Логарифмдік функциялар

Аннотация
Мектеп математика курсында жалпы логарифм тақырыбы жоғары сыныптарда алгебра
Дипломдық жұмыстың құрылымы: Кіріспе, 1 тарау, 2 тарау, қорытынды
МАЗМҰНЫ
Кіріспе
1 Логарифмдік функциялар.......................5
1.1 Тарихи мағлұматтар..................... 5
1.2 Логарифмдер және олардың қасиеттері....... 14
1.3 Логарифмдік функциялар және олардың қасиеттері.......18
2 Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу.................... 25
2.1 Қарапайым логарифмдік теңдеулер............... 25
2.2 Күрделi логарифмдік теңдеулер................... . 31
2.3 Түрлі логарифмдік теңдеулер......................... 39
2.4 Логарифмдік теңсіздіктер............48
Қорытынды............... 59
Пайдаланған әдебиеттер.....................60
Кіріспе
«Жаңа әлемдегі жаңа Қазақстан» құру
Қазіргі жалпы нарықтық экономикалық ғылым
Математикалық экономикада және басқа ғылымдарда
Егер оның осы ерекшелігі түбегейлі экономикалық
Тақырыптың көкейкестілігі. Мектеп математика курсында логарифмдік теңдеу мен теңсіздіктердің
Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тәсілдері әртүрлі болады. Әдетте
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің негізгі
Зерттеу пәні: Математиканы оқыту
Зерттеу нысаны. Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тәсілдері.
Дипломдық жұмыстың әдіснамалық негізі:
- зерттелетін тақырып бойынша математикалы ғылыми-әдістемелік, психологиялық-педагогикалық,философиялық әдебиеттерге талдау
- орта білім мен математикалық деңгейі туралы нормативтік құжаттарды
- математика мұғалімдерінің алдыңғы қатарлы тәжірибесін оқу және жалпылау.
Зерттеу жұмысының міндеті:
- мектеп курсында оқушыларға логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбын
- логарифмдік функцияның қасиеттері мен графигін саналы түрде оқушыларға
Зерттеудің ғылыми жаңалығы:
Жұмыстың практикалық маңыздылығы:
1 Логарифмдік функциялар
1.1 Тарихи мағлұматтар
Логарифмдердің пайда болуы XVI ғасыр бойында астрономия және
Көбейтуді одан жеңілірек қосу мен азайтуға келтіру үшін кейде
sinxsiny= ,
cosxcosy=
ережелері бойынша синус және косинус кестелері пайдаланылды.
және ... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
Мұндай идеяларды амалдарды оңайлатуға қолдану үшін дәреже көрсеткіштер тізбегіне
Бұл күрделі проценттер кестелері яғни проценттік ұтысының
И. Бюрги (1552-1612) Швейцарияда туып өсті. Ол сағат және
Кестенің адымы жетерліктей аз болуы үшін Бюрги
0
Төменгі қатардағы сандар қызыл бояумен басылып, қызыл сандар, ал
Сонымен Бюрги кестесіндегі қызыл сандар негізі
Бюрги есептеу жұмысындағы кестелердің пайдасын көре тұра көпке дейін
Бюргидің кесте жасаудағы жайбарақаттығы қымбатқа түседі. 1614 жылы одан
Непердің логарифмі. Ондық логарифмдер Непер кестелері 00-ден 900-қа дейінгі
А және А1 нүктелерінен бір кезде стрелкамен көрсетілген бір
Осылай мәндердің екі тізбегі түзіледі:
Непер бөлшектерден құтылу үшін AB=1 орнына AB=107 деп
Кестедегі төменгі сандарды ол жоғарыдағы сандардың сәйкес логарифмдері деп
Непер жүйесі бойынша логарифмдеу ережелерінің қазіргіден өзгешелігі бар. Олар
Непер кестелері таза тригонометриялық есептеулерге арналғандықтан, берілген кез келген
… 0,01 0,1
… -2
прогрессияларын салыстыруға негізделген жаңа, практикалық жағынан өте қолайлы ондық
Непер және Бригс еңбектері арқасында есептеу қиындықтарынан арылып, математикада
Логарифмдердің ашылуының практикалық пайдасымен қатар терең теориялық маңызы болды.
Бұл есептеулердің біразы дәреже және дәреже көрсеткіш ұғымдарының дамуымен
Арифметикалық амалдар тек бүтін сандар мен бөлшектерге ғана қолданылып
Ол кезде тригонометриялық таблицалардың ролі тіпті орасан үлкен болды.
