Мазмұны
1 Дискретті теңдеулер
1.1 Ақырлы – айырымдық әдістің негізі
1.2 Аппроксимацияның негізгі әдістері. Тейлордың кесілген қатарымен берілген аппроксимация
1.3 Айырымдық схема құрудың вариациялық принципі
1.4. Шектік – айырымдық теңдеулер
2 Дербес туындылы теңдеулер үшін айырымдық схемалар
2.1. Есептің қойылу сипаты
2.2. Коэффициенттері тұрақты жылу өткізгіштік теңдеу
2.3 Сызықтық тасымалдау теңдеуін шешудің сандық әдістері
2.4. Консервативтік қасиет
2.5. Ағынға қарсы өзгертілген схеманың бір түрі
2.6. Бір өлшемді сызықтық емес теңдеулерді шешу
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
Кіріспе
Соңғы кезде есептеу математикасына байланысты көп есептер, сызықты емес
Диссертациялық жұмыстың негізгі мақсаты – Сызықтық емес теңдеулерді шешу,
Біз уақыт бойынша айнымалыға және оған сәйкес дифференциялдық операторға
Үзіліссіз дәл шешімдер үшін дененің кез келген облысына сақталу
Анықтама. Энергияның сақталу заңын қанағаттандыратын (интегралдық инварианттар)сандық шешімдер алынатын
Консервативтік қасиеттің маңыздылығын сығымдалушы ортаның үзіліс еместік теңдеуінің мысалында
1 Дискретті теңдеулер
1.1 Ақырлы – айырымдық әдістің негізі
Дифференциалдық теңдеулерді торлық әдіспен шешудің қарапайым жолы теңдеу құрамындағы
Бұл жуық өрнектер тордың торабындағы тәуелді айнымалылар мәні және
Қарапайым болу үшін бір тәуелсіз айнымалыға байланысты төмендегі (1.1)
,
функциясын қарастырамыз.Сандық әдістер есептің жуық шешімін береді, яғни қандайда
,
кеңістігінің үздіксіз аргументінің
Көп жағдайларда функциясын Фурье қатарына
(1.2)
ң мәндері коэффициенттерінің
(1.3)
Осылайша таңдап, дискретті нүктелерінің
Көп жағдайда төмендегідеу центрлік айырымдар қолданылады.
Центрлік (орталық) айырымдар, осы айырым есептелетіндей нүктеге қатысты симметриялы
Дифференциалдық теңдеулерді аппроксимациялауларды құру жолдарының бірі –туындылардың ақырлы –
(1.4)
Бұл ақырлы – айырымдық қатынас нүктесіндегі бірінші туындыларының
Туындының ақырлы –айырымдық аппроксимациялау мағынасын жақсы түсіну үшін
Егер функциясы үзіліссіз, ал
Туындының айырымдық аппроксимациясының дәлдігін формальді түрде
Мұндағы соңғы қосылғыш – қалдық мүше.
Алға (вперед) айырымының көмегімен өрнекті төмендегідей түрде жазамыз.
аппроксимация қателігі.
Мұндағы айырымы
-торлық мәнінің орнына туындылар үшін жуық өрнекке
(1.1) қатынасы үшін мұндай процедура төмендегідей өрнекке әкеледі.
Бұл өрнектер арасындағы айырым және берілген жағдайда аппроксимациялайтын
деп жазуға болады. Мұндағы, - дәл
Бұл жағдайда аппроксимация қателігінің тәжірибелік реті
Аппроксимация қателігін түрінде көрсету қателік шамасының
1.2 Аппроксимацияның негізгі әдістері
Тейлордың кесілген қатарымен берілген аппроксимация әдісі
Айталық, кеңістік бойынша
Тейлор қатарын функциясы үшін (1.5) формуласы
,
Егер оның екінші мүшесінен бөліп алсақ, онда (1.6) формула
.
Демек (1.7) формуласы орынды,
.
Интегралдық әдіс. Сызықты Хопфа теңдеуін дивергентті (ажырату) түрде қарастырайық.
Кеңістікте –ден –ге және
.
Жақша ішіндегі өрнектерді интегралдау арқылы төмендегіні (1.9) аламыз:
.
Қалған интегралдарды – кеңістікті интегралды орта туралы теорема, ал
(1.10)
(1.10) қатынасынан орта туралы теораманы қолданудан қалған туындылар
.
(1.11) – ді (1.10) – ға қою және
.
