Мазмұны
Кіріспе...............................................................................................................
І – тарау.
Қажетті анықтамалармен жалпы тұжырымдар.
§1 Функцияның сипаттаушы сандары............................................................
§2 Сипаттаушы көрсеткіштердің негізгі қасиеттері.....................................
§3 Сызықтың біртектес жүйе шешімдерінің сипаттаушы
көрсеткіштері... ...............................................................................................
ІІ- тарау
Дұрыс және келтірімді жүйелер.
§1 Дұрыс жүйелер............................................................................................
§2 Үшбұрышты жүйелердің дұрыстығы.. Ляпунов теоремасы..................
Мысалдар....................................................................................................
Әдебиеттер.....................................................................................................
Кіріспе
Дифференциялдық теңдеу шешімінің сипатын анықтау үшін өзінің бірінші әдісіне
Жұмыста біртекті сызықты дифференциялдық теңдеулер жүйесінің негізгі кластарының біреуін
Мұнда үшбұрышты жүйелер үшін негізгі теоремалардың бірі Ляпунов теоремасы
І-ТАРАУ: Қажетті анықтамалармен жалпы тұжырымдар
§1 Функцияның сипаттаушы сандары
Ляпуновтың анықтамасы. Егер кез – келген мейлінше аз
(1)
Қанағаттандыратын болса, онда оны функциясының сипаттаушы көрсеткіші
Бұл анықтамадан кез – келген функцияның сипаттаушы көрсеткіші бола
Перронның анықтамасы. Мына теңдік
(2)
арқылы анықталатын саны (не таңбасы) функциясының
Ляпунов пен Перрон анықтамаларының өзара пара – пар екенін
(3)
теңсіздігінің орындалатыны шығады. Ал екінші теңдік тізбегінің
(4)
теңсіздігі орындалады.
(3) және (4) теңсіздіктері логорифмдеу арқылы
теңсіздіктерін аламыз. Бұл екі теңсіздік (2) формуланың дұрыстығын білдіреді.
теңсіздіктері, яғни (2) орындалады.
(2) формула сипаттаушы көрсеткішті есептеу үшін өте ыңғайлы.
ЕСКЕРТУЛЕР.
Жоғарыда айтылғандардың, үшін
орындалғанда Х{f} болатыны, ал
орындалғанда, болатыны шығады. Демек, болса,
Функциясы кез-келген көрсеткіштікфункциясына қарағанда
Егер де функцияның сипаттаушы көрсеткіші нөльге тең болатын болса,
АНЫҚТАМА. Үзіліссіз вектор функциясының (матрица -
және де ол норманың қай түрі
алынып тұрғанына байланысты болмайды, себебі ол нормалар
АНЫҚТАМА. Саны ақырлы функциялар жиынтығының сипаттаушы көрсеткіші деп олардың
Әлбетте, егер вектор – функцияны компоненттерінің жиынтығы есебінде
§2 Сипаттаушы көрсеткіштердің негізгі қасиеттері
1-Теорема. Саны ақырлы функциялар қосындысының сипаттаушы көрсеткіші
іргелі жүйені де нақты деп есептеуге болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ: Формула түрінде жазғанда, теореманың 1- ші бөлігі
(1)
белгілеу енгізейік:
онда үшін
Бұдан (1) теңсіздіктің шығатыны айқын. Енді теореманың екінші бөлігін
Еркін санын теңсіздігін қанағаттандыратындай етіп алайық. Онда
теңдігі орындалады. Сондықтан мына ақиқат теңсіздікті
пайдалана отырып,
теңдігін аламыз. Олай болса, бұл теңсіздік (1)
теңдігін береді.
Ескертулер.
1.Жасанды түрде қарағанда теорема кейбір функциялар ақырсыз (
се ) көрсеткішке ие болғанда да орындала береді.