Ол үшін ертедегі математиктерден мирас болып қалған әдіс –
Есептеуді жеңілдететін құралдар – ол кезде де, қазірде
Практикалық есептеулерде көп кездесетін мәселелердің бірі - әр
Логарифм операциясына дайындық жасағандар – Штифель және Стевин. Мұнда
Штифельдің келтірген таблицалары келесі екі прогрессия:
0 , а ,2а ,3а ,4а , ...
Үлкен сандар кездесетін есептеуді жеңілдету үшін, геометриялық прогрессия мүшелерінің
0 , 1, 2, 3,
1, 2, 4, 8,
Штифель таблицасындағы екінші және үшінші мүшелердің арасындағы аралықты толтыру
Штифельдің осы идеясын, яғни оның таблицасын, практикалық есептеуге пайдаланған
«Прогрессиялардың арифметикалық және геометриялық таблицалары» атты еңбегінде Штифельдің осы
Геометриялық прогрессияның мүшелері бір – біріне жуық болу үшін,
(1) прогрессиялардағы а – ның орнына 0,0001
0 ; 0,0001 ; 0,0002 ; 0,0003 , ...
1 , 1,0001 ; ( 1,0001)
Арифметикалық прогрессияның мәні 1-ге тең мүшесіне геометриялық прогрессияның
Кейінгі Бюрги таблицаларының (3) негізгі геометриялық прогрессияның 10001
Бюрги мына санның жуық мәнін
2,71814593
Егер өрнегіндегі - ді шексіз өсе
Европа жеріне жаңа ғана енген ондық бөлшектер алгоритмі
0; 10; 20; 30; ... ;
Сөйтіп, төмендегі екі қатар сандар шығатын болды:
0; 10; 20; 30; ... ;
Жоғарғы қатардағы сандар қызыл бояумен басылды да, оларды «қызыл
Сонымен, Бюрги таблицасындағы «қызыл сандар» 10
Осындай таблицаны құруға Бюрги сегіз жыл уақыт жұмсаған: сандардың
Бюрги бұл таблицаларын жарыққа шығаруға көп уақытқа дейін
Бюрги таблицалары есептеу істерінің дамуында тиісті роль атқарды,
2. 1614 жылы Бюргидің кітабынан алты жыл бұрын Англияда
Джон Непердің қарастырған мәселесі заманына сай келді. Бұл кезде
Бюрги өз таблицаларын жасағанда геометриялық прогрессияның еселігін бірге жуық
Непер өзінің алдына қойған проблемасына тереңнен қарады. Оның заманында
Непердің идеясы былай: А және В екі нүкте Ох
Бұл шыққан дифференциалдық теңдеу. Оны интегралдап, мынаны табамыз:
Енді мұндағы С – ні табу керек.
Ендеше
Бұдан
Жоғарыдағы дифференциалдық теңдеу Непердің ойында ешбір болған емес. Соған
сандары мен олардың логарифмдерінің арасындағы байланысты Непер мына
Және бұл байланысты ол арифметикалық прогрессия мен геометриялық прогрессияның
3. Непер ондық логарифмдерді өзінің досы, Лондон университетінің профессоры
Бригг ең әуелі 1-ден 20000–ға дейінгі сандардың, онан кейін
Бригг сандардың ондық логарифмдерін қалай, қандай жолмен тапты,
Айталық 10 санынан біртіндеп квадрат түбір тауып,
Бұл теңдіктің екі жағында квадрат дәрежеге шығарсақ онда,
n- санын мейлінше үлкен деп, ал
Кейінгі теңдіктің екі жағын -ге
Кейінгі жуық теңдікті мына түрде жазуға болады:
Егер былай ұйғарсақ:
Онда санның логарифмінің өзімізге белгілі анықтамасы бойынша
Ал х- тің мәні -не немесе
Егер де түбір табу амалы
Бұл теңдіктің екі жағын логарифмдеп табатынымыз:
Х-тің және -тің мәндерін (4) теңдікке апарып
Сөйтіп кез келген санның ондық логарифмін табу осы саннан
Міне, Бригг сандардың ондық логарифмдерін осы жолмен тапты. Сандардың
Бриггтің бастап берген жұмысын әрі қарай созап аяқтаған голланд
1.2 Логарифмдер және олардың қасиеттері
І-теорема a>0, және b>0 болатын кез-келген
b оң санының a негізі бойынша
(1)
(І) – негізі логарифмдік тепе-теңдік деп аталады.
теңдігі екенін білдіреді.