Көпмүшелілік жуықтау. Айырымдық өрнекті алу әдісі – алдымен тордың
фукциясының мәні және
,
ыңғайлы болу үшін
,
береді.
Онда (1.14) формуласы арқылы келесі (1.15) қатынасты аламыз:
,
- нүктесінде бірінші және екінші ретті туындылар сәйкесінше (1.16)
,
түрінде болады.
(1.16) есеп – қитаппен (1.15) формулалары дәлдіктерімен 2 –
1.3 Айырымдық схема құрудың вариациялық принципі
Айырымдық схема құру әдісінің ең көп тараған әдісі баланстың
Торлық облыстың элементар ұяшығы («бокс») үшін баланс теңдеуінен айырымдық
Жылу өткізгіштік теңдеуінде (1.17) вариациондық әдісті қолдануды
,
,
мұндағы бойынша периодтылық
.
Бұдан бөліктеп интегралдаудан (1.19) интегралдық тепе –теңдікті аламыз:
, (1.19)
мұндағы – кіріс параметрлерінің векторы.Торлық облысты бір
,
,
және де және
(1.20)
Мұндағы . Егер кез келген
,
түріндегі жазуға болатын (1.19) тепе – теңдігі бастапқы және
функциялары салыстырмалы түрде (1.17) және (1.19) да барлық амалдардың
.
Айырымдық аппроксимация құру процедурасы келесіден тұрады: Бастапқыда интегралдар квадратуралық
,
(1.19) аппроксимациясының қателігі әлсіз мағынада екі
(1.24)
Мұндағы
.
1.4. Шектік – айырымдық теңдеулер
Шектік – айырымдық жақындау сәйкестенділетін дифференциалдық теңдеулерде туындыны ауыстыру
,
мұндағы – оң тұрақты. (1.25) теңдеуі
аламыз.Бұл өрнектерді (1.25) – ке апарып қойсақ
.
Бұл түзулер адвекция теңдеуінің сипаттамалары болып табылады.Солардың бірі (сурет-1.1)
.
Сурет 1.1 - Сызықты адвекция теңдеуінің характеристикаларының бірі
Бұл схема «ағынға қарсы» деп аталуы мүмкін.Соңғы сөз
Сурет 1.2 - Адвекция теңдеуі жуық шешімін анықтау үшін
айырымдық сұлба
өсімшелері нольге ұмталғанда осы дифференциалдық теңдеуге жуықталатын көптеген (1.27)
,
(1.27) тасымалдау теңдеуіне (1.28) формуласы орындалады
,
диффузия теңдеуіне гидрогазодинамика теңдеуі үшін модельді болатын айырымдық схема
арқылы торабындағы
,
,
.
болғандықтан (1.29) және (1.31) сұлбалары (1.27) – (1.28)
,
(1.27) теңдеуі үшін және
Анықтама: Келесі қабатта функцияның бір ғана мәні болатын әрбір
Жоғарыда қарастырылған схемалар – айқын схема (1.27) теңдеуіне айқындалмаған
,
алуға болады. Жартылай айқындалмаған екі қабатты схемалар класын (1.34)
.
Мұндағы – параметр.
–болғанда бойынша
Жинақтылық. Берілген дердес туындылы дифференциалдық теңдеулерді аппроксимациялаушы алгебралық
Сонымен,біз
болғанда болсын деп талап қояйық.
Келісімділік. Дискретизация процесі нәтижесінде алынған алгебралық теңдеулер жүйесі тор
Орнықтылық. Айырымдық схема орнықты деп аталады, егер уақыттық координатаның
,
сандық шешімнің қателігі болып табылады.
Ереже бойынша сандық шешімнің қателігі қандайда бір себептермен белгісіз
,
– мүшесін ақырлы – айырымдық схеманың аппроксимация қателігі деп
.
Алдында белгіленгендей бұл дифференциалдық теңдеуді ақырлы – айырымдық схемаға
Екі маңызды сұрақ туады:
1.Белгіленген қосындылы уақытта
2.Егер белгіленген мәндерінде
Бірінші сұраққа жауап сандық шешімнің жинақтылығына байланысты.Егер ұсақталған тордың
Оның (1.37) аппроксимация қателігі тродың ұсақталу кезінде нольге ұмтылады
Сурет 1.3 - Тәуелділік облыс және характеристика орналасуына қатысты
мүмкіндіктер
Координата басын қиятын характеристика А нүктесінен де өтеді.Сондықтан А
Яғни, болғанда.
