ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТІРЛІГІ
МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА ЖӘНЕ ТЕХНОЛОГИЯЛАР ФАКУЛЬТЕТІ
Математика кафедрасы
КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: МАТЕМАТИКАНЫ ТЕРЕҢДЕТІП ОҚЫТУДАҒЫ ТУЫНДЫ ҚОЛДАНЫЛУЫНЫҢ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ.
Ғылыми жетекшісі
аға оқытушы.
«___»_________20___ж.
Математика кафедрасының
меңгерушыісі, Ф.- м.ғ.к.,
профессор
«___» _________20___ж.
Орындаған тобының
студенті ______________
Нормабақылаушы
«___»__________ 20___ж.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
1 ТУЫНДЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ
1.1 Туынды анықтамасы
1.2 Бірінші ретті туынды арқылы тепе – теңдікті
1.3 Бірінші ретті туынды арқылы теңсіздікті дәлелдеу
1.3 Екінші ретті туындынының көмегімен теңсіздіктерді дәлелдеу
1.4 Туындының көмегімен Ньютон биномының
2 ТУЫНДЫ АРҚЫЛЫ ПӘНАРАЛЫҚ БАЙЛАНЫСТАРДЫ ЖҮЗЕГЕ АСЫРУ
2.1 Туындының физикада қолданылуы
2.2.Туындының биологиялық үрдістерде қолданылуы
2.3. Туындының экономикада қолданылуы
ҚОРЫТЫНДЫ
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
Қосымша Ә Туындының көмегімен теңдеулерді шешу.
КІРІСПЕ
«Туынды» термині derivee деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз
И. Ньютон функцияның туындысын флюксия деп, ал функцияның
Жұмыстың зерттеу нысаны: Математиканы тереңдетіп оқытудағы туындының алгебралық
Мақсаты – математиканы тереңдетіп оқитын сыныптарда туындының алгебралық
«Туынды және оның қолданылуы» тақырыбында функцияларды зерттеу
Математиканың көптеген абстрактілі теориялары мен негізгі принциптерінің жаратылыстану
Міндеттері:
Туындының қолданылуы туралы түсінік беру;
туындының алгебралық қолданылуын оқып үйрену, меңгеру және
математикалық модельдеудің әдiстерін меңгеру мен пәнаралық байланыстарды жүзеге
Гипотеза
Туынды – математикалық талдаудың негізгі түсінігі болып орта
Алгебралық әдістерге қарағанда көптеген есептерді туындыны қолданып шешкендегі
1 ТУЫНДЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ
1.1 Туынды анықтамасы
Кез келген f функциясы жіне оның анықталу обылысының
1. f функциясын анықтайтын формулалар арқылы оның
2. Айырымдық қатынас үшін өрнек
Сонан соң оны түрлендіріп ықшамдаймыз, -ке
3. Егер нөлге ұмтылады деп
Осылайша табылған санды кейде, физикадағы сияқты, х0 нүктесіндегі
Анықтама: нөлге ұмтылғанда функция өсімшесінің аргументтің
функцисының х0 нүктесіндегі туындысы
Мысал 1. (
1) .
2)
3) k – тұрақты, саны
Болса
Сөйтіп, .
х0 нүктесінде туындысы бар функция осы нүктеде дифференциалданатын
Берілген функциясының туындысын табу дифференциалдау
Біз бұл бапта мынадай дифференциалдау формулаларын алдық:
формаласында k=0, b=C (C-еркімізше алынған тұрақты) деп ұйғырсақ,
1.2 Бірінші ретті туынды арқылы тепе – теңдікті
«Егер қандайда бір І аралығында
Тепе – теңдіктер әдетте
«Егер және
Тепе – теңдікті дәлелдеу төмендегі алгоритм бойынша жүргізіледі.
1. Берілген тепе – теңдікті
2. немесе
3. Егер болса, онда
4. Анықталу облысынан үшін есептеуге
Мысал 2. Тепе – теңдікті дәлелде:
1) ;
Шешуі: түрінде теңдіктің екі жағынан
; яғни
Туынды арқылы алгебралық және тригонометриялық теңдеулерді түрлендіруге, яғни
Мысал 3. Мына өрнекті көбейткіштерге
-ны айнымалы деп алып өрнекті
Сондықтан
Мұнда , ,
Мысал 4.
өрнегін көбейткіштерге жіктеп -ны айнымалы деп
онда
деп алсақ, , онда
Мысал 5.
өрнекті деп белгілей отырып
Сонымен берілген өрнектің шешімі .
1.3 Бірінші ретті туынды арқылы теңсіздікті дәлелдеу
Оқулықта интервалдар әдісі арқылы теңсіздіктерді шешу үлгісі көрсетілгенімен,
Шынында да ,
яғни функциясының теріс болу жағдайы да осылай
Мысал 6. Дәлелдеңдер: , мұнда
Шешуі: функциясын қарастырамыз, мұнда
Мысал 7. Дәлелдеңдер: ,
Шешуі: функциясын қарастырамыз, мұнда
.
Мысал 8. x-тің барлық оң мәндері үшін
Шешуі: үшін
; , берілген
Теорема 1. Егер ,
Мысал 9. теңсіздікті дәлелдеу керек,
Теорема 2. интервалының әрбір нүктесінде
Теорема 3. интервалының әрбір нүктесінде
Мысал 10. ; теңсіздікті
Мысал 11. теңсіздікті дәлелдеңдер, мұндағы
Теорема 2′. интервалының әрбір нүктесінде
1. (1′);
2. Бұл үшін (2′) теңдігі
3. (3′)
болсын. Онда ;
Ең алдымен жағдайды қарастыралық. Теорема
Енді жағдайды қарастыралық.