Мысалы, өйткені
Логарифм тек оң сан үшін және оң бірге тең
Логарифм анықтамасынан мына теңдіктер шығады:
Жалпы алғанда мына теңдік орын алады:
(2)
Логарифмдердің қасиеттері
болсын. Егер болса, онда:
1)
2)
3) Егер N>0, болса, онда
4) Егер N>0, болса, онда
5) Егер болса, онда
6) Егер болса, онда
(берілген негізден басқа негізге көшу формуласы). Дербес жағдайда, егер
7) Егер болса, онда (
8) Егер болса, онда
яғни логарифм негізі бірден үлкен болса, онда екі оң
9) Егер болса, онда
яғни логарифм негізі бірден кіші болса, онда екі оң
10) Логарифмдік функцияның анықталу жиыны болып барлық оң сандар
11) функциясы аралығында
Онда негізгі логарифмдік тепе-теңдігі бойынша
және теңдіктер орындалады және
Егер 01 болғанда функцияның өсетінін дәлелдейік (ал 00 болғанда функция өсетін себепті, x>1 болғанда логарифмдік функция
Егерде 00 шарты орындалатындай барлық
3-м ы с а л Мына функцияның анықталу облысын
теңсіздігін интервалдар әдісімен шешіп, екенін табамыз
Функцияның анықталу аймағы – R барлық нақты сандар жиынтығы.
Функцияның жиынтық мағынасы – R+ барлық оң сандар жиынтығы:
болғанда функция өспелі,егер болса,онда
Егер болса,онда
Логарифмдік функцияның қасиеттері:
Функцияның анықталу аймағы – R+ барлық оң сандар жиынтығы.
Функцияның жиынтық мағынасы – R барлық нақты сандар жиынтығы.
болғанда функция өспелі,егер болса,онда
Логарифмдер қасиеттері:
Егер болса, онда
Логарифмнің негізі 1-ге тең: .
Егер және болса,онда
(логарифмдердің бөліндісінің формуласы).
Егер болса, онда
Егер болса, онда
Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер үшін ескертулер.
Көрсеткіштік (1) теңдеуді логарифмдегенде мынау теңдеу
(3) теңдеуінің түбірі аралас жүйеде ғана шешімін табады. Яғни,
Логарифмдік (5) теңдігі
(7) логарифмдік теңдеу мына әрбір жүйелермен теңбе-тең:
немесе (8)
теңдеуін шешу үшін тек бір жүйені ғана шешу жеткілікті
теңдеудерін шешу үшін логарифмдердің көбейтіндісі мен бөліндісінің формуласын пайдаланып
арықарай теңдеуді қасиет бойынша шығарамыз. Табылған
Егер теңдеуді логарифмдердің көбейтіндісі мен бөліндісінің формуласын пайдаланып шешсек,
11-м ы с а л Логарифмдік функцияның қасиеттерін пайдаланып
a) және
Негізі 1-ден үлкен логарифмдік функция бүкіл сандық түзуде өседі,
b) және
Ал негізі 1-ден кіші логарифмдік функция бүкіл сандық түзуде
c) және
Логарифмнің монотондылық қасиетін негіздері бірдей логарифмдерге қолдану арқылы төмендегі
, ал , олай болса
12-м ы с а л Функцияның графигін салыңыздар:
a)
Логарифмдік функцияның графигін қарастырғанбыз. Тек бұл мысалда негізі 2-ге
4-сурет
b)
Бұл жағдайда да негізі ге тең
5-сурет
2 Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
2.1 Қарапайым логарифмдік теңдеулер
Ең қарапайым логарифмдік теңдеуді қарастырайық . Логарифмдік
1-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Берілген теңдеуді x-тің теңдігі орындалатындай
2-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Бұл теңдеу x-тің тек 2x+3>0 және x+1>0 теңсіздіктері орындалатындай
Ал осы теңдеуді басқаша шешуге болар еді. Берілген теңдеудің
3-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Бұл теңдеуді x-тің тек x>0 және
4-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Енді қосылғышты 5 негізіне көшіріп, ауыстыруын
.
Енді берілген теңдеуді t2-2t-3=0 түрінде көшіріп жазуға болады. Бұл
5-м ы с а л Теңдеулер жүйесін шешейік:
Жүйенің бірінші теңдеуі y-x=2 теңдеуімен, ал екіншісі
Енді тағы да түріндегі кез келген
6-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Логарифмнің анықтамасы бойынша және
7-м ы с а л
Потенциалдасақ:
,
бұдан . Сондықтан, .
Жауабы:
8-м ы с а л
Теңдеудің екі жағын логарифмдесек (негізін 5-ке тең деп,
;
Сондықтан,
Жауабы:
9-м ы с а л
Логарифмдесек,
бұдан .
