Мазмұны
Кіріспе ………………………………...........................................................3
Негізгі бөлім
І БӨЛІМ: х және у бойынша алынған симметриялық көпмүшеліктер
1.1. Симметриялық көпмүшеліктерге келтірілетін мысалдар...........................4
1.2. Екі айнымалысы бойынша симметриялық көпмүшеліктер туралы негізгі
1.3. және
1.4. Негізгі теореманың дәлелденуі. ............................................................19
ІІ БӨЛІМ: Элементарлық алгебрада қолданылуы
2.1. Теңдеулер жүйесінің шығарылуы.......................................................30
2.2. Қосымша бегісіздерді енгізу...............................................................31
2.3. Квадрат теңдеулер туралы есептер....................................................35
2.4. Қайтарымды теңдеулер......................................................................37
2.5. Симметриялық көпмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеу..................40
2.6. Әртүрлі есептер...................................................................................50
Қорытынды .......................................................................... .......................49
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі................................................................51
Кіріспе
Табиғатта, техникада және тұрмыста кейбір денелердің өзара ұқсас, үйлесімді
Симметрия ұғымымен барлық жерде – табиғатта, техникада, өнерде, ғылымда
Симметрия табиғаттың негізгі фундаментальды қасиеті болып табылады. Ескерткіштерді археологиялық
Симметрия органикалық емес, әлем мен тірі табиғатта түрлі құрылымдар
Симметрия әр түрлі болады. Симметрияның ең қарапайым түрі –
Симметриялы фигуралар өзара тең болады.
Егер түзу фигураны симметриялы екі бөлікке бөлсе, онда ондай
Симметрияның екінші түрі – нүктеге қатысты симметрия.
О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер фигураның өзінде жатса, ол
Координаталық жазықтықтағы координаталар басы О нүктесіне катысты симметриялы нүктелердің
Табиғатта симметрияның 2 түрі «билатеральды» және «радиальды» кездеседі. 19
1
1
1
1
1
1
1
Оқушыларға алгебрадағы ең қиын бөлімдерінің бірі жоғары дәрежелі теңдеулер
Бір белгісізбен квадраттық теңдеулер үшін
стандартты түрін көрсететін мынадай формула шығады:
,
Бірінші дәрежелі теңдеулер үшін де стандартты түрде шығарылуы бар
Көбінесе мұндай жүйелерді шығарғанда белгісіздерді жою әдісі қолданылады. Келесі
{
Бірінші теңдеуде у-ті х арқылы өрнектейік. Біз y=4-x таптық.
Өрнекті ықшамдағаннан кейін мынадай теңдеу шығады:
,
Оны шығара отырып, екі түбірін табамыз:
, .
Табылған әрбір түбіріне у-тің мәні сәйкес келеді (y=4-x арқылы
, .
Тексеру кезінде жауаптарының екеуі де
{ {
теңдеулер жүйесін қанағаттандыратынын көрсетеді.
Белгісіздерді жою әдісі жалпы болып табылады. Теориялық жағынан қарағанда,
Мысалы, мынадай жүйені алайық
{ .
Бірінші теңдеуден: табайық, одан
.
Сол сияқты екінші теңдеуден: шығады.
үшін екі жағын теңестіріп, тек бір белгісіз у бар
.
Бірақ бұл теңдеу 6-шы дәрежелі ( -
Бұл қиындықтар туғанда жою әдісі (жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін
Бұл дипломдық жұмыста жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесінің жалпы шығару
Айтылып отырған әдіс симметриялық көпмүшеліктер теориясына сүйеніп шығарылады. Кез
Дипломдық жұмыс екі бөлімнен тұрады. 1-бөлімде нақты сандардың және
Рационал сандар жиынының өріс құрайтындығы жайлы қарастырылады. Ондық бөлшектер,
Нақты сандар дәләрек айтсақ рационал және иррационал сандар айырмашылығы
Екінші бөлім комплекс сандарға арналады. Комплекс сандардың геометриялық мағынасы,
І БӨЛІМ
х және у бойынша алынған симметриялық көпмүшеліктер
1.1. Симметриялық көпмүшеліктерге келтірілетін мысалдар
В.Б. Лидский, Л.В.Овсяников, А.Н.Тулайкова және М.И.Шабуниннің «Элементарлық математикадан есептер»
Мысалы:
Бұл барлық жүйелердің бір жалпы қаситі – x және
X және y бірдей кіретін көпмүшеліктер симметриялық көпмүшеліктер деп
|x және y бойынша көпмүшеліктер симметриялық көпмүшеліктер дейміз, егер
| x-ті y-пен, ал y-ті x-пен алмастырғанда өзгермейтін болса.