Осылайша, бұл (1.30) сұлбасының жинақталуы үшін қажетті шарттары болып
Кейбір айырымдық теңдеулер үшін шешім анықтаудың қандайда бір кезеңінде
Эквиваленттік туралы Лакс теоремасы. Егер шекаралық шарттармен берілген нақты
Максимум принципі. Дәл шешімнің шектелген екендігі белгілі, онда сандық
(1.38)
Жинақтылықтың қажеттілік шартымен сәйкес келетін шартында
,
уақыттық деңгейде максимумын қабылдайтын нүктеде бұл
Бұл теңсіздік сандық шешімнің шектелгендігін дәлелдейді. Яғни,
Энергетикалық әдіс. Бұл әдіс өте көп қолданылады.Оны сызықты емес
.
Циклдік шекаралық шарттар орындалатын деп есептейміз,мысалға
Сонда (1.41) өрнегі келіп шығады
.
Енді Шварц теңсіздігін қолданайық және (1.41)-
.
(1.41) және (1.42) қолдана отырып және егер
Сонымен, (1.38) схемасының орнықты болуы үшін
Бастапқы берілгендері бойынша орнықтылық. Тасымалдау теңдеуі үшін (1.43) Коши
,
есебі үшін (1.44) айырымдық теңдеуін қарастырамыз.
, (1.44)
(1.44) айырымдық теңдеуін бастапқы берілгендері бойынша орнықтылығын (1.45) өрнегі
.
Мұндағы -тен тәуелсіз және
2 Дербес туындылы теңдеулер үшін айырымдық схемалар
2.1 Есептің қойылу сипаты
Кез келген есепті шешкенде оған кіру мәліметтерін алғашқы, ізделінуші
Әрбір есеп үшін белгілі,бірдей сұрақтар қойылады: есептің шешуі бола
Адамар шарты. Математикалық есептің жалпы жазылуын операторлық теңдеу түрінде
(2.1)
мұндағы u және f ізделінуші және әлдеқандай U
(2.1) теңдеуінің есебін шешу Адамар шарты бойынша дұрыс қойылған
1) Кез келген үшін
2) U - да бір ғана шешімі болады .
3) шешімі үзіліссіз түрде - қа тәуелді
Егер осы айтылған талаптардың біреуі болмаса (2.1) есебі
Дұрыс қойылған есептің мысалы, интегралдау есебі, ал сыпайы емес
Мысал. Интегралдау есебі f(x) функциясы берілген; (2.2) интегралын тап:
(2.2)
Функция – ты
, , .
Жоғарыда келтірілгенді қайталасақ мынау шығады:
Сонымен интегралды квадратуралық формулалар арқылы есептеу дұрыс қойылған есеп.
Мысал. Дифференциалдау есебі. Жуық шамамен берілген u(x) функциясын дифференциалдау
болсын, мұндағы барынша үлкен. Онда
Сонымен, С кеңістігінде u(x) функциясының аз өзгерісіне
2.2 Коэффициенттері тұрақты жылу өткізгіштік теңдеу
1. Бастапқы есеп. Бір өлшемді жағдайда диффузияның
(2.3.)
Мұндағы х нүктесіндегі t уақыт
Егер тұрақты болса, онда (2.3.) теңдеуін
(2.4)
мұндағы - жылуөткізгіштік коэффицинті. Жалпы шектемей-ақ
Біз бірінші шеттік есепті мына облыста қарастырайық (кейде бастапқы
(2.5)
шартымен және шекаралық шарттың диффузия теңдеуінің
,
.
Максимум принципінің күшімен (2.5) есебінің шешімі үшін төменлегі (2.7)
(2.7)
Біртекті шектік шартымен (2.8) түріндегі біртекті жылу өткізгіштік теңдеуді
(2.8)
Бұл есептің шешуін айнымалыларды айыру әдісімен (2.9) түрде табамыз:
(2.9)
мұндағы және -
,
Сонымен қатар скалярлық көбейтіндісі (2.10) теңдеулер жүйесі түрінде беріледі
,
Тегінде барлық дербес шешімдер (гармоникалар)
(2.11)
коэффициенттерін табады. (2.8) және (2.10) өрнектері (2.12) формуласын береді
(2.12)
өйткені
.
Сонымен (2.8) есебінің шешуіне (2.13) орынды:
,
бұл (2.7) есебінің алғашқы мәліметтері бойынша (
(2.14)
Процестің бұл стадиясы жүйелі режим деп аталады.
Енді жылу өткізгіштік теңдеуін шешетін әлдебір өте маңызды айырымдық
(2.15)
Уақыт бойынша бірінші ретті және х бойынша екінші
мұндағы .