Жауабы:
10-м ы с а л
Берілген теңдеуді түрінде жазамыз. Екі жағынан
десек, онда теңдеуін шешсек
Жауабы:
11-м ы с а л
Есептің шартынан
бұдан
Жауабы: x=4096
12-м ы с а л
Берілген теңдеуді мына түрде жазамыз.
Потенциалдасақ:
бұдан, деп белгілеу арқылы y1=25, яғни
Жауабы: x=4.
13-м ы с а л
Берілген теңдеуді мына түрде жазамыз:
Потенциалдасақ:
екені шығады, бұдан
мұнда
Сонымен, берілген теңдеудің шексіз көп шешімі болады.
14-м ы с а л
Ш е ш у і Мұндағы барлығын 5 негізді
, немесе
қасиетке сәйкес теңбе-тең теңдеуге келеміз: . Бұдан
Жауабы:
15-м ы с а л
Шешуі Ұқсас мүшелерді біріктіріп мынаны аламыз:
Жауабы:
16-м ы с а л
Шешуі және болады, демек
болғанда, шартты қанағаттандымайды. Яғни, түбірден теріс
Жауабы:
17-м ы с а л Теңдеуін шешу керек:
Ш е ш у і қасиетке
1) теңдеуінің түбірі
2) теңдеуінің бір түбірі
Жауабы:
18-м ы с а л Теңдеуін шешу
Ш е ш у і логарифмдік функциянаң анықталу аймағын
Теңдеулер жүйесінен табатынымыз:
Демек, бұдан қанағаттандырмайды.
Жауабы: .
19-мы с а л Теңдеуін шешу керек:
негізге келтіреміз. Мұнда:
; мына теңбе-теңдікке келтіреміз.
Логарифмдік функцияның анықталу аймағын есепке ала отырып, мынаны аламыз:
тің мәнін
.
Бұдан теңдеулер жүйесі шығады:
Теңдіктің екі жағын да бөлетін болсақ,
Теңдеуден екенін ескеріп аламыз.
Жауабы:
20-м ы с а л
Ш е ш у і қасиет
Квадраттық теңдеуді шешеміз: түбірін табамыз,
Жауабы:
21-м ы с а л теңдеуін
Ш е ш у і логарифмдердің жаңа негізге өту
Теңдеулер жүйесін шешеміз. ескере отырып, теңдеуді мына
немесе ( қасиет
шартын қанағаттандырады.
Жауабы:
22-м ы с а л
Ш е ш у і
Жауабы:
23-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
Ш е ш у і
Нәтижесінде теңдеуіне келтіріп шығарамыз.
Егер болса, онда
Егер болса, онда
Оның түбірлері: . Содан, мына түбірлерді аламыз:
Жауабы:
2.2 Күрделi логарифмдік теңдеулер
Логарифмдік теңдеулердің негізгі түрлері. Логарифмдік теңдеулерді шешу, әрине, логарифмдердің
Логарифмдік теңдеулердің негізгі екі түрін қарастырамыз:
I.
II.
Логарифмдік теңдеулер көбінесе осы екі түрде немесе осы екеуінің
а) ; б) ; в)
г) д) .
Шынында да, болғандықтан (
Қалған б), в), г), д) теңдеулерінің І мен ІІ
1-м ы с а л
x>1 екенін байқаймыз. Берілген теңдеуді мына түрде жазамыз:
Потенциалдасақ:
x>1 ескере отырып,
теңдеуін аламыз, бұдан мәнін қарастырмаймыз. Сондықтан
Жауабы: x=9.
2-м ы с а л
немесе теңдеуін аламыз. Оның екі шешімі
Жауабы:
3-м ы с а л
Берілген теңдеудің шешімдері x>-3 шартын қанағаттандыруы керек. Теңдеудің оң
түріне келеді. Оны потенциалдасақ:
Бұдан
түбірін қарастырмаймыз, себебі ол x>-3 шартын қанағаттандырмайды.
Жауабы: 1.
4-м ы с а л
Теңдеуді потенциалдасақ:
бұдан
Жауабы:
1)
Логарифмдеу арқылы:
екенін аламыз, сонда .
Егер болса, онда
Жауабы: 1; 4
I. түріндегі және оған келтірілетін теңдеулерді
теңдеуін екі түрлі әдіспен ауыстыруға болады.