- симметриялық көпмүшелік, ал - симметриялық
Енді негізгі симметриялық көпмүшеліктерге мысалдар келтірейік. Қосылғыштардың орындарын ауыстырғанмен
, .
және -ден басқа ,
1.2 Екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема
Симметриялық көпмүшеліктерді алу үшін жеңіл әдіс бар. Симметриялық емес
.
Сонымен, және көпмүшеліктерді
Бұл әдіс арқылы кез келген симметриялық көпмүшелікті алуға бола
Мысалдарды қарастырудан кейін бұл тұжырым ақиқат екеніне көз жеткіземіз.
симметриялық көпмүшелікті келесі түрге келтірейік:
.
Қандай болсын қиын немесе жеңіл симметриялық көпмүшелікті алсақ та,
Теорема. Кез келген және
және арқылы өрнектеуге болады.
Әрине миллиондаған мысалдар қарастырсақ та, ол бізге дәлелдеудің орнын
Математика тарихынан бізге бірнеше қателікті көрсетеді. Француз математигі Пьер
Эйлердің көмегімен көрсетілген басқа мысал. үшмүшелікке
І БӨЛІМ
Натурал, бүтін, рационал, нақты сандар
1.1. Cан ұғымының дамуы. Санау жүйесі
Карл Гаусс математиканың сан салаларына сарапқа сала келіп арифметиканы
Сан туралы ұғым адамзат мәдениетінің тууымен және оның дамуымен
Сан әуел баста заттарды санаудың қажеттілігінен туған
Сан- әуел баста заттарды санаудың қажеттілігінен туған негізгі математикалық
Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика ғылымы сияқты
Нәрселерді санаудың нәтижесінде натурал сандар шыққан. Натурал сандырдың әрқайсысын
Цифрлар: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, және 0. Бұл цифрлар алғашқыда Үнді (Индия)
Осындай цифрлардан сандар құрастырылып, олар белгілі бір тәсілмен аталып
Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының
Аралық жиындарды, оның элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін болғаннан кейін
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, оларды
Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектілерге айналды
Сөйтіп, ежелгі дүние ғалымдары еңбектерінің өзінде-ақ натурал сандар қатарының
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық теорияларын, яғни
Жалпы алғанда сан ұғымы басқа ешқандай емес тек шындық
Француз математигі Рене Декарт (1596-1650) 1637 жылы координаталық түзуді
-3 -2
Нөл саны , натурал сандар және оған қарама –қарсы
Мысалы 7=7\1 ;7=14\2; 7=28\4
Бұлар бөлшек сандар. Жалпы рационал сан ұғымы әртүрлі шамаларды
Нәрселерді санауда пайдаланылатын сандарды натурал сандар деп аталады. Натурал
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, сонымен
ХІХ ғасырда ғалымдардың назары натурал сандармен есептеулер жұргізуге негіз
Ерте кезде адамдарға сауда – саттық және түрлі есептеу
Алғашында математикада бөлшектерді «сынық сандар» деп атаған. Бөлшектер туралы
Бірлік бөлшектер – алымдары 1 болатын бөлшектер.
Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген бүтін сан,
Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да ,
Бөлшектердің мұндай әртүрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында көптеген қиындықтар
Ертеде әртүрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше символдарын
Бөлшек сызығын Уал-Хасара және итальяндық Леонардо Пизанский өздерінің жазба
Ертедегі вавилондықтар өздерінің ғылыми зерттеулерінде алпыстық бөлшектерді (бөлімі алпыс
1 мин = 1\60сағ; 1сек = 1\60мин. Бөлшектегі «алым»
Самарқанд қаласындағы астрономиялық обсерваторияның негізін салушы әл-каши бөлшек сандарды
ХҮІІ ғасырдың басында ондық бөлшекті жазуды, айыру таңбасы ретінде
Ондық бөлшектерді есептеу натурал сандарды есептеуге ұқсас және ыңғайлы
Өмірде, тұрмыста , кездесетін көптегшен шамалар ( жылдамдық, биіктік,
Кейбір шамалардың тура мағынасы,тура бағыты болумен қатар, қарама- қарсы
Математикаға теріс сандардың енгізілуімен қатар нөл саны да
«Нөл» қазақшаға аударғанда «ешқандай» дегенді білдіретін латынның «nullus» деген
Қазіргі кездердегі түсінігімізше нөл – сан. Оны басқа
Нөл саны координаталық түзуде санақ басы болатын О нүктесінің
Қорытындылай келе,натурал сандар жиыны бүтін сандар жиынының ішкі жиыны,бүтін
Жалпы , сан ұғымы мұнымен шектеліп қана қоймайды ,
Сандардың аталуының және таңбалануының жалпы тәсілін санау жүйесі деп
1)үлкен сандарды жазу үшін әрдайым жаңа таңбалардыенгізіп
2)бөлшек және теріс таңбалы сандарды өрнектеу мүмкүн емес;
3)орындау алгоритмі болмағандықтан,арифметикалық амалдарды орындау қиын;
Позициялық емес санау жүйесінің мысалы ретінде Римдіктерде қалыптасқан бестік
Сонда Рим цифрлары: I,V,X,L,C,D,M.