Қарастырып отырған жағдайда модификацияланған теңдеудің түрі (2.17) түрінде болады:
(2.17)
болғанда аппроксимацияның қатесі тең болатындығын атап
2.1 сурет - Ауысу коэффициентіндегі айқын схемаға айқын әдіс
Аппроксимация қатесінің өрнегінде тақ ретті туындылардың кірмейтіндігін ескеру де
.
Оның үстіне ауысу коэффициентінің жорамал бөлігі нольге тең және
, немесе
(2.19)
мұндағы .
Демек, жылу өткізгіштік теңдеуінің дәл шешімінің амплитудасы уақыт бойынша
2.2 сурет - Айқын схемадағы тәуелсіз болмау нүктелерінің зонасы
2.2-суреттен, жылу өткізгіштік теңдеуін шешудің қарапайым айқын әдісі r=
Қарапайым айқын әдісті пайдаланғанда жылуөткізгіштік теңдеуі алғашқы мәліметтер
2.3 Сызықтық тасымалдау теңдеуін шешудің сандық әдістері
(2.20) сызықтық тасымалдау теңдеуін қарастырайық
,
с>0, с=const болғанда сипаттамалық теңдеудің түрі мынадай болады:
(2.20) теңдеуінің шекті – айырымдық шешімдерінің негізгі қателерді мыналар:
- дисперсиялық толқындар тудыратын фазалық: жекелеген гармоникалар физикалық жылдамдықтардан
Бұл тегістеуші әсер немесе схемалық есептеу тұтқырлығын тудырады.
- осцилляциялық немесе «есептеу шуы», кеңістіктік туындыны аппроксимаялуадың сандық
- амплитудалық, гармониканың шамасының өсуіне қарай орнықсыздығына немесе азаюына
Уақыт бойынша айқын емес аппроксимациялауда (субстанцияның тасымалдау жылдамдығы с-ны
(2.21)
мұндағы , егер с≥0 және кері жағдайда
Нейман орнықтылығының шартынан схема мына жағдайда орнықты болады:
, мұндағы – Курант саны
(2.21) - ге болғанда және
Жеңіл-желпі түрлендіруден кейін мынау шығады:
Соңғы теңдікті t және х бойынша дифференциялдап және –
Бұларды қоссақ
Осы жолмен табамыз:
Жоғарыдағы келтірілген барлық теңдіктерден (2.22) теңдеуі шығады:
(2.22)
Кейбір әдебиеттерде (2.22) теңдеуін айырымдық схеманың дифференциалдық жуықтауы деп
(2.22) диференциалдық жуықтауының оң жағы берілген дербес туындылы теңдеудің
.
Берілген дербес туындылы теңдеудің дәл шешімін алуға ықпал ететін
Біз қарастырып отырған жағдайдағы аппроксимация қатесінің өрнегіндегі бас мүше
Айырымдық схеманың басқа физикалық қасиетке жақынын дисперсия деп атайды.
Үлкен градиентті облыстарда қоспаларды тасымалдау теңдеулерін шешкенде «ара»
Сонымен тасымалдау теңдеуін шешкенде, алдыңғы параграфтардағы қарастырылған (аппроксимация,орнықтылық, консервативтік)
Анықтама. Біз схеманы монотонды деп атаймыз,егер ол барлық монотонды
Бірінші ретті схемалар үшін диссипативтік қатені азайтудың басқа бір
осы приципке негізделген.
(2.20) теңдеуінің шешімінің барлық схемаларын шешілген түрде (2.23) теңдігі
.
мұндағы j бойынша қосынды егер схема айқын емес болса,
Анықтама. (2.23) схемасы (2.20) теңдеуін шешу үшін Р индексіне
Монотондық схемалар жалған максимумдар мен минимумдар (жалған осциляциялар) бере
Теорема. (2.20) - ны аппроксимациялайтын және индексі 2 ≥р
Дәлелдеу. Алғы мәндер ретінде екінші дәрежелі көпмүшені алайық:
,
мұндағы һ – тордың адымы.
Тордың нүктелерінде
.
Қарапайымдылық үшін былайша ұйғарайық:
.
(2.20) - ның осының алғы мәндер бойынша дәл шешімі
.
Дегенмен, біз зерттелуші схеманың индексі р ≥2 деп ұйғардық,
.
Егер схема монотонды болса, онда барлық Sj-i
.
Бірақта бұл бұлай емес, мысалға i=1 үшін біз
,
бұл r