Бірінші әдіс:
(1)
Екінші әдіс:
(2)
Әдісті таңдау, немесе
5-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
Ш е ш у і Бұл І негізгі теңдеудің
Біз берілген теңдеуді І-әдіспен ауыстырамыз, өйткені,
6-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
(3)
Ш е ш у і (3) теңдеуді келесі түрге
Бұл теңдеуден
аламыз. Бұл мәндерді тексеру үшін (3) теңдеудің анықталу аймағын
TAA:
дұрыс;
дұрыс емес.
Жауабы: x=-1.
Е с к е р т у
7-м ы с а л Теңдеуді шешу
(4)
Ш е ш у і
Т е к с е р у:
TAA:
Жауабы: x=100.
8-м ы с а л. Теңдеуді шешу керек:
(5)
Ш е ш у і: алдымен (5) теңдеуде негіздері
Бұларды (5) теңдеуге қойсақ:
(6)
аламыз. Енді екенін ескерсек,
болады. Табылған мәндерді тексереміз.
TAA:
дұрыс;
болғандықтан,
дұрыс.
Жауабы:
Натурал логарифмдерге қарағанда ондық логарифмдердің практикалық есептеулерде көп
9-м ы с а л
Мына теңдеуді шешу керек болсын:
Берілген теңдеудің ММО . Осы облыста
Бұдан х=0,9. Бұл сан берілген теңдеудің де шешімі
Ескерту дұрыс не бұрыс болуы
10- м ы с а л
теңдеуін шешу керек.
Шешуі Бұл теңдеудегі логарифмдік функцияның негізінде параметр болғандықтан, ол
Теңдеудің анықталу облысын
теңсіздіктер системасынан табамыз. Сонда . Логарифмдердің негіздері
Соңғы түрлендіру теңдеудің анықталу облысына ешбір, өзгешелік кіргізбейді, өйткені
теңдеуіне Е облысында мәндес болады. Бұл теңдеудің екі жағын
(4)
теңдеуін аламыз. Түрлендірудің нәтижесінде бөгде түбір пайда болмайды. Өйткені
Теорема. Теңдеудің анықталу облысында және
11-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
(7)
Ш е ш у і (7) теңдеу келесі жүйеге
Бұл жүйедегі теңдеуінің үш түбірі бар:
Жауабы: x=2; x=3.
12-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
(8)
Ш е ш у і (8) теңдеуде негізі 10
Т е к с е р у
TAA:
x1=1 мен соңғы жүйенің үш шарттарын
Жауабы: x1=1, .
2)
Сондықтан, .
II. түріндегі және оған келтірілген теңдеулерді
Бұл теңдеуді екі түрлі әдіспен ауыстыруға болады.
Бірінші әдіс:
(1)
Екінші әдіс:
(2)
a(x)>0 немесе b(x)>0 теңсіздіктерінің қайсысы жеңіл шешілуіне байланысты II
13-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
(3)
Шешуі: (3) теңдеу келесі жүйеге мәндес:
Бұл жүйенің соңғы теңдеуінің түбірлері: x1=-4, x2=-2. Бұл мәндер
Жауабы: x= -4.
14-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
(4)
Ш е ш у і (4) теңдеу келесі жүйеге
Мұндағы теңдеуінің үш түбірі бар: x1=1,
Жауабы: x=3.
15-м ы с а л
екені айқын. Теңдеуді потенциалдасақ, немесе
Жауабы:
16-м ы с а л
Потенциалдасақ:
бұдан Сондықтан,
Жауабы:
17-м ы с а л
делік. Сонда берілген теңдеу
түріне келеді, бұдан
болсын делік. Логарифмдесек
Егер болса, онда ,
2.3 Түрлі логарифмдік теңдеулер
1-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
(1)
Ш е ш у і:
TAA:
Негізгі логарифмдік тепе-теңдікті: қолданып (1) теңдеуден
2-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
(2)
Ш е ш у і: TAA: x>0. TAA-нда (2)
Бұл жиынтықтан x=0,1 және x=100 аламыз.
Т е к с е р у: Бұл екі
Жауабы: x=0,1; x=100.
3-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
(3)
Ш е ш у і: екенін
Енді келесі теңдеулер жиынтығына келдік:
Тексеру жасап мен
Логарифмдік теңдеулерді шешуде кейде келесі формула қолданылады:
(*)
4-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
Ш е ш у і: TAA: x>0. айнымалдың осы
.
Соңғы теңдеуден немесе x=625 аламыз.
5-м ы с а л
Потенциалдасақ:
Сондықтан,
Жауабы: x=12.
6-м ы с а л
Потенциалдасақ:
бұдан
Берілген теңдеу үшін x