Теорема 4. және
1. интервалдың әр нүктесінде (4)
2. Жарты интервалдың басында (яғни )
,..., ; (6)
Дәлелдеу. -да болғандықтан
Мысал 12. (7) теңсіздікті
Сонымен бірге (7), (8) – дегі қатаң теңсіздіктерді
Мысал 13.
десек, берілген теңсіздікті ,
Соңғы теңсіздіктің ақиқаттығы бірден байқалады. Сонымен бірге (11),
1.3 Екінші ретті туындынының көмегімен теңсіздіктерді дәлелдеу
Егер кесіндісінде
Сондықтан y≤
Егер болса, онда
болады. Бұл (1) теңсіздігін қайта жазуға мүмкіндік береді.
мұндағы .
болғанда, табатынымыз .
Сөйтіп, біз келесі теореманы дәлелдедік:
Теорема 5. Егер кесіндісінде
Егер аралығында ,
Мысал 14. Теңсіздікті дәлелдендер:
.
Шешуі: , онда
Мысал 15. Дәлелдеңдер: егер
Шешуі: ; ;
Мысал 16. , болғанда
, ; ,
Туындыны қолданып алгебраның көптеген есептерін шешуге болады, мысалы
Осы нүктеде функция өзінің максимум мәнін қабылдайды,
Мына функциясы периодты функция
Шешуі:
1.4 Туындының көмегімен Ньютон биномының формуласын есептеу
Бұл формулалар жеке жағдайының жалпы формулалары болады.
(16)
Бізге коэффициентерінің өрнегін табу
(17)
-ді табу үшін (16) теңдеуінің екі жағын да
.
Екінші жағынан
.
Ендеше,
-тің орнына 0-ді қойып, nan-1=A1 аламыз. Сөйтіп
(19)
–ны табу үшін (18) теңдеуінің екі жағын да
, бұдан
.
Ендеше
Қалған коэффициенттерін осы тәсілмен табады. Егер (16) теңдеуін
Бұл теңдікте деп алып, табатынымыз:
одан
сандарын биномиальдық коэффициенттер деп атаймыз және
(22)
Сондықтан
(23)
(23) формуласын Ньютон биномы формуласы деп атаймыз. Теңдіктің
Биномиальдық коэффициенттер формуласын басқа түрде жазуға болады, ол
Сөйтіп,
(24)
Есіңде болсын, .
(23) формуласында –ның коэффициентті 1-ге
Мысал 17. биномының дәрежелік жіктелуін
Шешуі: Біздің жағдайымызда .
, .
Ендеше, (23) формуласынан табатынымыз:
.
Мысал 18. биномының дәрежелік жіктелуін табайық.
Шешуі: Біздің жағдайымызда ,
, , ,
, , ,
Болса, онда
болады.
ТУЫНДЫ АРҚЫЛЫ ПӘНАРАЛЫҚ БАЙЛАНЫСТАРДЫ ЖҮЗЕГЕ АСЫРУ
2.1 Туындының физикада қолданылуы
Дүниедеге нақты үрдістердің ең қарапайымы – бірқалыпты үрдістер.
Есептің шарты бойынша , ал
Сөйтіп осыдан
Сонымен функциясы да теңдеудің
Осы қарастырған математикалық моделіміз көптеген физикалық, химиялық, биологиялық
Мысал 19. Сыраны ашытуға қажет ферменттердің өсу жылдамдығы
Шешуі. Есептің шарты бойынша оның дифференциалдық теңдеуі
2.1 Туындыны биологиялық үрдістерде қолдану.
Туынды арқылы популяция (мекендес өсіп-өну) санының қарапайым моделін
Популяция динамикасының дәл сипаттамасын 1845 жылы алынған Ферхюльст-Перл
(25)
Бұл заң Ферхюльст-Перл моделі деп аталады.
Тундыны қолданып, осы функцияның графигін зерттейік.
(26) теңдеуді пайдалана отырып, екенін
(26) теңдеудің екінші ретті туындысын табайық
(27)
(25) теңдеудегі х-тің мәнін осы теңдеуге қоямыз. Сонда
Егер болса,
теңсіздігін шешіп, функциясының ойыстық аралығын табамыз:
Сонымен ойыстың дөңестік аралығын тапсақ ол мына теңсіздікпен
туындысы -ның барлық мәндерінде оң болғандықтан
Енді (25) теңдеумен берілген функциясының
1-суреттен популяцияның алғашқы саны аз болса,
х
M
0
1-сурет
шексіз жақындайды, бірақ ешқашан онымен қиылыспайды. Сондықтан
функциясының графигі (1-сурет) созылған әрпіне
2.3 Туындының экономикада қолданылуы
Туындының экономикада қолдануының түсіну үшін өндірістік функцияны қарастырайық.
Экономистер ресурстарды екі топқа бөлінеді. Біріншіден, L әрпімен
Өнімнің шығару көлемін оылай белгілейміз:
Q=F(L, K), L 0, K 0
1928 ж американ ғалымдары К. Кобб жәнне П.
Q=aK2L1-2, а>0, 0<