2. Егер қосылғыштардың саны ақырсыз болатын болса, онда теорема
2- Теорема. Саны ақырлы функциялар көбейтіндісінің сипаттаушы көрсеткіші осы
(2)
Дәлелдеуі. Әлбетте, мына тұжырым
яғни, (2) орындалады.
Ескертулер. Егер көбейткіш функцияларының арасында теңдіктерін
Салдар. 1. Коэффициенттері шенелген ақырлы сызықтық тіркестің енетін функциялар
шынында да,
екенін ескере отырып, 1,2 теоремар негізінде
Егерде сызықтық тіркестің коэффициенттері тұрақты болып, ал функциялардың біреуі
3-Теорема. функциясымен оның кері функциясы көрсеткіштерінің
Дәлелдеуі. Егер
болса, онда мына теңдікке
сүйеніп,
теңдігін аламыз, яғни анықталған ақырлы шек
1-Анықтама. Егер үшін ақырлы шек
бар болса, онда функциясының көрсеткішін дәл
4 теорема. Егер функция f(t) дәл көрсеткішке ие болса
(3)
Дәлелдеуі.
2 –теорема негізінде
болады. Екінші жағынан 3- теореманы ескере отырып, осы
теңсіздігін аламыз. Ол (4) теңсіздікпен қосылып, (3) теңдікті береді.
Енді көрсеткіштік функция қарастырайық. Оның интегралы (алғашқы бейнесі)
Егер болса, Ал болғанда,
Егер де болса, онда болады
түрінде алатын болса, болар еді, теңдік сақталар
Сондықтан Ляпунов интегралдың мынандай ұғымын енгізген.
2- Анықтама. функциясының интегралы деп мына
§3 Сызықтық біртектес жүйе шешімдерінің сипаттаушы көрсеткіштері
Сызықтық біртектес
(1)
дифференциялдық жүйесін қарастырайық. Мұнда ал нақты матрица
1-ТЕОРЕМА. Егер (1) жүйенің коэффициент матрицасы
Дәлелдеуі. (1) жүйенің кез келген шешімі
орындалады. Әлбетте, шешімін мына түрде
жазуға болады. Бұдан норма бойынша бағалау арқылы
Гронуолл леммасына сүйеніп
теңдігі алынады. Ал бұдан саны нөлге
яғни теңсіздіктері шығады. Мұндағы
;
Ескерту. Жүйененің коэффициенттерінің шенелген болуы шешуші шарт. Ол бұзылса
Лемма. Әр түрлі (бір – біріне тең емес) көрсеткіштерге
Дәлелдеуі. аралығында анықталған
§2 – дәлелденген 1-2 теореманың салдарына сүйеніп,
теңдігін аламыз. Бұл шартқа қайшы. Кері жору қате,
3-Теорема. Жүйенің ерекше көрсеткіші болса,
(2)
саны табылады.
Дәлелдеуі. деп алсақ,
теңдігі алынады. Бұдан немесе
теңсіздігі алынады. Ал болғанда,
орындалады. Демек, немесе
(4)
теңсіздігі орындалады.
Ал мына кезде
теңсіздігі орындалады. Егер деп, ал
кеңістігінде сызықтық біртектес
(1)
жүйесін қарастырайық.оның спектрі өсу бағытында орналасқан
жүйесінің сипаттаушы көрсеткіштерінің қосындысы деп аталады. Оның төменгі шегін
(2)
сипаттаушы көрсеткіштері болатын өзара сызықтық тәуелсіз
сондықтан жиынтығы кеңістігінің
1 – Лемма.
(3)
Дәлелдеуі. Шынында да, анықтама бойынша, сипаттаушы көрсеткіші
енді кеңістігінің
шартын қанағаттандыратын базисы болсын. Бұл базис міндетті түрде ең
тепе – теңдігін қарастыратын болсақ, онда оны мына түрде
қайта жазып, шешімдерінің сызықтық тәуелсіздігі арқасында
теңдіктерін алар едік. Бұдан алынады.
