiгiнiң дербес жағдайы болғандықтан, мұнда да
Гильберт кеңiстiктерi математикалық теорияларда кең орын алады.
Алдымен бұрын анықталған кейбiр ұғымдардың Н кеңiстiгiнде қандай түрде
Н кеңiстiгiнде тiзбегi х элементіне жинақталады
яғни айырымының скаляр квадраты нөлге ұмтылады
Скаляр көбейтiндi өзiнiң екi аргументi бойында үздiксiз функция екенiн
Шынында да, егер және
теңсiздігiне келемiз. Ал мұнда шенелген тiзбек,
2. Скаляр көбейтiндiлi кеңiстiктегi геометрия
Скаляр көбейтiндi арқылы Евклид кеңiстiгiнде геометриялық ұғымдар енгiзiледi және,
1. Вектордың ұзындығы. векторының ұзындығы деп
2. Екi вектордың арасындағы бұрыш. Екi векторларының
(2.1)
теңдігімен анықталады.
Шварцтың (1.(7)) теңсiздiгiнен (2.1) тендiгiнiң оң жағында тұрған бөлшектiң
Евклид кеңiстiгiнiң кез-келген екi элементi (векторлары) арасындағы бұрыш анықталуына
Егер элементтерiнiң скаляр көбейтіндiсi
Егер – кез-келген нақты сандар болса,
(2.2)
Осы тепе-теңдiкте және болса,
(2.З)
яғни, екi ортогонал вектордың қосындысының ұзындығының квадраты олардың ұзындьқтарының
Жай индукция арқылы (З) теңдiгi саны ақырлы ортогонал векторлар
(2.31)
Бұл теңдiк — Пифагор теоремасының n ортогонал векторлар үшін
Ендi (2.2) теңдiгiн деп алып,
.
Бұл теңдiк параллелограммның диагоналдары туралы теорема деп аталады. Екi
Ортогонал элементтердiң жүйесi. Гильберт кеңістігінде элементтердiң ақырлы немесе ақырсыз
Н кеңiстiгiнде векторлардың саналымды жиынынан тұратын ортогонормал жүйелер бар
Н кеңiстiгi ақырсыз өлшемдi кеңiстiк болғандықтан, мұнда тәуелсіз векторлардың
тәуелсiз векторлардың тiзбегi болсын. Осы тiзбектiң векторларын пайдаланып, саналымды
Ол үшін алдымен жүйесінің векторлары арқылы
ал мұнан демек,
Енді индукция әдісін қолдану үшін
(2.5)
түрінде іздейміз де, коэффициентін
(2.6)
Жоруымыз бойынша, егер болса, онда
ал мұнан, Сонымен
табылатыны, сонымен бiрге, индукция бойынша жүйесін
векторлардың жүйесiне түрлендіруге болатыны дәлелдендi.
Енді жүйесiндегі әр вектордың нормасына бөлiп,
Ескерту. Берiлген тәуелсiз элементтер жүйесiнен ортогонал жүйе құру
үрдiсiнде қолданған әдiс Шмидттің ортогоналдау әдiсi деп аталады.
Лемма 1. Егер х векторы векторларының
Шарт бойынша , сондықтан скаляр көбейтiндінің сызықтық
Лемма 2. Егер у векторы векторлар тiзбегiнiң
Шынында да, скаляр көбейтiндiнiң үздiксiздiгiнен теңдiгiнде
Анықтама. Н кеңiстiгiнде ортонормал жүйе берiлген.
Базис. Егер нормаланған сызықтық кеңiстiктегi элементтер
Басқаша айтқанда, егер жүйесi базис болса,
(2.7)
қатарына жiктеледi және бұл қатардың х элементiне жинақталуы кеңiстiктiң
Бессель теңсiздiгi. Н кеңiстiгiнде ортонормал жүйе
осыдан
(2.8)
теңсіздігі шығады. (2.8) теңсiздiгi кез-келген n үшiн орындалатын болғандықтан,
(2.9)
теңсiздiгiне келемiз. Бұл Бессель теңсiздiгi деп аталады.