Рим цифрларымен сандарды жазуда қосу,азайту принциптері қолданылады.
Егер мәні кіші цифр мәні үлкен цифрдан кейін тұрса,онда
Егер мәні кіші цифр мәні үлкен цифрдың алдында тұрса,
Мысалы, 4 саны IV, 9 саны IX, 990 сан
Әрбір позициялық жүйенің нақты анықталған цифрлар алфавиті мен
Санау жүйесінің ішіндегі тұңғыш пайда болғаны екілік санау жүйесі.Бұл
Қазіргі кездегі электрондық есептегіш машиналардың құрылысы осы екілік жүйеге
Қазіргі кезеңдерде қолданылатын халықаралық санау жүйесі – ондық жүйе.Ондық
1.2 Натурал сандар
Натурал сандар деп заттарды санау кезінде қолданылатын сандарды айтамыз.
Натурал сан ұғымы алғашқы математика ұғымдарының қарапайым ұғымына жатады
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...,
Натурал сандар натурал қатар құрайды. Көпнүкте бұл қатардың шексіз
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Натурал сандарды оңынан солға қарай оқу арқылы сандарды жазуға
Мысалы,
18=1·10+8,
347=3·102+4·10+7,
5096=5·103+0·102+9·10+6
және жалпы алғанда, m орынды am саны
am=c1·10m-1+c2·10m-2+…+cm-1·10+cm.
мұндағы, с1,с2,...,сm цифрлары арқылы аm санын
Ескерту: Ондық санау жүйесі – жалғыз ғана санау жүйесі
Сегіздік санау жүйесінің негізі 8-ге тең,0,1,2,3,4,5,6,7 сандары алфавиттік болып
Он алтылық санау жүйесі көп жағдайда мәліметтерді өрнектеу үшін
Сандарды позициялық санау жүйелеріне көшіру.
Сандарды ондық санау жүйесіне көшіру.Екілік,сегіздік,он алтылық санау жүйелерінде жазылған
Сандарды екілік жүйеден ондыққа көшіру.Кез келген екілік жүйедегі санды
11,012=1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=2+1+0+1/4=3.2510
Cандарды сегіздік жүйеден ондыққа көшіру.Кез келген сегіздік санды, мысалы
Сандарды он алтылықтан ондыққа көшіру.Кез келген он алтылық
15С16=5*162+1*161+12*160=1280+16+12=130810
Санды екілік санау жүйесінен сегіздік және он алтылық жүйелерге
Екілік санау жүйесіндегі 1011112 санын сегіздік жүйеге көшіру мысалын
Екілік жүйедегі бүтін санды он алтылық санау жүйесіне көшіру
Екілік жүйедегі 00101112 санын он алтылық жүйеге көшіру;
0010 11112→0*23+0*22+1*21+0*20 1*23+1*22+1*21+1*20→2Ғ16
Позициялық санау жүйелеріндегі арифметикалық
амалдар
Қосу.Екілік жүйеде сандарды қосу екілік жүйедегі сандарды қосу кестесіне
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Екілік жүйедегі сандарды қосуға бірнеше мысалдар қарастырайық;
1001
1010
10011
Ондық санау жүйесін есептеуге тексеру жүргіземіз.Ол үшін екілік санау
10012=1*23+0*22+0*21+1*20=910
10102=1*23+0*22+1*21+0*20=1010
910+1010=1910
Енді алынған нәтижені ондыққа көшіреміз;
100112=1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=1910
Нәтижелерді салыстыра отырып,қосудың дұрыс орындалғанына көз жеткіземіз.