(5)
(4), (5) теңсіздіктерін (2) теңдік алынады.
1-Салдар. Мына теңсіздіктер орындалады:
2-Салдар. Кез келген іргелі жүйесіне енетін, сипаттаушы
(6)
теңсіздігі орындалады.
Шынында да, сипаттаушы көрсеткіштері - ден
1-Анықтама. Кез келген іргелі жүйесімен
Егер матрицасы нақты болса,онда әрбір сипаттаушы
2-Анықтама. Шешімдердің қалыпты іргелі жүйесінің көрсеткіштері (1) дифференциалдық жүйенің
Мысалдар
Мысал 1. көбейтінді
кез келген ақырлы үшін
кез келген ақырлы үшін
Мысал 2. өрнегі
Мысал 3. және
Егер функцияның сипаттаушы көрсеткіш
Мысал 4
1) нөлден өзгеше кез келген тұрақтының сипаттаушы көрсеткіш
2) Коэффициенттері тұрақты көпмүшеліктің сипаттаушы көрсеткіш нөлге тең.
3) егер болса, онда
4)
Ляпуновтың анықтамасы бойынша сесптесек,
кезде шенелген.
Мысал 5. функциясын беретін ақырсыз
Әрбір қосылғыштың сипаттаушы көрсеткіші нөлге тең де,
Мысал 6.
яғни болсын. Онда
жалпы, егер және болса,
Мысал 7. Коэффициентерінің арасында шенелмегендері бар жүйе
қарастырайық. Оның мынадай базисы бар.
Демек,
яғни барлық шешімнің көрсеткіші ақырлы емес.
Мысал 8. Коэффициенттері тұрақты
жүйенің спектрі А матрицасының меншікті мәндерінің бір – біріне
Шынында да, теңдеуінің нақты бөліктері әр
түрінде болады. мұндағы - компоненттері тұрақты
Мысал 9. Бір теңдеу
Коэффициенттері аралығында үзіліссіз және шенелген
(1)
мұнда қосынды элементерінен кез келген ретте құралған барлық
(2)
екінші жағынан Остроградский – Лиувилл формуласынан
мына теңсіздік алынады:
демек, (2) формуладан теңсіздігі алынады. Оны Ляпунов
Сондықтан
сонымен коэффициенттері үзіліссіз және шенелген сызықтық біртектес жүйенің кез
Егер, комплекс матрица болса, онда Ляпунов
Мысал 10. Жүйе
берілсін. Оның базисы іргелі шешімдер жүйесі мынандай:
әрбір шешімнің сипаттаушы көрсеткіші 1-ге тең. Олардың қосындысы 2.
Демек, Коши матрицасы
жүйенің үлкен көрсеткіші деп аталады. Үлкен көрсеткіш үшін
көрініп тұр. Коэффициенттері тұрақты жүйенің үлкен көрсеткіші
мына формуламен
анықталатын сан жүйенің ерекше көрсеткіші деп аталады. Әлбетте,
Мысал 11. Жүйе
қарастырайық. Оның шешімдерінің мынадай қалыпты жүйесі бар:
Оның көрсеткішінің қосындысы екіге тең: . Коэффициент –
Әдебиеттер.
1. Ляпунов.А.М Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ, М
2. Малкин И. Г Теория устойчивости движения, Наука, М,
3. Петровский И.Г Лекции по теории обыкновенных
диференциальных уравнений. Издательство МГУ, М. 1984
4. Демидович Б.П. Лекции по математической
М., 1967
5. Сүлейменов Ж. С. Дифференциалдық теңдеулер, «Білім» Алматы 1996
6. Коддингтон Э.А., Левисон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, М., 1958
7. Понтрягин Л.С обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, М.,
1983
8. Степанов В.В Курс дифференциальных уравнений,физматиз, М., 1959
18
x
1
F(t)