Салдар. Н кеңiстiгiнiң кез-келген элементiнiң Фурье коэффициент-терiнiң квадраттарының қосындысы
Басқаша айтқанда, Фурье коэфициенттерiнiң тiзбегi кеңiстiгiне
Ендi толық жүйенiң Гильберт кеңiстiгiнде базис болатындығы туралы теореманы
Теорема 1. Егер жүйесі Н
(2.10)
қатарына жіктеледі және
(2.11)
теңдігі орындалады. Мұнда
Дәлелдеуi. Алдымен (2.3) қатарының дербес қосындыларын
фундаменталь тiзбек екендiгін дәлелдейiк. Әрқашан , немесе
(2.12)
Бессель теңсiздiгiнiң салдары бойынша (2.12) теңдiктерiнiң соңында тұрған жинақты
Ендi у=х екенiн дәлелдейiк. Скаляр көбейтiндi өз аргументтерiне үздiксiз
осыдан, кез-келген k нөмiрi үшiн, теңдiгiне келеміз.
теңдігінде кезде шекке көшіп, скаляр көбейтіндінің
(2.13)
Бұл (2.11) теңдігімен бірдей. Теорема дәлелдендi.
Ескерту. (2.11) теңдiгi Парсеваль-Стеклов теңдiгi деп аталады. Бұл теңдiктi
Салдар. Кез-келген теңсiздiгi орындалатын сандар
Шынында да, теореманың дәлелдеуiн қатары үшiн
Теорема 2 (жүйенiң толықтығының критериi). Н кеңiстiгiнде ортонормал жүйе
Дәлелдеуi. Шарттың қажеттігін дәлелдейiк. Жүйе толық
элементiнiң -маңайында элементтерiнiң сызықтық
Ендi сызықтық комбинациялар жиынының тығыз болуы жеткiлiктi шарт екенiн
Гильберт кеңiстiктерiнiң изоморфизмi. Сызықтық кеңiстiктердiң арасында изоморфизм бар анықтамасын
Анықтама. Егер L жане L1 сызықтық кеңiстiктерінің элементтерiнің арасында
Айқынырақ айтқанда, егер және
Анықтама. Толық ортонормал векторлардың жүйесi бар Н кеңiстiгiн өлшемi
Өлшемi саналымды кеңiстiк туралы мына тұжырымды дәлелдейiк.
Тұжырым. Өлшемi саналымды n кеңiстiгi сеперабель кеңiстiк болады.
Шынында да, мұндағы толық жүйенiң элементтерiнiң сызықтық ком-бинациялары теорема
Сонымен, кез-келген векторыньң кез-келген
Теорема 3. Өлшемi саналымды кез-келген екi Гильберт кеңістігі изоморф
Дәлелдеуi.H және кез-келген өлшемi саналымды Гильберт
пен арасында изоморфизм барын көрсетейiк. Ол
Ал,
яғни элементiне тiзбегi,
Теореманың дәлелдеуiн аяқтау үшiн пен
Ескерту. З - теоремада анықталған изоморфизм скаляр көбейтiндiнi де
Шынында да, кез-келген екi вектор, олардың
және
Осы қатарлардың дербес қосындыларын және
Ендi, кезде, осыдан
(2.14)
теңдiгi шығады. Теоремада анықталған изоморфизм бойынша
Сәйкес векторлардың скаляр көбейтiндiсi сақталатын болғандықтан, ол арқылы анықталған
ҚОРЫТЫНДЫ
Мен осы курстық жұмысымды қорытындылай
Скаляр көбейтiндiнiң мәндерi нақты (комплекс) сандар болса және векторлар
Пайдаланылған әдебеиттер
1.Темірғалиев Н.“ Математикалық анализ”. Алматы,1997ж.
2.Мұстахишев Е. Н. “Жоғары математика” Алматы, 2004ж.
3. Наурызбаев «Функциональдық анализ»
Қосымша әдебиеттер:
М.Ө. Исқақов, М.Т. Құлқашева «Аналитикалық геометрия есептері мен жаттығулары».
24