Азайту.Екілік жүйеде азайту амалын орындау екілік жүйедегі сандарды азайту
0-0=0
0-1=1
1-0=1
Екілік сандарды азайтудың бірнешеи мысалдарын қарастырайық;
10111001,1 110101101
-
10001101,1 101011111
00101100,0 001001110
Қазіргі уақытта компьютерлік программаларда екілік және сегізді санау жүйесі
Ондық санау жүйесі
17
55
100
Иррационал сандар
ζ(3) — √2 — √3 — √5
Санау жүйесі Π санын бағалау
екілік 11,00100100001111110110…
ондық 3,1415926535897932384626433832795…
Он алтылық 3,243F6A8885A308D31319…
Рационалды жақындау 22⁄7, 223⁄71, 355⁄113,103993/33102, …
(дәлдік өсу ретімен жазылған)
үзіліссіз бөлшек [3; 7, 15, 1, 1, 1,
(бұл үзіліссіз бөлшек периодты емес)
Евклидтік геометрия π радиан = 180°
1-кесте
Пи иррационал санының әртүрлі санау жүйесінде 1-кестеде көрсетілген.
Алгебрада және арифметикада сандармен әртүрлі амалдар қарастырылады:
қосу, алу, көбейту, бөлу, дәреже шығару, түбірден алу және
Қосу және көбейту амалдары бағынатын заңдарды тұжырымдайық; бұл амалдардың
Қосу амалының ауыстырымдылық (немесе коммутативті) заңы:
а + b = b + a
Қосылғыштардың орнын ауыстырғанмен қосынды өзгермейді.
Кез-келген натурал а және b сандары үшін а
Көбейту амалының ауыстырымдылық (немесе коммутативті) заңы:
а · b = b · a
Көбейткіштердің орнын ауыстырғанмен көбейтінді өзгермейді.
Қосу амалының терімділік (немесе ассоциативті) заңы:
(а + b) + с =( b + a)
Қосынды қосылғыштарды топтағанға байланысты емес.
Бұл заң қосындының қосылғыштарын жақшасыз жазуға мүмкіндік береді. Мысалы:
(а + b) + с =( b + a)
Көбейту амалының терімділік (немесе ассоциативті) заңы:
(а · b) · с =( b · a)
Көбейтінді көбейткіштерін топтағанға байланысты емес.
Бұл заң көбейтіндінің көбейткіштерін жақшасыз жазуға мүмкіндік береді.
(а · b) · с =( b · a)
Көбейту амалының қосуға байланысты уйлестірімділік (немесе дистрибутивті) заңы:
(а + b) · с =a · с +
Бұл заң есептеулер мен түрлендіруде жиі қолданатын жақшаны ашу
1.3 Жай және құрама сандар. Бөлінгіштік белгілері.
Егер а және b натурал сандар, және де
a = bq,
мұндағы, q- де натурал сан, онда a санының b
q =a / b.
Және де басқаша да айтуға болады, a саны
b, 2b, 3b, 4b,…
2 бөлінетін сандар (яғни, 2 санына қалдықсыз бөлінетін сандар)
а1 = bq1, a2= bq2,
Керісінше, егер а1 және а1+а2 натурал
Кез келген 1 санынан өзгеше натурал санның кем дегенде
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
2 саны - жалғыз жұп жай сан;
Жай сандардың шексіз көп болатындығы ерте ғасырлардан белгілі (Евклид,
Жай санның шексіз көп болатындығы туралы Евклид идеясы өте
2, 3, 5, ... , p
Осы сандарға бірді қосқандағы көбейтіндісі болатын санды құрайық:
а = 2· 3· 5· ... · p+1
Бұл сан алдыңғы (2.1) жай сандардың біреуіне де бөлінбейтіндігі
Кез келген құрама сан жай садардың көбейтіндісі ретінде көрсетуге
1176 = 2·2·2·3·7·7 немесе 1176= 23·3·72
Бұл мысалдан көріп тұрғандай, берілген санды көбейткіштерге жіктегенде бұл
Жалпы түрде а санын жай сандар арқылы көбейткіштеге
а = p а = 2· 3· 5· ...
Барлық p1, p2, p3, …., pn жай сандар
Санды көбейткіштерге жіктеу кезінде берілген санды басқа
1. 2 санына бөлінгіштік белгісі.
Дәлелдеу: санын
2. 4-ке бөлінгіштік белгісі. Берілген санның
Дәлелдеу: санын
3. 5-ке бөлінгіштік белгісі. Сан 0 немесе
4. 3 және 9-ға бөлінгіштік белгісі.
Дәлелдеу: Теңдікті жазайық:
10 =9+1
100=99+1
1000=999+1
…………………,
санын келесі түрде көрсетуге болады.
Немесе
Қосындының соңғысынан басқа барлық мүшелері 9-ға бөлінеді (және 3-ке
Ең үлкен ортақ бөлгіш және ең кіші ортақ еселік.
a, b,….,f берілген сандарының ортақ бөлгіші ақырлы
Ең үлкен ортақ бөлгіш (ЕҮОБ) үшін келесі белгілеу қолданады.
(a, b,….,f ) = d.
Мысалы, (108,144) = 36; (49,121) = 1;
Екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін оларды жай көбейткіштерге
504 = 23·32· 7,
540 = 22· 33· 5.
Берілген санның ортақ бөлгіші (1 ден өзгеше )
Бұдан
ЕҮОБ (504, 540) = = 36.
Ең үлкен ортақ бөлгішті табу процесінің жалпы түрін келесі
,
.
сандарының арасында сандарына тең бірде-бір
Дәл осы сияқты бірнеше санның ең үлкен ортақ бөлгіші
Егер m саны a, b, …, f әрбір сандарына
ЕКОЕ [a, b, …, f] =m.
Екі немесе бірнеше сандардың ең кіші ортақ еселігіне бұл
504 = 23(32( 7, 540 = 22(
Бұл екі санды көбейткіштерге жіктеп, жіктелген көбейткіштердің бірдей сандардың
[504,540] = 23( 33( 5( 7 =
Сол сияқты
[150, 180, 240] = 3600.
Бірнеше санның ең кіші ортақ еселігін анықтау үшін:
бұл сандардың барлығын көбейткіштерге жіктейміз;
берілген санның көбейткіштеріне кіретін жай сан көбейткіштердің әрбіреуін ең
жай көбейткіштер көбейтіндісін аламыз, бұл көбейтінді ең кіші ортақ
а және b жай сандар үшін ең үлкен кіші
[a, b] = a(b
Екі өзара жай сандардың ең кіші ортақ еселік сол
[a, b] (а, b) = a(b
Кез келген сандар үшін: ең үлкен ортақ бөлгішке ең
1.4 Бүтін сандар. Рационал сандар.
Натурал сандарды қосу және көбейту натурал сандарды берсе, ал
–n ,..., -5, -4, -3, -2, -1, ...., …1,
барлық бүтін сандар жиынтығы бүтін оң (натурал) сандардан, бүтін
Бүтін сандарды көбейту үшін белгілі ереже таңбалары қолданады: егер
(-a)( b = a ( (-b) = -
дербес жағдайда (-1)( (b )= - b.
Бұдан екі бірдей таңбалы сандардың көбейтіндісі оң санды береді,
Кез келген санды нөлге көбейтсек, нөл шығады. Қандай да
Рационал сандар.
Анықтама: p бүтін мәндер, ал q натурал мәндер
Әрине, санын әрқашанда қысқартылмайтын бөлшек деп
Теорема: Кез келген рационал оң а саны үшін (яғни
Мысалы: Ұзындығы 13/4 саны арқылы өрнектелген кесінді сызайық.
Ол үшін:
е кесіндісінің ұзындығын таңдаймыз.
е кесіндісін тең 4 бөлікке бөлеміз;
Ох сәулесіне әрқайсысы е кесіндісінің 4-тен бір бөлігіне тең
Оң рационал сандар жиыны былай белгіленеді: Q+.
Рационал сандардың қасиеттері
Кез келген екі рационал санға арифметикалық амал қолдану
Тәртіптелгендік қасиет. Кез келген екі r1 және r2
үш арақатыстың: r1 < r2, r1 = r2, r1
Тығыздық қасиет. Тең емес кез келген екі рационал сан
арасында жататын ең болмағанда бір рационал сан r
r1 < r < r2
теңсіздігі орындалады.
Кез келген оң рационал саны үшін осы санның жозылуы
Егер а b-ға бүтіндей бөлінсе, онда рационал сан
Рационал сандар облысында барлық рационал амалдарының барлығы шектеусіз орындалады
Рационал сандарға амалдар қолдану арифметикадан белгілі Қосынды және көбейту
Кез келген рационал сан, егер ол бүтін сан
n < x < n+1.
Мысалы, саны 3 және 4 сандардың
Келесі анықтаманы енгізейік: санның бүтін бөлігі деп берілген саннан
х санының бүтін бөлігі келесі түрде белгіленеді: [х
Мысалы,
[ ] = 3, [
Берілген саннан бүтін бөлігінің айырмасы санның бөлшек бөлігін береді.
Біздің мысалдағы ,
Бүтін санның бөлшек бөлігі 0-ге тең , себебі бүтін
0 х- [x]